2.2基本不等式（三） 学案

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2基本不等式（三）
班级 姓名
学习目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决实际问题中的最大(小)值问题.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
知识点归纳总结 1、重要不等式： a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2、基本不等式：a＞0，b＞0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．3、基本不等式的几种常见变形及结论：(1)a＋b≥2.(a＞0，b＞0)； (2)ab≤(a，b∈R)；(3)ab≤2(a，b∈R)； (4)＋≥2.(ab＞0)；(5)a＋≥2.(a＞0，k＞0)；(6)≤≤≤ .(a，b都是正实数)调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
利用基本不等式求分式型问题的最值 【即时训练1】(1)已知x>0，求y＝的最大值．(2)已知x>2，求的最小值；(3)已知x>－1，求函数y＝的最小值.
消参法 【即时训练2】若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，求a＋b的最小值．【即时训练3】已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
基本不等式的变形运用 【即时训练4】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
课后作业
一、基础训练题
1．某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
4．函数的最小值是___________.
5．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________．
6．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0(3)已知x＞－1，求y＝的最小值； (4) 已知－4二、综合训练题
7.（多选题）若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为9
C．的最小值为
D．的最小值为
8．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
能力提升题
9．若， ，则的最小值为__________．
10．，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.
2.2基本不等式（三）
参考答案
1、【答案】C
【解析】由题意，汽车全程运输成本，当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以当汽车的行驶速度为时，全程运输成本最小.
2、【答案】3
【解析】∵x，y>0，∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，
当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.
3、【答案】
【解析】因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥.
4、【答案】4
【解析】令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.
5、【答案】5＋2
【解析】由2a＋b＝ab－1，得a＝，
因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，
所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．
所以a＋2b的最小值为5＋2.
6、【解析】(1)∵x<，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
(3)∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1，
当且仅当x＋1＝时，即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1.
(4) y＝＝，又∵－40.
故y＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
7、【答案】ABD
【解析】因均为正数，且，则有，
当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确；
，
当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确；
显然，在上单调递减，无最小值，C不正确；
，当且仅当时取“=”，
即的最小值为，D正确.
8、【解析】设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为 m(2依题意得种植面积：S＝(x－2)＝800－－4x＋8＝808－≤808－2＝648，
当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．
即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2.
9、【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以
当且仅当，等号成立.
10、【答案】
【解析】因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)