北京市2023-2024学年高三上学期入学定位考试数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，1） C．（1，4） D．（﹣3，4]
2．已知复数z的共轭为，若z+＝2，则z的实部为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i
3．在（a+x）3的展开式中，x的系数为12，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．±2 C．﹣3 D．4
4．直线y＝x+1被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A． B．f（x）＝x3 C．f（x）＝tanx D．f（x）＝2|x|
6．已知函数f（x）＝1﹣2sin2x，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．等差数列{an}的其前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝a2a3+1，则{an}的公差为（ ）
A．2或﹣2 B．2或 C．﹣2或 D．﹣3或2
8．已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为钝角”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．抛物线W：y2＝2px的焦点为F．点F关于原点O的对称点为A．若以F为圆心的圆经过点A且与W的两个交点为B，C，则下面结论正确的是（ ）
A．△BOC一定是钝角三角形 B．△BOC可能是锐角三角形
C．△ABC一定是钝角三角形 D．△ABC可能是锐角三角形
10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADD1A1上运动，满足B1Q⊥平面AD1P，则线段PQ的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域为 ．
12．过双曲线的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若△OAB为等边三角形，则W的渐近线方程为 ，W的离心率为 ．
13．在△ABC中，，且，则a＝ ，c＝ ．
14．函数只有一个零点，则a的一个值为 ；a的最大值为 ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝kn+b，其中k，b不同时为0．给出下列四个结论：
①当k＝0时，{an}为等比数列；
②当k≠0时，{an}一定不是等差数列；
③当k＝b时，{an}为常数列；
④当k＞b时，{an}是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是正方形，且，点E为BC的中点，点F在直线A1D1上．
（1）若C1F∥平面AA1E，求证：CF∥平面AA1E；
（2）求二面角A﹣A1E﹣D1的余弦值．
17．已知f（x）＝sin（x+φ）+acosx，其中．
（1）若，求φ的值；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f（x）的单调递增区间．
条件①：；
条件②：．
18．为了解员工每日健步走的情况，某单位工会随机抽取了300名员工，借助计步小程序统计了他们每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．
（1）试估计该单位全体员工日行步数（单位：千步）的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；
（2）单位工会从全体员工中随机选取3人，记ξ表示3人中每日健步数在14千步以上的人数，求随机变量ξ的分布列和期望；
（3）假设单位员工甲、乙、丙三人某日健步走的步数分别为a，b，c，且a∈[4，10），b∈[10，16），c∈[16，20]，且a，b，c∈N，则三人当日健步走的步数的方差s2最小时，写出a，b，c的一组值（不要求证明）．（单位：千步）
注：s2＝[x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]，其中＝（x1+x2+……+xn）．
19．已知函数，曲线y＝f（x）在（0，f（0））的切线为y＝﹣x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求证：函数在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）的零点个数，并说明理由．
20．已知椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当椭圆焦点在x轴上时，直线l：y＝kx﹣1与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足PN∥x轴，MN⊥x轴，求证：点N在直线上．
21．给定正整数k，m，其中2≤m≤k，如果有限数列{an}同时满足下列两个条件，则称{an}为（k，m）﹣数列．记（k，m）﹣数列的项数的最小值为G（k，m）．
条件①：{an}的每一项都属于集合{1，2，3， ，k}；
条件②：从集合{1，2，3， ，k}中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是{an}的子数列．
注：从{an}中选取第i1项、第i2项、…、第is项（其中i1＜i2＜ ＜is）形成的新数列称为{an}的一个子数列．
（1）分别判断下面两个数列是否为（3，3）﹣数列，并说明理由：
数列A1：1，2，3，1，2，3，1，2，3；
数列A2：1，2，3，2，1，3，1；
（2）求证：G（k，2）＝2k﹣1；
（3）求G（4，4）的值．绝密★启用前
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）B （4）C （5） D
（6）B （7）B （8）C （9）A （10）A
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
3 2 3
（11）[0,1) （12） y x，
3 3
（13）1，1 （14）1（答案不唯一），1 （15）①③④
说明：第（12）（13）（14）第一空 3 分，第二个空 2 分，
第（15）题，选择一个正确的给 3 分，两个正确的给 4 分，三个正确的给 5 分，有
错误选项的给零分.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为 ABCD A1B1C1D1为长方体，所以 AA CC ．．．．．．1分 1 1
所以CC 平面 AA E ．．．．．．2分 1 1
又C1F 平面 AA E，CC C F C ．．．．．．3分 1 1 1 1
所以平面CC 平面 ．．．．．．5分 1F AA1E
又CF 面CC F ， 1
所以CF 平面 AA E ．．．．．．6分 1
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系 zA BDA1， ．．．．．．7分
A F1 D1
则 A(0,0,0) ， E(2 2,2,0)， A1(0,0,2 2)， D1(0,4,2 2)
B1 C1
设二面角 A A E D 的平面角为 1 1
A
D y
因为 AE (2 2,2,0), AA (0,0,1 2 2)，
B
E C
x
A (1E 2 2,2, 2 2), A1D ( )1 0,4，0
数学（测试卷）参考答案 第 1 页（共 8 页）
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( , , )
BD 2 2 4 0 ,
AE BD 0
所以
AA1 BD 0
所以平面 AA E的法向量为 BD ( 2 2,1 4,0),
设平面 A ED 的法向量为 n (x, y, z)1 1
AE n 2 2x 2y 2 2z 0
所以
A1D1 n 4y 0
令 n (1,0,1)
BD n
cos , 6所以 | cos | | BD n | | |
| BD || n | 6
6
所以二面角 A A E D 余弦值为 ． ．．．．．．13 分 1 1
6
（17）（共 13 分）
解：
π 2 π π π
（Ⅰ）因为若 f ( ) ， f (x) sin( ) acos sin( ) cos ．．．．．．４分
2 2 2 2 2
2
所以 cos
2
π π π
因为 | | ，所以 或 ．．．．．．６分
2 4 4
（Ⅱ）选条件①
π
因为 f (x) sin(x ) 3cos x
3
π π
所以 f (x) sin xcos cos xsin 3cos x ．．．．．．８分
3 3
1 3 1 3
sin x cos x 3cos x sin x cos x
2 2 2 2
π
sin(x ) ．．．．．．1０分
3
数学（测试卷）参考答案 第 2 页（共 8 页）
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π π π 5π π
当 2kπ x 2kπ 时， 2kπ x 2kπ
2 3 2 6 6
5π π
所以函数 f (x) 的单调递增区间为 2kπ ,2kπ ,k Z ．．．．．．13分
6 6
选条件②
π
由 f (x) sin(x ) cos x
6
π π
所以 f (x) sin xcos cos xsin cos x ．．．．．．８分
6 6
3 1 3 1
sin x cos x cos x sin x cos x
2 2 2 2
π
sin(x ) ．．．．．．1０分
6
π π π π 2π
当 2kπ x 2kπ 时， 2kπ x 2kπ
2 6 2 3 3
π 2π
所以函数 f (x) 的单调递增区间为 2kπ ,2kπ 3 3
,k Z ．．．．．．13分
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）根据题意，该单位工会月的人均健步步数估计为：
5 0.01 7 0.01 9 0.08 11 0.58 13 0.22 15 0.06 17 0.03 19 0.01
11.68（千步 ） ．．．．．．4 分
（Ⅱ） 的所有可能值为 0,1, 2,3 ．．．．．．5 分
9 3 729 1 9 243P( 0) ( ) ， P( 1) C1 ( )2 ，
310 1000 10 10 1000
2 1 2 9 27 1 1P( 2) C3 ( ) ． P( 3) ( )
3 ．．．．．．9 分
10 10 1000 10 1000
所以 的分布列为
0 1 2 3
729 243 27 1
P
1000 1000 1000 1000
729 243 27 1 3
故 的期望 E( ) 0 1 2 3 ． ．．．．．．12分
1000 1000 1000 1000 10
（Ⅱ）a 9.999,b 12.999,c 16.000（或a 9.999,b 13.000,c 16.000）
．．．．．．14分
数学（测试卷）参考答案 第 3 页（共 8 页）
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（19）（共 15 分）
x b 1 x b
解：（Ⅰ）因为 f (x) ax , 所以 f (x) a ．．．．．． 2分
ex ex
因为 y f (x) 在 (0, f (0))的切线为 y x 1
0 b
所以 f (0) 0 1， ．．．．．．3分
e0
1 0 b
f (0) a a 1 b 1 ．．．．．．4分
e0
所以b 1, a 1， ．．．．．．6分
x 1 2 x ex x 2
（Ⅱ）因为 f (x) x ， f (x) 1
ex ex ex
令 h(x) ex x 2 ，所以 h '(x) ex +1 ．．．．．．８分
当 x 1 时， h '(x) 0，
所以 h(x) 在区间 (1, ) 上单调递增，又 h(1) 0
所以 h(x) 0 对 x (1, ) 成立 ．．．．．．10分
所以 f (x) 0对 x (1, ) 成立
所以 f (x) 在区间 (1, ) 上单调递增 ．．．．．．11分
1 x
（Ⅲ）法１： f (x) x
ex
1 x
当 x 0 时，因为 0 e
x 1，所以 1 x
ex
x 1 1 x
所以 f (x) x x x 1 x 0 ．．．．．．1 2分
ex ex
1 x 1 x
当 0 x 1时， x 0, 0，所以 f (x) x 0 ．．．．．．13分
ex ex
当 x 1 由（Ⅱ） f (x) f (1) 0 ．．．．．．14分
所以
f (x) 0 成立，所以函数 f (x) 没有零点 ．．．．．．15分
1 x xex 1 x
法 2： f (x) x
ex ex
令 g(x) xex 1 x x(ex 1) 1，
数学（测试卷）参考答案 第 4 页（共 8 页）
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x
当 x 0 时， e 1 0，所以 x(ex 1) 1 0
ex当 x 0 时， 1 0，所以 x(ex 1) 1 0
所以 f (x) 0 成立，所以函数 f (x) 没有零点 ．．．．．．15分
1 x xex 1 x
法 3： f (x) x
ex ex
令 g(x) xex 1 x x(ex 1) 1， 所以 g '(x) (x 1)ex 1
令 h(x) g '(x)，所以 h '(x) (x 2)ex
当 x 2 时， h '(x) 0，当 x 2 时， h '(x) 0
所以 h(x) 在 ( , 2) 上单调递减，在 ( 2, ) 上单调递增，
而 x 1时， h(x) 0，且 h(0) 0
所以 h(x) 0对 x 0 成立， h(x) 0 对 x 0 成立
所以 g(x)在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增，
即 g(x)在 x 0 时取得唯一一个极小值，而 g(0) 1 0
所以 g(x) 0 成立，所以函数 f (x) 没有零点 ．．．．．．15分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题设，得 a 2 ． ．．．．．．1分
c 2
又 e ，所以 c 1． ．．．．．．3分
a 2
所以b2 a2 c2 1 ．．．．．．4分
x2
所以椭圆C 的方程为 y2 1 ．．．．．．5分
2
数学（测试卷）参考答案 第 5 页（共 8 页）
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（Ⅱ）依题意，设 P(x , y )，Q(x , y ),M (x , y ), N(x , y ) . P P Q Q M M N N
因为直线 l 的方程为 y kx 1
y kx 1,
由 ，得 (1 2k
2 )x2 4kx 0 ．．．．．．７分
x
2 2y2 2 0
2
4k 4k 2k 1
所以 x ，所以 y ．．．．．．9分 P P k 1 21 2k 2 1 2k 1 2k 2
4k 1 2k 2
所以Q( , ) ．．．．．．10分
1 2k 2 1 2k 2
2 4k 1 2k 2
所以直线QM 的方程为 y (x ) ．．．．．．11分
2 1 2k 2 1 2k 2
2 4k 1 2k 2
y (x )
所以 2 1 2k 2 1 2k 2
y kx 1
2 2
所以 x ．．．．．．13分 M
1 2k 2
2 2 2k 2 1
所以 N( , )
1 2k 2 1 2k 2
．．．．．．14分
2 2 2 2k 2 1
在直线方程 y x 1中，令 x ，得 y ，
2 1 2k 2 1 2k
2
2
即点 N 在直线 y x 1上 ．．．．．．15分
2
（21）（共 15 分）
（Ⅰ） A 是，因为下面 6 个数列： 1
1，2，3； 1，3，2； 2，1，3；
2，3，1； 3，1，2； 3，2，1 都是 A1的子数列；
A2 不是，因为 3，1，2 不是 A2 的子数列. ．．．．．．4 分
数学（测试卷）参考答案 第 6 页（共 8 页）
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（Ⅱ）G(k, 2) 2k 1，构造数列：1,2,3,...,k 1,k,k 1,k 2,...,2,1，
检验可知，这个数列是 (k , 2) 数列 ．．．．．．5分
假设存在数列{a }是 (k, 2) 数列，且{a }的项数 2k 2 ， n n
由于{a }的每一项都属于{1,2,3,...,k}， n
所以1,2,3,...,k 中一定存在一个数在{a }中至多出现 1 次. n
根据条件②，1,2,3,...,k 中每一个数在{a }中至少出现 1 次， n
故不妨设 k 在{a }中恰好出现 1 次， n
由于 k 的左边必须有1,2,3,...,k 1，k 的右边也必须有1,2,3,...,k 1，
所以{a }的项数 1 2(k 1)，矛盾. ．．．．．．9 分 n
（Ⅲ）首先我们考虑G(i, i) 与G(i 1,i 1) 的关系.
任取一个 (i 1,i 1) 数列，分为下列两种情形：
（i）集合{1,2,3,..., i, i 1}中存在某个数在数列中只出现一次，不妨设这个数为1，
由于{1,2,3,..., i, i 1}的所有末位是1的排列，
去掉1之后，得到{2,3,..., i, i 1}的所有排列，
因此1之前的项数一定不小于G(i, i) ，同理，1之后的项数也不小于G(i, i) .
所以G(i 1,i 1) 2G(i,i) 1 . ．．．．．．11 分
（ii）集合{1,2,3,..., i, i 1}中每个数都至少出现两次，
数学（测试卷）参考答案 第 7 页（共 8 页）
{#{QQABLYoaEQoggiogQAgJBAAAABBhgCCAQQQVVCgCAgAEQkABGECCCIggOGBxABAAMMsAABSBANFABAA=}#}
考虑首次出现且其对应项数不小于 i 1的数，
（因为总共有 i 1个数，这样的数一定存在）
不妨设为1，则该项前面至少还有 i 项，该项之后至少还有一项为1 .
由于{1,2,3,..., i, i 1}的所有首位是1的排列，
去掉1之后，得到{2,3,..., i, i 1}的所有排列，
因此该项之后的项，除去等于1的项之后，项数不小于G(i, i) ，
所以G(i 1,i 1) G(i,i) i 2 . ．．．．．．13 分
而由（Ⅱ）知道，G(2,2) 3
所以 G(3,3) 2G(2,2) 1 7或G(3,3) G(2,2) 2+2 7
而1,2,3,1,2,3,1显然是一个 (3,3) 数列，所以G(3,3) 7
所以G(4,4) 2G(3,3) 1 15 或者G(4,4) G(3,3) 3 2 12
可以检验 1,2,3,4,1,2,3,1,4,2,3，1是一个 (4,4) 数列，所以G(4,4) 12 .
．．．．．．15 分
数学（测试卷）参考答案 第 8 页（共 8 页）
{#{QQABLYaoEQoggiogQAgJBAAAABBhgCCAQQQVVCgCAgAEQkABGECCCIggOGBxABAAMMsAABSBANFABAA=}#}
