2.2基本不等式（一） 学案

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2.2基本不等式（一）
班级 姓名
学习目标
1．了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式求解简单的最值问题.
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材至的内容，完成右边的问题. 1、基本不等式的推导与证明如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？新知一、重要不等式，当且仅当时，等号成立．新知二、基本不等式如果，，我们用、分别代替、，由可得，通常写成：文字描述符号描述如果 ，则有 ，当且仅当 时，等号成立算术平均数：______________________,几何平均数：___________________.新知三、基本不等式的证明探究：在右上图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
阅读教材的内容，完成右边的问题. 2、基本不等式的理解【即时训练1】判断正误(1)6和8的几何平均数为2.(　　)(2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　　)(3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　)(4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　　)【即时训练2】(1)不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)A．a＝±1　 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝0 (2)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　)A．≥ab B．＋≥2 C．ab≤ D．≤
阅读教材至的内容，完成右边的问题. 【即时训练3】(1)若x>0，则y＝x＋的最小值为________．(2)已知0，求y＝4x－2＋的最小值；(2)已知0课后作业
一、基础训练题
1．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
2．下列各式中最小值为2的是(　　)
A．y＝t＋(t>1) B. y＝＋
C. y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0)
3．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　)
A．400 B．100
C．40 D．20
4．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　)
A．10 B．25
C．5 D．2
5．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)
A．100 B．50
C．20 D．10
6．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．－1 D．3－2
7．已知08．已知函数y＝8x2＋(x≠0)，求函数的最值，并求相应的x值．
二、综合训练题
9．若正实数满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知x＞，则函数y＝x－1＋的最小值为________．
11．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0三、能力提升题
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
2.2基本不等式（一）
参考答案
1、答案　D　
解析　a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2、答案　B
解析　A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3.
3、答案　A
4、答案　D
解析 a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
5、答案　B
解析 mn≤＝＝50，当且仅当m＝n＝或m＝n＝－时等号成立．
6、答案　D
解析　∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，即3－3x－的最大值为3－2.
7、答案　　
解析　因为00，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
8、解：∵8x2>0，>0，且8x2×＝4(定值)，
∴y＝8x2＋≥2＝4，即当x＝±时，函数有最小值4.
9、答案　B
解析　当且仅当时取等号，
即xy的最大值为故选：B
10、答案　
解析　由x＞得x－＞0，
则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，
当且仅当，即x＝时，等号成立，此时函数取得最小值.
11、[解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值.
12、解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)
当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时等号成立．
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