11.1.2三角形的高、中线与角平分线
知识点1：三角形的高
还记得“过一点画已知直线的垂线”吗 ，请过点A做BC的垂线
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
几何语言：∵AD是三角形ABC的高
∴______________________
小结：
知识点2：三角形的中线
几何语言：∵AD是三角形ABC的中线
∴______________________
分别画出这三个三角形的三条中线.
小结：三角形的三条中线_______，三条中线的交点叫做三角形的____．
思考探究：AD为△ABC的中线，△ABD和△ACD的面积有什么关系？
发现规律:_________________________________________________；
例 如图所示，AD是△ABC的中线，S_ ABC=12
(1)S_ ABD=( )
(2)若E为AD中点，则S_ ABE=( )
(3)若E为AD中点，则S_ BCE=( )
知识点3：三角形的角平分线
分别画出这三个三角形的三条角平分线.
例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
课堂总结11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标
经历画图、折纸等过程，认识三角形的高、中线与角平分线；
掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；
了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点。
教学重难点
重点：三角形的高、中线与角平分线的概念；
难点：三角形的角平分线和角平分线的区别、画钝角三角形的高。
教学过程
复习回顾
新知探究
知识点1：三角形的高
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗
放、靠、过、画
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
（学生探究、教师引导、逐步规范）
从三角形ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线做垂线，垂足为D，所得线段AD为三角形ABC的高。
（师生协同完成三类三角形的高）
几何语言：
∵AD是三角形ABC的高
∴AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
小结：三角形的三条高的特性
例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( D )
知识点2：三角形的中线
定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
几何语言：
∵AD是三角形ABC的中线
∴AD=DA=
画出△ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
小结：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
探究：已知AD为△ABC的中线，是判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
结论：三角形的中线能将三角形的面积平分.（等底同高）
例3 如图所示，AD是△ABC的中线，S_ ABC=12
(1)S_ ABD=( 6 )
(2)若E为AD中点，则S_ ABE=( 3 )
(3)若E为AD中点，则S_ BCE=( 6 )
知识点3：三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
强调：“三角形的角平分线”是一条线段.
几何语言：
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠1=∠2=∠BAC
画出△ABC三个角的角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
小结：三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
例4 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=68°
∴∠BAD=∠BAC=34°
∵∠B=36°
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-36°-34°=110°
课堂总结
板书设计：
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
三角形的高 四、典例精析
作图略
三角形的中线 五、总结归纳
作图略
三角形的角平分线
作图略11.1.2三角形的高、中线与角平分线
课前练习：
1.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，3，5
精品作业：
必做题
1.下列说法正确的是( )
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为三角形高的有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
3.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=( )
A．75° B．80° C．85° D．90°
4.在ΔABC中，CD是中线，已知BC–AC=5cm，ΔDBC的周长为25cm，求ΔADC的周长.
选做题
如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
参考答案
课前练习：1.B 2.C
必做题:1.B 2.D 3.A
4.解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25–BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25–BC＋AC
＝25–(BC–AC)＝25–5＝20cm.
选做题：
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°–(∠ADC+∠C )
=180°–90°–40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC–∠CAE=50°–41°= 9°.(共21张PPT)
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
想一想
导入新知
三角形的“高”的定义：
A
从三角形的一个顶点,
B
C
向它的对边所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段,
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图,线段AD是BC边上的高.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
标明垂直的记号和垂足的字母.
∵AD是△ABC的高线.
推导格式：
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90 .
探究新知
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
A
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
(E,F)
O
3
3
3
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的
交点的位置
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
探究新知
课堂练习
例1.AD为△ABC的高，AE平分∠BAC. 若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE.
三角形中线的概念
知识点 2
探究新知
如图， 点D 是BC 的中点，
则线段AD 是△ABC 的中线，
几何语言：∵AD 是△ABC 的中线
∴BD =DC = BC．
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
探究新知
探究新知
三角形中线的概念
素养考点 1
例2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线 B.AD=DC,BE=EC
C.DE是△ABC的中线 D.BD是△ABC的中线
探究新知
练习.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
(1)AC = AE ，AE=_____；
(2)CD = ；
(3)AF = AB；
三角形中线的概念
素养考点 1
A
B
C
D
E
F
G
2
BD
EC
探究新知
练习 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为( )
A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm
利用三角形的中线求线段的值
素养考点 2
A
探究新知
例4 如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，BD=5
(1)S△ADC＝________;
(2)S△ABD＝________;
(3)你有什么发现？
利用三角形的中线求面积
素养考点 3
结论：三角形的中线能将三角形的面积平分.（等底同高）
15
15
探究新知
例5 如图所示，AD是△ABC的中线，
利用三角形的中线求面积
素养考点 3
E
（1）
(2)若E为AD中点，则
(3)若E为AD中点，则
A
C
B
D
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
“三角形的角平分线”是一条线段.
几何语言：∵AD是△ABC的角平分线
∴∠1=∠2= ∠BAC
探究新知
知识点 3
三角形的角平分线
三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
三角形角平分线的性质
探究新知
探究新知
例6 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
素养考点 4
利用三角形的角平分线求角的度数
1.填空：
(1)如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿，BD= ＿＿，AE= ＿＿＿.
(2)如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
图①
图②
AF
DC
∠2
∠4
AC
∠ABC
基础巩固题
课堂检测
2．下列说法正确的是( )
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为三角形高的有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
基础巩固题
课堂检测
课堂总结
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角形：形内；钝角三角形：形外；直角三角形：直角顶点
三角形 的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段 3条，交点叫作三角形的重心.形内
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 3条，形内.
