2023-2024学年贵州省贵阳市重点中学高三（上）开学数学试卷（8月份）（含解析）

2023-2024学年贵州省贵阳市重点中学高三（上）开学数学试卷（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知关于的方程有实根，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
4. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5. 设等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
6. 设函数，则使得的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知，分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上一点满足，且直线交轴于点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 一组互不相等的样本数据，，，，其平均数为，方差为，极差为，中位数为，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列选项一定正确的有( )
A. B. C. D.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知：：：：，则下列结论正确的是( )
A. ：：：：
B.
C. 若，则的面积是
D. 若，则外接圆半径是
11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积，托盘由边长为的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图则下列结论正确的是( )
A. 直线与平面所成的角为
B. 直线平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 球上的点离球托底面的最大距离为
12. 已知函数为自然对数的底数，，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______ ．
14. 已知随机变量服从二项分布，则 ______ ．
15. 南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为______ ．
16. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，数列中．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．
18. 本小题分
已知的内角、、所对边分别为、、，C.
若，求；
求的最大值．
19. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且平面．
求的值；
若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体具有识别抗原的特异性，因而利用抗体诊断与治疗疾病是医药研究者长期以来追求的目标，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面．某研究团队收集了组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为单位：，体内抗体数量为单位：．
表中，．
根据经验，我们选择作为体内抗体数量关于抗体药物摄入量的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
经技术改造后，该抗体药物的有效率大幅提高，经试验统计得服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过的概率约为多少？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
若随机变量，则有，，；
取．
21. 本小题分
已知点在椭圆：上，点在椭圆内设点，为的短轴的上、下端点，直线，分别与椭圆相交于点，，且，的斜率之积为．
求椭圆的方程；
记，分别为，的面积，若，求的值．
22. 本小题分
已知函数，．
若函数在处的切线的斜率为，求实数的值是自然对数的底数；
若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
．
所以或，
所以．
故选：．
求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合．
本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：关于的方程有实根，
，
化为，
，
．
故选：．
关于的方程有实根，化为，，解出即可．
本题考查了复数相等、运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为为锐角，所以，，
因为，所以，
所以，
所以
．
故选：．
求出的范围，再由平方关系求出，然后利用诱导公式、正弦的二倍角公式计算可得答案．
本题考查了三角函数求值应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
其展开式的通项公式为，
令，得；
令，得，
所以的展开式中的常数项为：
．
故选：．
先将展开写为，写出的通项，求出及的系数，代入中即可．
本题考查二项式定理，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，得，
所以等比数列的公比为，
所以由，得，
所以，解得，
所以．
故选：．
由，得，两式相减可求公比，再将代入中化简可求出，从而可求出．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，则即为偶函数，
当时，单调递增，
根据偶函数的对称性可知在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
由可得，
两边同时平方可得，，
解可得，．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用
7.【答案】
【解析】解：设直线交轴于点，则，
当时，，得，
所以，
因为，为的中点，
所以，所以，
所以，，
所以，解得，
因为，所以，
故选：．
设直线交轴于点，当时，可求出，再由题意可得，则，结合化简可求出离心率．
本题主要考查了双曲线的性质的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
构造函数，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故，，即，．
令，，则，
令，则，
在上单调递增，，
使，
当时，，
在上单调递减，即在上单调递减，在时，，
在上单调递增，
即在上单调递增，又，，，
在上单调递减，
故，即，，
综上．
故选：．
根据已知条件构造函数，，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解．
本题考查了通过构造函数利用导函数研究函数的单调性比较数的大小，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：易知中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，
若去掉其中的最小值和最大值后，
此时中间位置的数相对位置保持不变，
所以新数据的中位数保持不变，
此时，故选项A正确；
对于选项B：平均数受样本中每个数据的影响，
若去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可能会改变，故选项B错误；
对于选项C：方差反映数据的离散程度，
若去掉数据中的最小值和最大值后，数据相对更加集中，方差变小，
此时，故选项C正确；
对于选项D：因为极差是最大值与最小值之差，
若去掉最小值和最大值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，
此时，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据中位数、平均数、方差、极差的定义对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查中位数、平均数、方差和极差，考查了逻辑推理能力．
10.【答案】
【解析】解：依题意，设，，，则，，，
对于，由正弦定理得，：：：：：：，故选项A正确；
对于，，
，故选项B错误；
对于，若，则，所以，，则由余弦定理有，，
则，故的面积为，故选项C错误；
对于，若，则，所以，，，则由余弦定理有，，
所以，由正弦定理得，的外接圆半径为，故选项D正确．
故选：．
根据题意可设，，，进而有，，，利用正弦定理、平面向量的数量积和余弦定理、三角形面积公式化简计算依次判断选项即可．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示：
由平面与平面垂直知在平面内的射影是，
所以为直线与平面所成的角，此角大小，A正确．
由知，，，，四点共面，而与不平行，故直线与平面不平行，所以B错误．
由上面讨论知与平行且相等，而与平行且相等，
因此与平行且相等，从而是平行四边形，则，
所以是异面直线与所成的角或其补角．
由已知，，，
所以，C错误．
如图所示：
由上面讨论知，设是球心，球半径为，
由得，则是正四面体，棱长为，
设是的中心，则平面，又平面，
所以，，则，又．
所以球离球托底面的最大距离为，D正确．
故选：．
A.由平面与平面垂直判断；由，与不平行判断；易知是平行四边形，得到，从而得到是异面直线与所成的角或其补角求解判断；设是球心，球半径为，易知是正四面体，棱长为，求得其高，则球离球托底面的最大距离为球的半径加正四面体的高和球托的高求解判断．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12.【答案】
【解析】解：对于，由于，，
而在上单调递增，
则，故，即，选项A正确；
对于，由于，
则由函数零点存在性定理可知，，
所以，选项B正确；
对于，易知，若，则，即，这与矛盾，选项C错误；
对于，，令，
作出函数和的函数图象如下所示，
由图象可知，函数在上单调递减，则，选项D正确．
故选：．
由在上单调递增，且可判断选项A；由零点存在性定理可知，再结合二次函数的性质可判断选项B；先假设，再推出矛盾即可判断选项C；构造函数，利用函数的单调性可判断选项D．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想以及数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
，
同理可得，
所以原式．
故答案为：．
利用两角和的正切公式计算．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，
．
故答案为：．
根据二项分布的概率公直接求解即可．
本题考查二项分布相关知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：高阶等差数列：，，，，，，，，
令，则数列：，，，，，，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则，
则
．
故答案为：．
构造数列，并利用等差数列的性质即可求得结论．
本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，设，则，，
在中，，则，
故或舍去，
所以，，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故．
故答案为：．
利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到，，，关于，的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到，的齐次方程，从而得解．
本题主要考查了双曲线性质及定义的应用，属于中档题．
17.【答案】解：设正项等比数列的公比为，
又，，
则，
得，
而，
解得，
于是，
由，
得，
所以数列的通项公式；
由知，，显然数列是等差数列，
则，
则，
所以．
【解析】根据给定条件，求出数列的通项公式即可代入计算作答；
由等差数列前项和公式求出，再利用裂项相消法求和作答．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．
18.【答案】解：由正弦定理可知：：：：，
故，
所以，
由余弦定理可得，
故，化简得 ，
代入，可得，故，
所以，则是直角三角形，
故．
由知 ，
根据正弦定理得 ，又，
所以：，
化简可得，即，
由于，，则，则，
所以或，
所以：或舍去，
则．
由、、可得，则，
解得，则，
所以当时 取到最大值．
【解析】根据正弦定理边角互化可得，进而结合余弦定理可得，故，从而得是直角三角形，即可求解；
根据和差角公式以及三角函数的性质可得，即可结合余弦二倍角公式求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：如图，连接交于点，连接．
因为平面，平面，平面平面，
所以，因为四边形为平行四边形，
所以是的中点，所以为的中点，
所以．
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，连接，
由三棱锥的体积为，得
，解得．
取的中点，连接，．
因为，则，同理．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由得取，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由得取，
所以平面的一个法向量为．
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质得，再利用中位线性质即可得到比值；
建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量即可得到面面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
20.【答案】解：将两边取对数，得，
设，，则回归方程变为，
由表中数据可知，，，
所以，
，
所以，即，
故关于的回归方程为，
当时，．
因为服从正态分布，其中，，
所以，
所以，
故这种抗体药物的有效率超过的概率约为．
【解析】设，，则回归方程变为，再结合表中数据求得对应的回归系数，即可；
易知，再结合正态分布的对称性，求得的值，即可．
本题考查回归方程的求法，正态分布的性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：不妨设，
易知，，
所以，
整理得，
又椭圆过点，
所以，
则椭圆的方程为；
易知直线的方程为，
联立，消去并整理得，
所以，
又直线的方程为，
联立，消去并整理得，
所以，
此时，
因为，
所以
，
因为，
所以，
解得．
【解析】由题意，利用斜率乘积建立方程，把点代入求解椭圆方程；
先求出点，的坐标，然后求出线段比例，最后代入三角形面积公式化简求解即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：因为，
所以，
又，
所以，
所以，
即，
令，则，
又因为在上单调递增，且，
所以，
所以，即．
因为函数有且仅有两个零点，
所以有且仅有两个大于的实数根，
又，
则，即，
令，则，
由，得，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，则，
即，
令，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，
当无限趋近于且为正数时，无限趋向于负无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于，
所以，
所以，
故实数的取值范围为．
【解析】利用导数的几何意义求得，两边取对数结合换元法得，构造函数，利用复合函数研究单调性，从而求解即可；
把问题转化为有且仅有两个大于的实数根，构造函数，利用函数单调性得，即，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而求解参数的范围．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．
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