2023-2024学年上海市部分学校高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市部分学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2. 某高中共有学生人，其中高一、高二、高三的学生人数比为：：，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为的样本，则高三年级应该抽取人．( )
A. B. C. D.
3. 已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 对于某一集合，若满足、、，任取、、都有“、、为某一三角形的三边长”，则称集合为“三角集”，下列集合中为三角集的是( )
A. 是的高的长度 B.
C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合，集合若，则实数 ______ ．
6. 复数，则______．
7. 已知，求的最小值是 ．
8. 已知抛物线的焦点坐标为，则的值为______．
9. 在的二项展开式中，的系数是______．
10. 已知向量，，若，则的值为______ ．
11. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的单位圆交于点，则的值为______ ．
12. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为的半圆，则此圆锥的体积为______．
13. 某个品种的小麦麦穗长度单位：的样本数据如下：、、、、、、、、、、、，则这组数据的第百分位数为______ ．
14. 函数，的值域为______．
15. 从名志愿者中选出名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作每项人，其中甲不参加测温的分配方案有______种．结果用数值表示
16. 在面积为的平行四边形中中，，点是所在直线上的一个动点，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项．
求和的调和中项；
已知调和数列，，，求的通项公式．
18. 本小题分
已知关于的一元二次函数．
若的解集为，求实数、的值．
若实数、满足，求关于的不等式的解集．
19. 本小题分
如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线平面，又棱，为的中点，．
Ⅰ 求证：直线平面；
Ⅱ 求直线与平面所成角的正切值．
20. 本小题分
已知椭圆：的长轴长为，离心率为，直线与椭圆有两个不同的交点，
求椭圆的方程；
若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点与不重合在椭圆上，求的值；
设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值．
21. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的极值；
Ⅱ当时，讨论的单调性；
Ⅲ若对任意的，，，恒有成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线：，直线：，
，，解得．
则“”是“”的充要条件，
故选：．
根据直线平行，充分必要条件的定义，判断即可．
本题考查直线平行，充分必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：高三年级学生的人数所占的比例为，
故应从高三年级抽取的学生的人数为：，
故选：．
用样本容量乘以高三年级学生的人数所占的比例，即为所求．
本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，，一定成等比数列，故选：．
根据同角三角函数的关系，三项成等比数列的关系即可判断．
本题考查同角三角函数关系，等比数列的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，，，如图所示：
显然，故BE、、不满足三角形的三边，故选项A错误；
对于：由，解得，任取，且，则 ，，又，
所以，即选项B成立；
对于：因为，当时，，解得；
当时，，解得；当时，即恒成立，所以；
综上可得，即，
令，，显然，不满足，，为某一三角形的三边长，故选项C错误；
对于：因为，所以，解得，所以，
令，，显然，不满足，，为某一三角形的三边长，故选项D错误．
故选：．
利用特殊三角形判断选项A，解分式不等式即可证明选项B；利用零点分段法解方程，求出选项C所对应集合，再利用特殊值排除选项C；根据对数的性质求出选项D的集合，再利用特殊值排除选项D．
本题以新定义为载体，综合考查了不等式及方程的解，三角形的边长关系，对数函数的性质的应用，属于中档题．
5.【答案】或
【解析】解：集合，集合，，
，
或，
解得，或，或舍．
故答案为：或．
由，得，从而或，再由集合中元素的互异性能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．
本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．
【解答】
解：由于，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：
8.【答案】
【解析】解：由于抛物线的焦点坐标为，
所以．
故答案为：．
根据抛物线的焦点坐标求得的值．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
利用二项展开式的通项公式写出第项，令的指数为求出展开式中的系数．
【解答】
解：设求的项为，
今，
．
的系数是．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：，且，，
，
解得，，
．
故答案为：．
根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解．
本题考查向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题．
11.【答案】．
【解析】解：由题意知，，
所以．
故答案为：．
运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．
根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，勾股定理得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为，则，．
圆锥的高．
圆锥的体积．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：数据从小到大排序为：、、、、、、、、、、、，共有个，
所以，
所以这组数据的第百分位数是第个数即：．
故答案为：．
将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可．
本题考查百分位数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
结合二倍角公式、辅助角公式可得，再根据及三角函数的性质求值域即可．
本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：从名志愿者中选出名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作每项人，
则甲不参加测温的分配方案有种，
故答案为：．
由排列、组合及简单计数问题，结合乘法原理求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了乘法原理，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
则，
则，
．
当且仅当且时取等号．
故答案为：．
取的中点，连接，可得，结合基本不等式与四边形面积公式可得最小值．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：设和的调和中项为，依题意得：、、依次成等差数列，
所以，即；
依题意，是等差数列，设其公差为，
，
所以，
故．
【解析】根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到的通项公式．
本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，属于中档题．
18.【答案】解：的解集为或，
，与是一元二次方程的两个实数根，
，解得，．
，关于的不等式化为：，
因式分解为：，
当时，化为，则；
当时，，解得，不等式的解集为；
时，，解得，不等式的解集为；
时，，不等式化为：，解得或，
不等式的解集为，或．
【解析】由的解集为或，可得，与是一元二次方程的两个实数根，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
由，关于的不等式化为：，因式分解为：，对分类讨论即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：，，，
是以为直角的直角三角形；
又，；
又平面，平面，
；
且，平面，
平面；
如图所示，连接，过点作于点，
因为平面，平面，
所以，
又，且，平面，
平面；
又平面，
；
又，且，
平面，
为直线与平面所成角
在中，，，
．
【解析】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是基础题目．
只需证明直线，且即可；
先证明平面，得出为直线与平面所成角，在中计算的值．
20.【答案】解：由椭圆：的长轴长为，离心率为，可得，即，
又，解得，则，
则椭圆的方程为：
联立可得，
由，可得．
设，则，，解得，，即，
又在椭圆上，可得，解得舍去或，
则；
设，，可得，，
又，
则直线的方程为，与椭圆方程联立，
可得，
则，即有，，
即，
同理可得，
又，所以，，
由题意可得，
则，
化简可得，
则，即有的值为．
【解析】由椭圆的长轴长和离心率，可得，的值，再由，，的关系，可得，进而得到椭圆的方程；
联立直线的方程与椭圆方程，运用判别式大于，可得的范围，再由点关于直线的对称的知识，求得的坐标，代入椭圆方程求得的值；
设，，结合椭圆方程，求得直线的方程，与椭圆方程联立，解得的坐标，同理可得的坐标，由向量共线的坐标表示，化简整理，结合直线的斜率公式，可得所求值．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于难题．
21.【答案】解：Ⅰ依题意知的定义域为，
当时，，，
令，解得，
当时，；
当时，．
又，
的极小值为，无极大值．
Ⅱ
，
当时，，
令得或，
令得；
当时，得，
令得或，
令得；
当时，，
综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；
当时，在单调递减；
当时，的递减区间为和，递增区间为
Ⅲ由Ⅱ可知，当时，在区间上单调递减，
当时，取最大值；
当时，取最小值；
，
恒成立，
整理得，
，恒成立，
，，
，即实数的取值范围是
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了分类讨论的思想方法；考查恒成立问题，体现了转化的思想．属难题．
Ⅰ当时，，求导，令，即可求得函数的极值；
Ⅱ当时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数单调区间；
Ⅲ由Ⅱ可得，，则恒成立问题可以转化为成立，解不等式，可求实数的取值范围．
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