2023-2024学年福建省三明市名校高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省三明市名校高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
4. 已知，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知则( )
A. B. C. D.
6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务已知某种垃圾的分解率与时间月近似地满足关系其中，为正常数，经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过个月参考数据：( )
A. B. C. D.
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
8. 已知在上存在唯一实数使，又，任意的，均有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题是真命题的是( )
A. ，使函数在上为偶函数
B. ，函数的值恒为正数
C. ，
D.
10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. B. 是图象的一个对称中心
C. 当时，取得最大值 D. 函数在区间上单调递增
11. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成的噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线部分图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的单调减区间为
D. 图像可以由图像向右平移个单位得到
12. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 化简的结果为______
14. 已知，，若，则 ______ ．
15. 在中，，，则的形状为______ ．
16. 已知恒成立，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，且的面积为，求的周长．
18. 本小题分
已知．
若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知某公司生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；
当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？注：年利润年销售收入年总成本．
20. 本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最值；
若，，求的值．
21. 本小题分
在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答．
，，，，．
在中，角，，的对边分别为，，，且_____．
求角；
若，求周长的取值范围．
22. 本小题分
已知曲线：．
若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
当时，求在上的值域；
若，讨论的零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【解答】
解：角的终边上有一点的坐标为，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
则，
，
故ABC错误，D正确．
故选：．
分别求出，，根据集合的运算判断即可．
本题考查了集合的运算，考查转化思想，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，，
又，即，
又，或．
故选：．
由正弦定理求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用诱导公式求得，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：已知，，，
．
，，则，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．
结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后代入即可求解．
【解答】
解：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：依题意列方程组得，解得，，
所以，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以．
故选：．
根据和的两组值求出，，再根据求出，即可得解．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设切点坐标为，由于，
因此切线方程为，又切线过点，
则，，
设，函数定义域是，
则直线与曲线有两个不同的交点，
，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；
当时，时．，单调递减，
时，，单调递增，所以，
由题意知，即．
故选：．
设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数构造新函数图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
其中满足，又由任意的，均有成立，
即成立，可知最大值为，
，又，，，
又知，
又在上存在唯一实数使，
即，，．
故选：．
根据已知可得解析式，再根据在上存在唯一实数使，可得范围．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，当时，，易知定义域为，且，所以为偶函数，故A为真命题；
选项B，，当时，，故B为假命题；
选项C，当时，，故C为真命题；
选项D，当时，由的图像与性质知，，又，所以，故D为假命题．
故选：．
对于选项A，通过取，得到，再利用函数奇偶性的判定方法即可得出结果；对于选项B，利用“合二为一”公式对函数化简变形即可判断出结果的正误；对于选项C和，通过取特殊值和，即可判断出结果的正误．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；
对于：由于，故A正确；
对于：当时，，故B正确；
对于：当时，，故C错误；
对于：由于，故，故函数在区间上单调递增，故D正确．
故选：．
首先利用三角函数关系式的平移变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由已知，，所以，故A正确；
对于，因为，所以由图象知，，所以，
又因为，且在的单调递减区间上，
所以，，因为，所以，
又因为，所以，所以，故选项B正确；
对于，，
由，，解得，，
所以的单调减区间为，故选项C错误；
对于，图像向右平移个单位得到：
，故选项D错误．
故选：．
由图像求出解析式，依据题意得出解析式，对各选项逐个判断即可．
本题主要考查三角函数解析式的确定，正弦函数的图像与性质，三角函数图像的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：为偶函数，
关于对称，
根据图像变换关于对称，故A正确；
为奇函数，
关于中心对称，
根据图像变换关于中心对称，故B错误；
由以上分析得的周期为，
即，故C正确；
关于中心对称，
，，
关于对称，
，，
，
是周期为的函数，
，
，
，故D错误．
故选：．
根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可得到．
本题考查了抽象函数的对称性、奇偶性及周期性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
故答案为：
由已知利用诱导公式即可化简求值．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，令，则为奇函数，
．
若，则，故，
故．
故答案为：．
令，则为奇函数，求出的值，可得的值．
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的值，属于基础题．
15.【答案】等边三角形
【解析】解：由正弦定理，所以，
代入得，，
所以，三角形为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：已知恒成立，
所以恒成立，
等价于，
整理得，
，
不妨设，函数定义域为，
易得函数在定义域上单调递增，
整理得，
等价于在区间上恒成立，
不妨令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
可得，
解得，
因为，
联立，解得．
故答案为：．
由题意，将不等式恒成立转化成，设，根据的单调性得到，此时问题转化成在区间上恒成立，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，结合，列出等式即可求出的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性；考查了逻辑推理、转化思想和数学运算能力．
17.【答案】解：Ⅰ，
，
又，，
，，
；
Ⅱ的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
【解析】Ⅰ根据二倍角公式化简可得，进一步计算可得角；Ⅱ根据三角形面积求得，再根据余弦定理求得，相加可得三角形的周长．
本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，，
，
在区间内单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，
，，
又当时，，
，
故的取值范围为；
在上存在单调递增区间，
在上有解，
即在上有解，
，，
又，
．
故的取值范围为．
【解析】函数求导后，将问题转换成在上恒成立，分离参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；
函数求导后，将问题转换成在上成立，分离参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题与存在性问题的求解，参变量分类法，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：当时，
；
当时，．
故，
当时，由，
得当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故；
当时，，
当且仅当时，．
综合、知，当时，取最大值．
所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
【解析】本题考查了函数的应用、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
当时，； 当时，即可得出；
利用导数研究函数的单调性即可得出．
20.【答案】解：因为，
又，所以，故，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为；
因为，，所以，
所以，，
所以．
【解析】先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；
先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，，进而利用正弦的和差公式求得．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：若选：由正弦定理及，
得，
又，
，
，
，
又，
；
若选：由，
得，
即，
，
，
，
，
；
若选：，
，化简得，
，
，
．
由余弦定理得，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，
，当且仅当时等号成立，
，
又，
，
周长的取值范围为．
【解析】若选，由正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式等化简即可求解；若选，由两角和与差的正弦公式即可求解；若选，由垂直的向量表示得出边的关系，再由余弦定理即可求解．
由余弦定理结合基本不等式和三角形性质得周长范围．
本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：由题意可得，
此时，
，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
当时，，
则，
所以，
所以在上单调递减，
又，，
所以的值域为．
，
令，得，
令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
所以，
所以在上有且仅有一个零点，
当时，令，
，
所以在上单调递增，
所以，
又，
所以在上有一个零点，
又，
，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上有一个零点，
综上所述，当时，有一个零点，
当时，有两个零点．
【解析】由题意可得，此时，求导可得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，由点斜式，即可得出答案．
当时，，求导分析的单调性，最值，即可得出答案．
根据题意可得，求导分析的符号，的单调性，的零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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