成都市蓉城联盟2023-2024学年高三上学期入学联考
理科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则
A． B． C． D．
2．设集合，若集合，，则
A． B．
C． D．或
3．已知，，，则
A． B． C． D．
4．若直线的倾斜角为，则
A． B． C． D．
5．若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为
A． B． C． D．
7．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，底面边长为，则该正三棱锥的体积为
A． B． C． D．
8．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则
A． B． C． D．
9．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
10．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为
① ②
A． B． C． D．
11．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为
A． B． C． D．
12．在中，，若点为的中点，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，，则______．
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则______．
15．勒洛三角形是分别以等边的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，勒洛三角形因为其具有等宽性被广泛地应用于机械工程，如转子发动机，方孔钻机等．如图，曲边三角形即是等边对应的勒洛三角形，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自及其内部的概率为______．
16．若函数，的值域为，则的取值范围为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等比数列的各项满足，若，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）证明：底面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）
近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学校兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，下图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．
（1）估算这人当天体育锻炼时间的平均数（每组中的数据用组中值代替）；
（2）现从“运动达人”中按分层抽样抽出人，若在这被抽出的人中随机选取人进行采访，求这人均来自的概率；
（3）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性
女性
合计
附：，，
临界值表： 0.05 0.01
3.841 6.635
20．（12分）
已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数．
（1）求过原点的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若与有公共点，求实数的取值范围．
23．（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围．成都市蓉城联盟2023-2024学年高三上学期入学联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C A C B D B D C A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4 14． 15． 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1）设的首项为，
若，，成等差数列，
则，即， …………………………2分
化简可得，
又，
解得或（舍去）， …………………………4分
； …………………………6分
（2）设数列的前项和为，
则 …………………………8分
…………………………11分
． …………………………12分
18．（12分）
解：（1）连接交于点，
由题设可知，，
在中，，即， …………………………3分
，又因为，，平面，
又平面，所以， …………………………4分
又，所以， …………………………5分
又，，平面，
底面； …………………………6分
（2）由（1）知底面，
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，，
，， ………………8分
设平面的法向量为，
，取非零向量， ……………9分
，，
又平面的法向量为， ………………10分
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为． …………………………12分
19．（12分）
解：（1）设这人当天体育锻炼时间的平均数为；
则； …………………4分
（2）由题知“运动达人”有人，入样比为，
抽取的人中有人位于，人位于， …………………………5分
从人随机选取人共有个基本事件，
人均来自共有个基本事件， …………………………7分
设这人均来自为事件，
； …………………………8分
（3）根据已知条件，列联表如下：
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性
女性
合计
………………………10分
根据列联表中的数据有
， …………………11分
所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关． …………………………12分
20．（12分）
解：（1）椭圆的上顶点与右顶点的距离为，即， …………………………1分
将代入方程，得， …………………………3分
联立以上两式可得，或，（不合题意，舍去）， ………4分
椭圆的方程为； …………………………5分
（2）当直线与轴重合时，结论显然成立； …………………………6分
当直线与轴不重合时，设其方程为；
联立，得，
由，即，解得或， …………………………7分
设，两点的坐标分别为，，
所以，， …………………………8分
若存在点使得，即存在点使得，
设点的坐标为，因为，即，
即，整理得， ……10分
代入得，所以点的坐标为．
综上，轴上存在点满足题意． …………………………12分
21．（12分）
解：（1）因为，，设切点为，
所以切线斜率为，切线为，
将点代入切线解得，故切线方程为； …………………………4分
（2）令，，
则原不等式即为，显然，
又，且， …………………………6分
再令，则，
当时，，，所以恒成立，
当时，，
所以当时，恒有，所以在区间上为增函数， ………………………7分
即在区间上为增函数，
①当，即时，，
所以在区间上为增函数，所以，不等式恒成立； ………………9分
②当，即时，，
又因为，
所以存在，使得，
所以在区间上为减函数，且，与题设不符，……………………11分
综上所述，实数的取值范围为． ……………………12分
22．（10分）
解：（1）曲线的极坐标方程可化为， …………………………2分
又因为，，
代入极坐标方程得； …………………………5分
（2）将直线的参数方程代入，
得关于参数的方程，若与有公共点，判别式， ………8分
即，解得． …………………………10分
23．（10分）
解：（1）由题知，当时，原不等式即， …………………………1分
当时，不等式为，解得； …………………………2分
当时，不等式为，恒成立； …………………………3分
当时，不等式为，解得， …………………………4分
综上，不等式的解集为； …………………………5分
（2）依题意，即恒成立， …………………………6分
又因为，
当且仅当时不等式取等号，即， …………………………8分
所以，解得． …………………………10分
解析：
1．D
由复数模的定义得，选D．
2．B
因为，所以，选B．
3．A
因为，而，所以，所以，选A．
4．C
由斜率的定义有，所以，选C．
5．A
函数的定义域为，由题知是定义域在上的偶函数，所以
即，化简得，选A．
6．C
因为，
所以含有的项为，选C．
7．B
正三棱锥的底面边长均相等，所以侧面均为等腰直角三角形，
即三条侧棱两两垂直，所以侧棱长为，
所以体积，选B．
8．D
方程可化为，则圆心为，半径为，
因为，在中，，，
所以，所以，选D．
9．B
当时，在区间上是减函数（不符合题意）；
当时，，即，
令，有，
所以在区间上是增函数，，
所以，选B．
10．D
分别作，的中点，，连接，，
过点作的垂线，垂足为，
因为，所以，所以，
根据对称性易得，
所以，
在中，，
，
又，
所以，选D．
11．C
抛物线的焦点为，由重心的性质有，
又由抛物线的定义知，同理可得，
又因为，所以，选C．
12．A
设，的对边分别为，，由余弦定理有，
又因为，所以，即，
所以，令，，
则，因为，
所以，所以，选A．
13．
因为，所以．
14．
因为，所以解得．
15．
设等边的边长为，则，
对应的勒洛三角形的面积为，
所以取自及其内部的概率为．
16．
由辅助角公式得，
令，解得或，，
令，解得，，
结合图象可知，，同时，，
所以．
