成都市重点中学高 2021 级高三上学期入学考试
数学答案（理科）
考试时长：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1-5:BCDBB 6-12:AACBB DB
二、填空题
1 1 2 2
13．40 14. 2 15. ， 16. , 0, 10 4 e e
三、解答题
17 x．【详解】（1）当 a 1时 f x e 1 x定义域为R ，
则 f x ex 1，所以当 x 0 时 f x 0，当 x 0 时 f (x) > 0 ，
所以 f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，
所以 f x 在 x 0处取得极小值即最小值，即 f x fmin 0 2 ，无最大值.
x x
（2） f x a e a x定义域为R ，且 f x ae 1，
当 a 0时 f x 0恒成立，所以 f x 在R 上单调递减，
当 a 0时，令 f x 0解得 x ln a，令 f (x) > 0，解得 x ln a，
所以 f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a, 上单调递增，
综上可得：当 a 0时 f x 在R 上单调递减；
当 a 0时 f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a, 上单调递增.
18.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这 100 名学生得分的平均数：
x 45 0.01 55 0.015 65 0.02 75 0.03 85 0.015 95 0.01 10 70.5分．
（2）由频率分布直方图的数据，可得 [70，80)，[80 ，90) ， [90 ，100]的人数之比为6 :3: 2，
在[70，80)分组中抽 6 人，在 [80 ，90) 分组中抽 3 人，在 [90 ，100]分组中抽取 2 人，
的可能取值为0，1，2，
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABDBYQS8UQwgogAiCIQ4o0AQAJBZAIACRAJBg5ChLCAAAQUQGXXCGyCCgwgEgEQQkkBIBCEGCCJCCAKgCgGgGGRgQwBAFAuMsAowApBAiyJBRNCNARAFNABAAB=AA}=#A}}#=}#}
2
P 0 C9 36,P 1 C
1C1 2
则 9 2
18
,P C 1 2 2 ，
C2 2 211 55 C11 55 C11 55
的分布列为：
0 1 2
36 18 1
P
55 55 55
E 0 36 1 18 1 4 2 ．
55 55 55 11
19．【详解】（1）分别取 AB中点 N，连接MN，
MN MN 1则 为 ABC的中位线， MN //AC ， AC 1，
2
又 A1C1 1， AC //A1C1， MN //A1C1，MN A1C1，
四边形MNA1C1为平行四边形， A1N //C1M，
又 A1N 平面C1MA，C1M 平面C1MA， A1N // 平面C1MA .
（2）以A 为坐标原点， AB,AC ,AA1 正方向为 x, y, z轴可建立如图所示
空间直角坐标系O xyz，
则 A 0,0,0 ， B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，C1 0,1,2 ，
AC1 0,1, 2 ， BC 2,2,0 ， AB 2,0,0 ，
设 BM BC 0 1 ，则 BM 2 , 2 ,0 ，
AM AB BM 2 2 , 2 ,0 ，
令平面C1MA的法向量为 n x, y, z ，
AC n 1 y 2z 0
则 ，令 x 2 ，则 y 2 2 ， z 1 ， n 2 , 2 2,1 ；
AM n 2 2 x 2 y 0
又平面 ACC1A1 的一个法向量m 1,0,0 ，
m n 2
cos m, n 6 ，
m n 4 2 4 1 2 1 2 6
1
解得： 或 1（舍）， BM
1
BC BM 1 BC 2 2 2 2， ，即 BM的长为 .3 3 3 3 3
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABBDYQS8UQwgogAiCIQ4o0AQAJBZAIACARJBg5ChLCAAAQUQGXXCGyCCgwgEgEQQkkBIBCEGCCJCCAKgCgGgGGRgQwBAFAuMsAowApBAiyJBRNCNARAFNABAAB=AA}=#A}}#=}#}
20．【详解】（1）由已知得点 F1( c,0),F2 (c,0),B(0,b),则 BF1 c, b ,BF 2 c, b ，
1
BF1 BF 2 b
2 c 2 2①又由 e 有 a 2c， b2 c2 4c2 ，即b2 3c2②2
2 2
联立①②解得b2 3,c2 1, a2 4, x y故椭圆的方程为 1 .
4 3
（2）设点M (x1, y1),N (x2 , y2),
1
m, 直线MN的方程为 x my n(m 0),
k
x my n
联立 x2 y2 整理得： (3m2 4)y2 6mny 3n2 12 0,
1 4 3
则 144m2
1 4
48n2 192 0, m2即 n2
3 3
6mn 3n 2y 12由韦达定理得： 1 y2 2 ,y y , (*)3m 4 1 2 3m2 4
又点 A(2,0),
1 1 4 , 1 x 1 2则 ,
1 x2 2 , x1 2 x2 2 4m,
k1 k2 k k1 y1 k2 y
故
2 y1 y2
将 x1 my1 n, x2 my2 n代入整理得： 2my1y2 (n 2)(y1 y2 ),
(*) 2m(3n
2 12) 6mn(n 2)
将 代入得：
3m2 4 3m2 4
因为m 0,所以 n2 4 2n n2 ，即 n2 n 2 0,解得 n 1 或 n 2
因为M ,N与A 不重合，所以 n 2，故 n 1
6m 9
所以 y1 y2 ,y y , (**)3m2 4 1 2 3m2 4
k k y1 y 2 y 1y2所以 1 2 ,x1 2 x 2 m
2
2 y1y2 3m( y1 y2) 9
y y 9 1 1
将(**) 1 2代入得 k1k2 2 ,m y y 3m( y y ) 9 k k .1 2 1 2 9m
2 18m2 27m2 36 4 故 1 2 4
21．【详解】（1） f (x)的定义域为 (0, )，
由 f x a ln x ax 1，得 f x a a a a，则 f 2 a ，
x 2 2
因为经过点 0,0 的直线与函数 f x 的图像相切于点 2,f 2 ，
k f (2) a 1所以 ，所以 a ln 2 2a 1 a，解得 a ，
2 2 1 ln 2
2
2 g x f x 1 x2 1 a ln x 1 ax x2 g x a a x x ax a（ ） ，则 ( x 0)，2 2 x x
因为 g x 有两个极值点为x x x x1， 2 1 2 ，
x2 ax a
所以 g x 0 在 (0, )上有两个不同的根，
x
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABBDYQS8UQwgogAiCIQ4o0AQAJBZAIACARJBg5ChLCAAAQUQGXXCGyCCgwgEgEQQkkBIBCEGCCJCCAKgCgGgGGRgQwBAFAuMsAowApBAiyJBRNCNARAFNABAAB=AA}=#A}}#=}#}
此时方程 x2 ax a 0在 (0, )上有两个不同的根，
则 a2 4a 0，且 x1 x2 a 0,x1x2 a 0 ，解得 a 4，
若不等式 g
g x g x
x1 g x2 x1 x2
1 2
恒成立，则 恒成立，
x1 x2
因为 g(x1) g(x2 ) a(ln x1 x1)
1
x21 a(ln x x )
1
2 2 x
2
2 2 2
1
a ln(x 2 21x2) a(x1 x2) (x x )2 1 2
a ln(x x ) a(x x ) 1 (x x )21 2 1 2 1 2 2x
1 2
2 1
x2 a ln a a a2
g x g x a ln a
1 a 2 a 1 1 2 a
不妨设 h(a) 1 2 2 ln a 1 a 1(a 4) ，则 h (a) ，
x1 x a 2
a 2 2a
2
因为 a 4，所以 h (a) 0 ，所以 h(a) 在 (4, ) 上递减，所以 h(a) h(4) 2 ln 2 3，
所以 2ln 2 3，即实数 的取值范围为[2 ln 2 3, ) .
22．【详解】（1）将C : 4cos 等号两边同时乘以 可得 2 4 cos ，
所以 x2 y2 4x；即 (x 2)2 y2 4；所以曲线 C的普通方程为 (x 2)2 y2 4；
x 3 2t
将 l : y 1 t消去参数 t可得，
x 3 2(y 1) ，整理得 x 2y 5 0；
即直线 l的普通方程为 x 2y 5 0
（2）注意到 P(3, 1)
1
在直线 l上，直线 l倾斜角为 ，tan ， cos 2sin ，
2
(0, π),sin 0,cos 0, sin2 cos2 1 ，解得
2 sin
5
,cos 2 5 ,
5 5
2 5
x 3 t
5
所以直线 l参数方程为 (t 为参数），
y 1
5
t
5
联立 C 2 5 5的直角坐标方程与 l的参数方程得 ( t +1) 2 ( t 1) 2 4
5 5
t 2 2 5整理得 t 2 0 2 5，设方程的解为 t1 , t2 ，则 t t ， t1 t2 2， t1 , t2 1 2 异号.5 5
不妨设 | PM | t1 ， | PN | t2 ，
1 1 1 1 t1 t2 5有 .
| PM | | PN | t1 t 2 t1 t 2 5
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABBDYQS8UQwgogAiCIQ4o0AQAJBZAIACARJBg5ChLCAAAQUQGXXCGyCCgwgEgEQQkkBIBCEGCCJCCAKgCgGgGGRgQwBAFAuMsAowApBAiyJBRNCNARAFNABAAB=AA}=#A}}#=}#}成都市重点中学2023--2024 学年度高 2021 级高三上学期入学考试
数学试卷（理科）
考试时长：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合U {1,2,3,4,5,6},A {1,3,5},B {3,4,5} ,则CU (A B)＝（ ）
A．{3,5} B．{2,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
2．底面半径为 1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．2 2
3．已知 1 2i z 2i，则 z的共轭复数 z （ ）
4 2
A． i
4 2 i 4 2 4 2B． C． i D． i
5 5 5 5 5 5 5 5
4 2．已知 A为抛物线 y 2 px p 0 上一点， F 为抛物线焦点， AF 10，点 A到 y轴的距离为 6，
则 p （ ）
A．2 B．8 C．6 D．10
5．水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学
家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻
的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两
块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续 6年的产量（单位：kg）如表
所示：甲、乙两种水稻连续 6年产量
年
第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年 第 6年
品种
甲 2890 2960 2950 2850 2860 2890
乙 2900 2920 2900 2850 2910 2920
根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABDYQQogCoQBIAABhCAQXyCgEQkBGCACgGwAAMoAABCRNABAA=}#}
x 2y 0
6．若实数 x，y满足 2x y 4 0，则 z 3x 2y的最大值为（ ）
y 1
32 11
A．8 B．6 C． 5 D． 2
7．在[ 2,3]上随机取一个数 k，则事件“直线 y kx 3与圆 x2 (y 2)2 9有公共点”发生的概率为
（ ）
7 8 2 3
A． B． C． D．
15 15 5 5
8．第十四届全国人民代表大会于 3月 5日至 13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨
大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织 4名
宣讲员宣讲会议精神，分配到 3个社区，每个宣讲员只分配到 1个社区，每个社区至少分配 1名宣
讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．72 B．12 C．36 D．24
9.我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”科学地求出了圆周率 π 3.1416的结果.他
的方法是从直径为 2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正十二边形、正二十四
边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他通过计算正 3072边形的
面积估算出了 的值.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了如图所示的程序框图，
则输出 k的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
x210 y
2
．已知双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1、 F2，过 F2作一条a b
直线与双曲线右支交于A、 B两点，坐标原点为O，若 OA a 2 b 2 ， BF1 5a，
则该双曲线的离心率为（ ）
A 15 B 10 15 10． ． C． D．
2 2 3 3
a 6 e 1,b ln 7 ,c 111．设 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
6 6
A．b a c B． c a b C． a c b D．b c a
12．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M，N分别在线段 AD1和
B1C1 上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（ ）个
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABDYQQogCoQBIAABhCAQXyCgEQkBGCACgGwAAMoAABCRNABAA=}#}
①MN的最小值为 1
1
②四面体 NMBC的体积为
3
③存在无数条直线MN与 AD1垂直
④点M
3
，N为所在边中点时，四面体 NMBC的外接球半径为
4
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．在 2023年 8月 15日，成都市物价部门对金牛区 5家商场的某种商
价格 x 9 9.5 10 10.5 11
品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 x元和销售量 y件
销售量 y 11 10 8 6 5
之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量 y与价格 x之间有
较好的线性相关关系，其线性回归方程是： y 3.2x a，则a ．
x a
8
14 ．若 的二项展开式中 x6 的系数是 16，则实数 a的值是 ．
x
15．若函数 f x 2x2 a ln x 1在 (a 1 ,a)上单减，则实数 a的取值范围为 .
10
16．已知函数 f (x) x2eax 1与 x轴有两个交点，则实数 a的取值范围为 ．
三、解答题（共 70 分）
17．已知函数 f x a ex a x， a R
(1)当 a 1时，求 f x 的最值；(2)求 f x 的单调区间．
18. 2022年，是中国共产主义青年团成立 100周年，为引导和带动
青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百
年历史知识竞赛，现从中随机抽取了 100名学生的成绩组成样本，
并将得分分成以下 6组：[40，50)、[50，60)、[60，70)、 、[90，
100]，统计结果如图所示：
(1)试估计这 100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于 70分的学生中，用分层抽样的方法选取 11人进行座谈，若从座谈名单中随
机抽取 3人，记其得分在 [90，100]的人数为 ，试求 的分布列和数学期望.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABDYQQogCoQBIAABhCAQXyCgEQkBGCACgGwAAMoAABCRNABAA=}#}
19．如图，在三棱台 ABC - A1B1C1中，若 A1A 平面 ABC， AB AC，
AB AC AA1 2，A1C1 1，N为 AB中点，M 为棱 BC上一动点（不包含端点）．
(1)若M 为BC的中点，求证： A1N //平面C1MA；
(2) 6是否存在点M ，使得平面C1MA与平面 ACC1A1所成角的余弦值为 ？若存在，
6
求出 BM长度；若不存在，请说明理由．
2 2 1
20 x y．已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ,F1,F2是C的左、右焦点， B是C的上顶点，且a b 2
BF1 BF2 2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)A是椭圆C的右顶点，斜率为 k k 0 的直线 l与C交于M ,N两点（M ,N与A不重合）.设直线MA
1 1 4
的斜率为 k1，直线NA的斜率为 k2，若 k k k ，求
k1k2的值.
1 2
21．已知函数 f x a ln x ax 1， a R .
(1)若经过点 0,0 的直线与函数 f x 的图像相切于点 2,f 2 ，求实数 a的值；
(2)设 g x f x 1 x2 1，若 g x 有两个极值点为 1， x2 x1 x2 ，且不等式2
g x1 g x2 x1 x2 恒成立，求实数 的取值范围.
22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C : 4cos ，
x 3 2t
直线 l的参数方程为： y 1 t （t为参数），直线 l与曲线 C分别交于
M ,N两点.
(1)写出曲线 C和直线 l的普通方程；
(2)若点 P(3, 1)
1 1
，求 的值.
| PM | | PN |
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABDYQQogCoQBIAABhCAQXyCgEQkBGCACgGwAAMoAABCRNABAA=}#}
