2023-2024学年初中数学七年级上册 1.6 有理数的乘方 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A．年 B．年
C．年 D．年
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20.3亿=2030000000=2.03×109（年）。
故答案为：B。
【分析】先把20.3亿转化成2030000000，然后再改写成科学记数法的形式即可。
2．（2023·邵阳）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：C
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
3．（2023·武侯模拟）若m，n满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵（2m+2）2+|n-2|=0，
∴2m+2=0且n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴mn=（-1）2=1.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出m、n的值，进而根据有理数的乘方运算法则计算即可.
4．（2023·儋州模拟）若非零数，互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵非零数a，b互为相反数，
∴，
∴，，
∴与互为相反数，与互为相反数，即②和③符合题意，共两组，
故答案为：C.
【分析】由相反数的定义得a=-b，根据有理数乘方运算法则得a2=b2，a3=-b3，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数即可一一判断得出答案.
5．（2023八下·宝安期末）下列各数中，不能被整除的是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．16
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：512-510=510（52-1）=24×510.
∵24×510=12×2×510=8×3×510=6×4×510
∴512-510能被12、8、6整除，不能被16整除.
故答案为：D.
【分析】根据有理数乘方的运算法则，可知原式等于24×510，即可判断选项中哪些可以被整除，哪个不能被整除.
6．（2023七下·仪征期中）式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用几个相同的数相加，可以转化为乘法运算，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求出结果.
7．（2023·汕尾模拟）计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：原式=1+2-=3-.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘方法则以及绝对值的性质可得原式=1+2-，然后利用有理数的加法法则进行计算.
二、填空题
8．（2023·黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5699万=56990000=5.699×107.
故答案为：5.699×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
9．（2023七下·东阳期末）定义运算，若，则的值为 ．
【答案】1或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定义可得，
∵m-1＞m-3
∴
∴m-1=0或m-3=1或m-3=-1且m-1为偶数，
∴m=1或4
故答案为：1或4.
【分析】先判断m-1和m-3的大小，再根据新定义写出等式，然后根据0指数幂的性质、“1”的任何次幂都等于1，“-1”的偶数次幂等于1，进行思考即可求出m的值.
10．（2023七下·衡阳期末）已知，满足，则式子的值是 ．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴a-3=0，b+2=0
解得：a=3，b=-2
∴（a+b）2022
=（3-2）2022
=1，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性可得a、b的值，把a、b的值代入式子即可得出答案。
11．已知实数a，b满足，则 ．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
12．（2023七下·定远期中）如果代数式的值等于1，那么的值为 ．
【答案】1，和
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】①当指数为0，即x-1＝0∴x＝1，
原式＝30＝1，成立；
②当底数为1，即x+2＝1，∴x＝-1，
原式＝1-2＝1，成立；
③当底数为-1，即x+2＝-1，∴x＝-3，
原式＝（-1）-4＝1，成立，
综上所述，x的值为：1或-1或-3．
故答案为：1，和
【分析】根据有理数的乘方的法则，分三种情况进行讨论，即可得到答案．
三、解答题
13．（2023八下·南京期末）已知，试说明.
【答案】证明：∵
，
又，，
∴.
∴.
【知识点】偶次方的非负性
【解析】【分析】利用作差法可得-(-x+4)=，然后结合偶次幂的非负性以及x>0确定出差的符号，据此进行比较.
14．（2022七上·安化期中）在同一条数轴上表示下列各数，再把它们用“<”号连接起来．
，，， ，
【答案】解： ， ， ， ，
如图所示：
所以：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-1)2022=-1，根据绝对值的概念可得|-2|=2，根据相反数的概念可得-(-0.5)=0.5，根据百分数与小数的互化可得-50%=-0.5，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
四、综合题
15．（2022七上·南宁期中）（1）画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来.
（2）将上列各数用“<”连接起来.
【答案】（1）解：，如图所示，
（2）解：由数轴上的数从左到右逐渐增大可得：
.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据相反数的概念可得-(-3)=3，根据绝对值的概念可得-|-2|=-2，根据有理数的乘方法则可得(-1)2=1，然后将各数表示在数轴上；
（2）根据数轴上，左边的数小于右边的数进行比较.
16．（2022七上·覃塘期中）
（1）算一算，再选“<、>或=”填空：
① ；
② ．
（2）想一想： ．
（3）利用上述结论，求．
【答案】（1）=；=
（2）
（3）解：
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）①
②
故答案为：①=，②=；
（2），
故答案为：；
【分析】（1）①根据乘方的定义，①式的左边就是两个“3×5”相乘，进而利用乘法的交换律和结合律及乘方的定义化简可得左式等于右式；②同①可得答案；
（2）通过观察（1）中的两个小题可得两个数的积的n次方等于这两个数的n次方的积，据此即可得出答案；
（3）先根据乘方的意义将第一个因数改写成“8×82021”，再逆用（2）式的结论变形，简化运算即可得出答案.
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一、选择题
1．（2023·泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A．年 B．年
C．年 D．年
2．（2023·邵阳）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·武侯模拟）若m，n满足，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2023·儋州模拟）若非零数，互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023八下·宝安期末）下列各数中，不能被整除的是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．16
6．（2023七下·仪征期中）式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·汕尾模拟）计算结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 ．
9．（2023七下·东阳期末）定义运算，若，则的值为 ．
10．（2023七下·衡阳期末）已知，满足，则式子的值是 ．
11．已知实数a，b满足，则 ．
12．（2023七下·定远期中）如果代数式的值等于1，那么的值为 ．
三、解答题
13．（2023八下·南京期末）已知，试说明.
14．（2022七上·安化期中）在同一条数轴上表示下列各数，再把它们用“<”号连接起来．
，，， ，
四、综合题
15．（2022七上·南宁期中）（1）画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来.
（2）将上列各数用“<”连接起来.
16．（2022七上·覃塘期中）
（1）算一算，再选“<、>或=”填空：
① ；
② ．
（2）想一想： ．
（3）利用上述结论，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20.3亿=2030000000=2.03×109（年）。
故答案为：B。
【分析】先把20.3亿转化成2030000000，然后再改写成科学记数法的形式即可。
2．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：C
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵（2m+2）2+|n-2|=0，
∴2m+2=0且n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴mn=（-1）2=1.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出m、n的值，进而根据有理数的乘方运算法则计算即可.
4．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵非零数a，b互为相反数，
∴，
∴，，
∴与互为相反数，与互为相反数，即②和③符合题意，共两组，
故答案为：C.
【分析】由相反数的定义得a=-b，根据有理数乘方运算法则得a2=b2，a3=-b3，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数即可一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：512-510=510（52-1）=24×510.
∵24×510=12×2×510=8×3×510=6×4×510
∴512-510能被12、8、6整除，不能被16整除.
故答案为：D.
【分析】根据有理数乘方的运算法则，可知原式等于24×510，即可判断选项中哪些可以被整除，哪个不能被整除.
6．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】利用几个相同的数相加，可以转化为乘法运算，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求出结果.
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：原式=1+2-=3-.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘方法则以及绝对值的性质可得原式=1+2-，然后利用有理数的加法法则进行计算.
8．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5699万=56990000=5.699×107.
故答案为：5.699×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
9．【答案】1或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定义可得，
∵m-1＞m-3
∴
∴m-1=0或m-3=1或m-3=-1且m-1为偶数，
∴m=1或4
故答案为：1或4.
【分析】先判断m-1和m-3的大小，再根据新定义写出等式，然后根据0指数幂的性质、“1”的任何次幂都等于1，“-1”的偶数次幂等于1，进行思考即可求出m的值.
10．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴a-3=0，b+2=0
解得：a=3，b=-2
∴（a+b）2022
=（3-2）2022
=1，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性可得a、b的值，把a、b的值代入式子即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得a-2=0，b+1=0，
∴a=2，b=-1，
∴，
故答案为：
【分析】先根据非负性即可求出a和b的值，进而根据负整数指数幂即可求解。
12．【答案】1，和
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】①当指数为0，即x-1＝0∴x＝1，
原式＝30＝1，成立；
②当底数为1，即x+2＝1，∴x＝-1，
原式＝1-2＝1，成立；
③当底数为-1，即x+2＝-1，∴x＝-3，
原式＝（-1）-4＝1，成立，
综上所述，x的值为：1或-1或-3．
故答案为：1，和
【分析】根据有理数的乘方的法则，分三种情况进行讨论，即可得到答案．
13．【答案】证明：∵
，
又，，
∴.
∴.
【知识点】偶次方的非负性
【解析】【分析】利用作差法可得-(-x+4)=，然后结合偶次幂的非负性以及x>0确定出差的符号，据此进行比较.
14．【答案】解： ， ， ， ，
如图所示：
所以：
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方法则可得-(-1)2022=-1，根据绝对值的概念可得|-2|=2，根据相反数的概念可得-(-0.5)=0.5，根据百分数与小数的互化可得-50%=-0.5，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较.
15．【答案】（1）解：，如图所示，
（2）解：由数轴上的数从左到右逐渐增大可得：
.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数大小比较；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据相反数的概念可得-(-3)=3，根据绝对值的概念可得-|-2|=-2，根据有理数的乘方法则可得(-1)2=1，然后将各数表示在数轴上；
（2）根据数轴上，左边的数小于右边的数进行比较.
16．【答案】（1）=；=
（2）
（3）解：
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：（1）①
②
故答案为：①=，②=；
（2），
故答案为：；
【分析】（1）①根据乘方的定义，①式的左边就是两个“3×5”相乘，进而利用乘法的交换律和结合律及乘方的定义化简可得左式等于右式；②同①可得答案；
（2）通过观察（1）中的两个小题可得两个数的积的n次方等于这两个数的n次方的积，据此即可得出答案；
（3）先根据乘方的意义将第一个因数改写成“8×82021”，再逆用（2）式的结论变形，简化运算即可得出答案.
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