1.4 充分条件与必要条件（一） 学案

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1.4 充分条件与必要条件（一）
班级 姓名
学习目标
1、理解充分条件，必要条件的概念
2、通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系
3、逻辑推理——能通过充分性、必要性解决简单的问题
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
课题导入 1．一般地，命题“若p则q”为真，记作“pq”； “若p则q”为假，记作“p q” ．2．前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．（1）若，则 （ ）（2）若，则 （ ）（3）若，则 （ ）（4）若 或，则 （ ） （5）若两个三角形相似，则这两个三角形对应角相等 （ ）3．下面命题的条件和结论有什么关系？（填“”，“ ”）命题（1）中 ； ；命题（2）中 ； ；命题（3）中 ； ；命题（4）中 或 ； 或；命题（5）中两个三角形相似 这两个三角形对应角相等；两个三角形对应角相等 两个三角形相似．
阅读教材~ 定义：一般地，如果 ，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件；如果 ，且 ，那么称p是q的充分必要条件，简记为p是q的充要条件，记作 ；如果 ，且 ，那么称p是q的充分不必要条件；如果 ，且 ，那么称p是q的必要不充分条件；如果 ，且 ，那么称p是q的既既不充分也不必要．
【即时训练1】指出下列各题中p是q的什么条件．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.【变式1】(1)“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(多选题)下列结论正确的是　　A．“”是“”的充分不必要条件 B．设，则“”是“”的必要不充分条件 C．“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 D．“且”是“且”的充分必要条件
探究新知 探究：从命题的观点来看“，则p是q的充分条件”给定两个条件，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：，新知 条件，,相当于 ； 条件，,相当于 ； 条件，相当于 ．【即时训练2】设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)A．充分必要条件　　　 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】(1)命题p：－1≤x<2的一个必要不充分条件是(　　)A．－1≤x≤2　 B．－1≤x<2C．0≤x<2 D．0≤x<3(2)使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　)A．x≥0 B．x<0或x>2C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
课后作业
一、基础训练题
1．命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分条件又不q必要条件
2．设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　)条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．下列p是q的必要条件的是(　　)
A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1C．p：ab，q：a>b＋1
4．使x＞1成立的一个必要条件是(　　)
A．x＞0 　 B．x＞3 　
C．x＞2 　 D．x＜2
5．若集合，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也非不必要条件
6．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
7．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是(　　)
A．x＋y＝2　 B．x＋y＞2
C．x2＋y2＞2　 D．xy＞1
8．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________.
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．
二、提高训练题
9．“m＜﹣2”是“关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有实数解”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．(多选题)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点的必要不充分条件是(　　)
A．b＝0，c＝0 B．a＋b＋c＝0
C．b＋c＝0 D．bc＝0
1.4 充分条件与必要条件（一）
参考答案
1．【解答】由（a+b）（a﹣b）＝0，得|a|＝|b|，不一定有a＝b，
反之，由a＝b，一定有|a|＝|b|，即a2＝b2，也就是（a+b）（a﹣b）＝0，
∴p是q的必要条件但不是充分条件．
故选：C．
2．【解答】当a＝2时，A＝{1，4，﹣2}，则A∩B＝{4}，
当“A∩B＝{4}”时，a可以为﹣2，故不能推出a＝2，
由此可知“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
故选：A．
3．【解答】要满足p是q的必要条件，即q p，
对A选项，∵q：|a|＝1，∴a＝±1，
∴q：|a|＝1不能得到p：a＝1，∴A选项错误；
对B选项，∵q：a＜1不能得到p：﹣1＜a＜1，∴B选项错误；
对C选项，∵q：a＜b+1不能得到p：a＜b，∴C选项错误；
对D选项，∵q：a＞b+1，∴a＞b+1＞b，∴a＞b，
∴q：a＞b+1能得到p：a＞b，∴D选项正确．
故选：D．
4．【解答】使x＞1成立的一个必要条件是x＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是基础题．
5．【解答】∵集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，
∴“x∈P” “x∈Q”，即充分性成立，
反之，则不成立．例：0.1∈Q，但0.1 P，即必要性不成立．
故“x∈P”是“x∈Q”的充分非必要条件．
故选：A．
6．【解答】根据题意，集合A＝{x∈R|x﹣2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，则A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}＝C，
若x∈（A∪B），必有x∈C，反之也成立，
故“x∈（A∪B）”是“x∈C”的充要条件，
故选：C．
7．【解答】若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x＝3，y＝﹣10满足x+y≤2但不满足
所以是x+y≤2的充分不必要条件．
所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．
故选：B．
8．【解答】（1）ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，则b2﹣4ac≥0，则b2≥4ac，不一定有ac＜0；
反之，ac＜0，能得到b2﹣4ac＞0，则有ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根，
所以，ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根”是“ac＜0”的 必要条件；
（2）“△ABC △A′B′C′，可得“△ABC∽△A′B′C′，反之不成立，所以）“△ABC △A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件．
故答案为：（1）必要条件；（2）充分条件．
9．【解答】先看充分性，
当m＜﹣2时，关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0的根的判别式为
Δ＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4＞0
∴原方程有两个不相等的实数根，故充分性成立；
再看必要性，
若关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有实数解，则
方程根的判别式为Δ＝m2﹣4≥0
可得m2≥4 m≤﹣2或m≥2
不一定得到m＜﹣2，故必要性不成立．
因此“m＜﹣2”是“关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有实数解”的充分不必要条件．
故选：A．
10．【解答】①当A＝{2}，B＝{2，4}，C＝{2，6}时，满足A∩B＝A∩C，但不满足B＝C，
②若B＝C，则一定可得A∩B＝A∩C，
∴A∩B＝A∩C是B＝C的必要非充分条件．
故选：B．
11．【解答】一元二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点在原点，则b＝c＝0，
此时bc＝0，与a无关，排除B，
A为充要条件，也排除，
一元二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点在原点的必要不充分条件可以是bc＝0，故C错误，D正确，
故选：D．
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