数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（共23张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（共23张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 51.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-09 19:16:29 | ||
图片预览
文档简介
(共23张PPT)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第一课时 研究距离问题
学习目标
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．
3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用.
01情景导入
PART ONE
情境导入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？
这个问题就需要我们来研究空间中的距离。
情境导入
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
思考：空间中包括哪些距离 求解空间距离常用的方法有哪些
02用空间向量研究距离问题
PART ONE
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？
如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离.
空间中点到直线的距离
设,则向量在直线上的投影向量.
在中，由勾股定理，得
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离
空间中点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
空间中点到平面的距离
平行于平面的直线l到平面α的距离
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
思考2：类似地，如何求平行于平面的直线l到平面α的距离？两个平行平面之间的距离呢？
两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
线面、面面距离平面外一点到平面的距离
l
03新知应用
PART ONE
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
1.在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，求点M到直线AD1的距离．
解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M(0，，).
＝(－a,0，a)，＝(0，－，)，
直线AD1的一个单位方向向量 ＝(－，0，)，
||2＝a2，· ＝ a.
所以点M到直线AD1的距离d＝＝＝a.
新知应用
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的单位方向向量；
(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量；
(4)代入点线距公式求距离.
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
新知应用
题型一：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(1)向量，所以B到平面DA1C1的距离 ；
新知应用
题型二：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为=(1,0,0)，所以B1到平面DA1C1的距离==．
新知应用
题型二：点到平面的距离
方法总结：求点到平面的距离
新知应用
题型二：点到平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
题型三：平面与平面的距离
新知应用
04课堂小结
PART ONE
课堂小结
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
第一课时 研究距离问题
学习目标
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题．
3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用.
01情景导入
PART ONE
情境导入
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？
这个问题就需要我们来研究空间中的距离。
情境导入
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
思考：空间中包括哪些距离 求解空间距离常用的方法有哪些
02用空间向量研究距离问题
PART ONE
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？
如图，向量在直线上的投影向量为，则是直角三角形.因为都是定点，所以，与的夹角都是确定的.于是可求.再利用勾股定理,可以求出点到直线的距离.
空间中点到直线的距离
设,则向量在直线上的投影向量.
在中，由勾股定理，得
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离点到直线的距离
空间中点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.因此
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
空间中点到平面的距离
平行于平面的直线l到平面α的距离
如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
思考2：类似地，如何求平行于平面的直线l到平面α的距离？两个平行平面之间的距离呢？
两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
线面、面面距离平面外一点到平面的距离
l
03新知应用
PART ONE
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
1.在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，求点M到直线AD1的距离．
解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M(0，，).
＝(－a,0，a)，＝(0，－，)，
直线AD1的一个单位方向向量 ＝(－，0，)，
||2＝a2，· ＝ a.
所以点M到直线AD1的距离d＝＝＝a.
新知应用
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的单位方向向量；
(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量；
(4)代入点线距公式求距离.
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
新知应用
题型一：点到直线的距离（平行线的距离）
新知应用
题型一：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(1)向量，所以B到平面DA1C1的距离 ；
新知应用
题型二：点到平面的距离
3.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：
(1)顶点B到平面DA1C1的距离；
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离．
解：以点D为原点，分别以 、与 为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，
A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1),则=(，
设平面DA1C1的法向量为，所以,因为，由，得，
不妨取y=1，则 .
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为=(1,0,0)，所以B1到平面DA1C1的距离==．
新知应用
题型二：点到平面的距离
方法总结：求点到平面的距离
新知应用
题型二：点到平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
新知应用
题型三：平面与平面的距离
题型三：平面与平面的距离
新知应用
04课堂小结
PART ONE
课堂小结