2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三（上）开学数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市锦江区名校高三（上）开学数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若记图三角形的面积为，则第个图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足为锐角的概率是( )
A. B. C. D.
6. 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是( )
A.
B.
C.
D.
7. 在年成都大运会期间，组委会派遣甲、乙、丙、丁、戍五名志愿者参加，，三个场馆的翻译工作，每人只去个场馆，每个场馆至少去人，且甲、乙两人约定去同一个场馆，则不同的派遣方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. ( )
A. B. C. D.
10. 已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象关于直线对称若对任意，存在，使成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数为( )
函数在处的切线与函数在处的切线平行；方程有两个实数根；若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则若，则的最小值为．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，满足约束条件，则的最大值为 ．
14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是______ ．
15. 已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，若，则点的坐标为______ ．
16. 已知面积为的锐角其内角，，所对边分别为，，，且，则边的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数精确到；
统计今年以来元月月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：
月份 元月 月 月 月 月
销售量万辆
预测该品牌汽车在今年月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
18. 本小题分
如图，梯形中，，为中点，且，，将沿翻折到，使得连接，．
求证：；
为线段上一点，若，若二面角的平面角的余弦值为时，求实数的值．
19. 本小题分
已知数列中，，且数列是公差为的等差数列．
求的通项公式；
设___，为数列的前项和，若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．
从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题．
；；．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点为椭圆在第一象限内部分上的一点．
若，，求面积的最大值；
是否存在点，使得过点作圆：的两条切线，分别交轴于，两点，且若存在，点求出的坐标；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
已知，是的导函数，其中．
讨论函数的单调性；
设，与轴负半轴的交点为点，在点处的切线方程为．
求证：对于任意的实数，都有；
若关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
22. 本小题分
直角坐标系中，点，动圆：．
求动圆圆心的轨迹；
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率．
23. 本小题分
已知函数，．
求函数的最小值；
设，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
所以．
故选：．
先根据题意分别求解集合、，再求交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数在复平面内对应的点为，则，．
故选：．
直接利用复数的运算法则化简求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
，
解得，
，
故选：．
根据求得，再利用向量的模公式求解．
本题考查向量的坐标运算，方程思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，设图阴影面积为，设图的阴影面积为，则，
则图阴影为图面积的，，
图阴影为图面积的，，
图阴影为图面积的，，
第个图中阴影部分的面积为，
故选：．
依题意，设图阴影面积为，设图的阴影面积为，则，即可归纳可得．
本题考查了归纳推理，考查推理能力和计算能力，属简单题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，矩形中，设，则，的中点为，
则矩形的面积，
以为圆心，半径为，在矩形内部作半圆，
现向矩形内随机投掷质点，若为锐角，符合条件为矩形中，半圆之外的部分，
如图的阴影部分，
则为锐角的概率；
故选：．
根据题意，矩形中，设，的中点为，求出矩形的面积，分析符合条件的的图形以及面积，由几何概型公式计算可得答案．
本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：模拟程序的运行过程，如下：
，，满足条件；
，，满足条件；
，，满足条件；
，，满足条件；
，，不满足条件；
退出循环，输出，
判断框中应填入的判断条件．
故选：．
模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件．
本题考查了程序框图应用问题，也考查了运算求解能力与数学思维核心素养，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：若按照：：进行分配，则有种不同的方案，
若按照：：进行分配，则有种不同的方案，
故共有种派遣方案．
故选：．
分：：和：：两种分配方法，结合计数原理求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
由知点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆．又点总在椭圆内部，，由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．
【解答】
解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，，
，
点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆．
又点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即，．
，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，即得答案．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图，
四面体满足，，，
把该四面体补形为长方体，
设长方体的棱长分别为，，，
则，可得，
四面体的外接球的半径；
解关于，，的方程组可得，，．
四面体的体积为，
四面体的四个面全等，在中，，
则，可得，
四面体的内切球的半径为，则，解得．
．
故选：．
把四面体补形为长方体，求其对角线长，即可求得外接球半径，再由等体积法求其内切球半径，作比得答案．
本题考查多面体的外接球与内切球，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法与等体积法的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
的图象关于直线对称，则，
，，
，此时满足对称性．
由时，，，
由题意存在，使得成立，即成立，
，
．
故选：．
由三角函数恒等变换公式化简函数式，然后由对称性求得，再求得时的的最大值，从而化简题设不等式，由分离参数法求得的范围．
本题考查函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：已知，，
可得，，
此时，，
又，，
所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，
此时两切线平行，故正确；
对于：易知当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
若，
即时，
易得，
不妨设，
可得，
不妨设，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以恒成立，
即函数在上单调递减，
又，
所以当时，，
即当时，，
整理得，
则，
又，
所以仅有一个根，故错误；
对于：由知，
因为，
所以或，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
则无解，
此时不满足，
同理得，
所以或与矛盾，舍去，
则，
因为，
即，
整理得，
则，故正确；
对于：易知当时，；当时，，
所以当时，
可得，，
又，
所以，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
则的最小值为，故正确，
综上，结论正确的有正确，
故选：．
由题意，利用导数的几何意义即可判断结论；先利用导数得到函数和的单调性，再根据，当时，即可判断结论；利用分析即可判断结论；结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可判断结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：作出可行域如下，
由可得，
当直线过点时，最小，则最大，
此时．
故答案为：．
根据约束条件画出可行域，结合的几何意义，利用数形结合的方法即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知函数，
需满足，即，
解得且，即，
故函数的定义域是，
故答案为：．
根据函数解析式列出其需满足的条件，即可求得答案．
本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，
由，得，
则，，，
由已知，设，其中，即，
，
，
把，，，，代入化简得，
解得或舍去，，．
故答案为：．
设，，直线方程代入抛物线方程化简后应用韦达定理得，，代入可求得值得焦点坐标．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
由正余弦定理可得：，
化简得，
由余弦定理可得，即，
又，故，
所以，其中，
令，，
当时，，则，单调递减，
当时，，则，单调递增，
所以，所以，
即，当时，等号成立．
故答案为：．
利用正余弦定理化简可得，再由面积公式化简得，构造函数利用导数求最小值即可．
本题考查的知识要点：函数的求导，余弦定理和正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为直方图的组距为，则各组频率即为相应小矩形的高，
所以平均数的估计值为万元．
因为，
则中位数在区间内，
设中位数为，
则，得，所以中位数的估计值为万元．
记，，，，，，
由散点图可知，组样本数据呈线性相关关系，
因为，，，，
则，，
所以回归直线方程是，
当时，，预计该品牌汽车在今年月份的销售量约为万辆．
【解析】根据已知条件，结合平均数和中位数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，再将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．
18.【答案】证明：，
．
又，，平面．
平面平面．
平面平面．
在梯形中，，．
在四棱锥中，．
，为正三角形．
取中点连接，，易得，．
由面面垂直的性质可得平面．
又，，，
四边形为正方形，．
又、平面，平面．
又平面，；
解：由知、、两两垂直．以为坐标原点．以，，所在直线建立如图所示的坐标系，
则：，，，，
由，得，
．
则，．
设平面的法向量，
，，
，
，
取，，则，，即．
易知平面的一个法向量为，
，
解得或舍，
．
【解析】利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．
本题考查了空间线面位置关系、数量积运算性质、向量夹角公式、二面角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：数列的首项为，
又数列是公差为的等差数列，
可得，
所以，
当时，，．
当时，满足，
故的通项公式为．
选择，
可得，
则
，
对任意，总有恒成立，
可得，解得；
选择，由可知，
所以
．
所以．
选择，由可知，
所以．
所以．
【解析】由等差数列的通项公式和数列的恒等式，可得所求；
分别选，运用数列的裂项相消求和和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查等差数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立的问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为，可得，
即椭圆的方程为：，
椭圆又过，即，
解得，，
故椭圆的方程为．
可得，
可得，
，
可得直线的方程为，
即直线的方程为：，
设点，，
则到直线的距离，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
所以面积的最大值为．
设点，，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为，
即，
即，即，
同理．
由此可知，，为方程的两个实根，
所以，．
．
因为点在椭圆上，则，则，
则，
则，因为，则，，
即，
故存在点满足题设条件．
【解析】由题意求得，，得，两点坐标，求得线段长，再用三角换元法设出点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数性质得最大值，从而得三角形面积最大值；
设点，，，写出直线方程，由圆心到直线的距离等于圆半径得出，，的关系式，整理为关于的方程，同理得关于的方程，比较得出，是一个一元二次方程的解，由韦达定理得，，代入结合点是椭圆上的点求得，得点坐标．
本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，得，，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知，令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，则，
所以，．
当时，若，，
若，令，则，
故F在时单调递增，．
故F，在上单调递减，
当时，由，知在时单调递增，
则，
所以在上单调递增，
则，即成立．
证明：，设的根为，则，
又单调递减，且，
所以，
设曲线在点处的切线方程为，有，
令，，
当时，，
当时，令，则，
故函数在上单调递增，
又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故．
又，
所以．
【解析】求出的导数，结合解不等式可得答案；
，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；设的根为，求得其表达式，并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设的根为，推出，从而，即可证明结论．
本题考查导数的综合应用，涉及单调性、最值以及不等式的证明，难点在中第二小问不等式的证明，解答时要注意利用导数的几何意义求得切线方程，进而结合同构函数，判断函数单调性解决问题，属于中档题．
22.【答案】解：设圆心，
，
，，
圆心的轨迹方程为，即圆心的轨迹为线段；
，即，
将代入得，即曲线的直角坐标方程为，
设直线的倾斜角为，
由点在直线上，则直线的参数方程为为参数，
代入曲线的方程得，
设，，
点在曲线的内部，
，化简得，解得，
又，则，或，
，即直线的斜率为．
【解析】设圆心，根据，即可得出答案；
将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线的倾斜角为，得直线的参数方程为为参数，代入曲线的直角坐标方程，设，，可得，根据韦达定理可求的值，结合，即可得出答案．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：由题设，
而在，，上均能取到最小值，
在上递减，在上为常数，在上递增，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为；
由，仅当取等号，
要证，即证，即，
需证，而，，即，，
所以恒成立，故得证．
【解析】写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；
利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即可．
本题考查函数和不等式的综合应用，熟练掌握函数最值的求法、不等式的证明方法及反证法的应用是解题关键．
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