2023-2024学年安徽省芜湖二中高二（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省芜湖二中高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，使”的否定形式是( )
A. “，使” B. “，使”
C. “，使” D. “，使”
3. 已知复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
4. 下列各组函数中表示同一个函数的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数，则的图象大致为 ( )
A. B.
C. D.
6. 若，则( )
A. B. C. D.
7. 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业发展较快年全球连接器营收情况如图所示，根据折线图下列结论正确的个数为( )
每年的营收额逐年增长；
营收额增长最快的一年为年；
年的营收额增长率约为；
年每年的营收额相对于年每年的营收额，变化比较平稳．
A. B. C. D.
8. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在正方体中，以下四个选项正确的是( )
A. 平面
B. 与平面相交
C. 平面
D. 平面平面
12. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象最小正周期为
C. 函数的图象在上单调递增
D. 函数的图象关于直线对称
三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 函数的定义域是 ．
14. 已知，，与的夹角为钝角，则的取值范围是______；
15. 从分别写有，，，，的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于的概率为______．
16. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ______ ；将函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，则 ______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
判定函数在的单调性，并用定义证明；
若在恒成立，求实数的取值范围．
18. 本小题分
某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示．
估计在这名读书者中年龄分布在区间上的人数；
求这名读书者年龄的平均数和中位数；
从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为的概率．
19. 本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，若
求的值；
若，，求的值．
20. 本小题分
已知向量，满足，，
求关于的解析式；
求向量与夹角的最大值；
若且方向相同，试求的值．
21. 本小题分
如图，在四棱柱中，底面为菱形，平面，与交于点，，，．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ求二面角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，分式不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．
【解答】
解：由存在量词命题的否定是全称量词命题，
得命题“，使”的否定形式为：，使．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于选项A：定义域为，的定义域为，
定义域不同，两个函数不是同一个函数；
对于选项B：定义域为，的定义域为，
定义域不同，两个函数不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，定义域为，
定义域不同，两个函数不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，
对应法则相同，故两个函数是同一个函数．
故选：．
判断函数的三要素是否相同即可．
本题考查是否为同一函数，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的图象判断，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
利用函数的定义域与函数的值域排除，，通过函数的单调性排除，推出结果即可．
【解答】
解：令，则，
因为，
由，得，即函数在上单调递增，
由，得，即函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值，，
于是对任意的，有，
则，故排除、，
因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，故排除．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：由，
则
．
故选：．
利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．
本题考查了诱导公式和二倍角公式应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：年，营收额减少，故错误；
由折线图可知营收额增长最快的一年为年，故正确；
，故正确；
经过计算，得年每年的营收额相对于年每年的营收额，变化比较平稳，故正确．
即正确，
故选：．
根据折线图信息逐个判定各个选项即可．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题给出圆柱的侧面积与一个球的表面积相等，求它们的体积比．着重考查了圆柱侧面积和体积公式、球的表面积和体积公式，属于中档题．
根据题意，设圆柱的底面半径为，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．
【解答】
解：设圆柱的底面半径为，轴截面正方形边长，则．
可得圆柱的侧面积．
再设与圆柱侧面积相等的球半径为，
则球的表面积，解得，
因此圆柱的体积为，
球的体积为，
因此圆柱的体积与球的体积之比为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等关系与不等式，着重考查基本不等式的应用，考查灵活解决问题的能力，属于中档题．
，，，由基本不等式，可得，可判断；用“”的代换，可得利用基本不等式可判断；由基本不等式可以判断；由重要不等式变形，，，可以判断．
【解答】
解：，，，
当且仅当时取“”，
当且仅当时取“”，即A错误；
，
当且仅当时取“”，B正确；
，
当且仅当时取“”，故C错误；
，，
，当且仅当时取“”，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积，平面向量的线性运算，属于基础题．
由平面向量数量积及平面向量的线性运算结合正六边形的性质，逐一判断即可得解．
【解答】
解：对于选项A，由向量加法的平行四边形法则可得：，即选项A错误；
对于选项B，由向量数量积的运算可得：，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，由向量加法的平行四边形法则可得：，，又，即选项D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为平面平面，而平面，故D与平面没有公共点，所以平面，所以A正确；
对于，因为，所以平面，所以B错误；
对于，只有，而与平面内其他直线不垂直，所以C错误；
对于，在正方体中，易得平面，而平面，所以平面平面，所以D正确；
故选：．
根据面面平行的定义可判断；根据，可知平面，由此可判断；根据线面垂直的定义和判定定理可判断；根据面面垂直的判定定理可判断．
本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
当时，，故选项A正确．
函数的最小正周期为，故错误．
由于函数在一个周期为单调递增，故正确．
对于正切型函数不存在对称轴，故错误．
故选：．
首先利用三角函数关系式的变换和正切型函数性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正切型函数的性质及的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，属于基础题．
根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则，
得，
即，
即函数的定义域为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：与的夹角为钝角；
，且不共线；
；
且；
的取值范围是．
故答案为：．
根据的夹角为钝角即可得出：，解出的范围即可．
考查向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算，平行向量的坐标关系．
15.【答案】
【解析】解：从分别写有，，，，的五张卡片中，任取两张，
基本事件总数，
这两张卡片上的数字之差的绝对值等于包含的基本事件有：
，，，，共种情况，
这两张卡片上的数字之差的绝对值等于的概率为．
故答案为：．
基本事件总数，利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于包含的基本事件有种情况，由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设函数的最小正周期为，
由函数图象可得，解得，可得，
可得函数的解析式，
因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，
则，
因为，
所以．
故答案为：；．
由函数图象可得最小正周期，利用周期公式可求，即可求得函数的解析式，利用函数的图象变换可求，利用正弦函数的周期性可得，可求的值．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了函数的图象变换以及正弦函数的图象和性质，属于基础题．
17.【答案】解：函数，即有，即，
则，在递增．
证明：设，则，
由，可得，，所以，即
所以在递增．
若在恒成立，即在恒成立，
设，，
由在递增，可得，
所以，即的取值范围是．
【解析】由条件求得的解析式，再由单调性的定义，结合作差法和因式分解，可得结论；
由参数分离和构造函数，判断单调性，可得所求范围．
本题考查函数的单调性的判断和证明，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为，
所以名读书者中年龄分布在区间上的人数为；
名读书者年龄的平均数为，
设名读书者年龄的中位数为，则，
解得：，
即名读书者年龄的中位数为岁；
由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，
年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，，，
从上述人中选出人，则有、，，，，，，，、，，，，，，，共种情况，
其中恰有人在的情况有，，，，，，，，共种情况，
所以恰有人在的概率．
【解析】先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；
计算出抽取的人中，位于的有人，记为，，数学成绩位于的有人，记为，，，，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
19.【答案】解：由題意得：即：，
整理可得：，
又．
所以，
所以：．
由，得，
又，，
则，
解得．
将，，，代入中，得：，
解得：．
【解析】由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解的值．
由同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式可求的值，即可求解的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：，
；
，
；
即；
设向量与的夹角为，
则，当且仅当时取等号；
所以：．
向量与夹角的最大值为：．
且方向相同，且，
；
．
【解析】利用其模长相等即可整理得到关于的解析式；
求出夹角的余弦值，借助于余弦的单调性即可求解；
根据条件得到；再代入其数量积即可求解结论．
本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：由平面，有；
由四边形为菱形，所以：
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
Ⅱ解：过作于，连结，
由Ⅰ知平面，所以，
又因为，，
所以平面，从而；
由，，
所以为二面角的平面角．
由为等边三角形且为中点，有，，，
由，有，
由∽，有，从而．
在中，，所以，即．
综上，二面角的大小为

【解析】证明；；推出平面，然后证明平面平面，
Ⅱ过作于，连结，说明为二面角的平面角．通过求解三角形推出结果即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
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