长沙市弘益高级中学高二第一学期入学考试数学试卷
时量：120 分钟 满分 150 分
一、单选题（本大题共 8 个小题，共 40 分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合 A x∣0 x 3 ， B {x∣1 x 4}，则 A B （ ）
A．{x∣1 x 3} B．{x∣0 x 4}
C． x∣1 x 3 D．{x∣0 x 4}
3 5i
2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．从 2，3， 4，5，6中任取 2个不同的数，则取出的两个数之和是3的倍数的概率为（ ）
1 2 3 3
A． B． C． D．
5 5 10 20
2
4．设 p： x 2或 x ；q： x 2或 x 1，则 p是 q的（ ）
3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
r r
5．已知向量 a 4, 2 ，b x 1, 2 ，若 a b，则 a b （ ）
A．3 2 B． 2 5 C．3 D．5
3 4
6．已知角 的终边经过点 P , ，则 sin 2 （ ）
5 5
24 7 24
A 7． B． C． D．
25 25 25 25
7．直线 l1 :mx y 1 0, l2 : 3m 2 x my 2 0，若 l1 l2，则实数m的值为（ ）
1
A．0 B．1 C．0或 1 D． 或 1
3
x, x 0,
8．已知函数 g x 是R 上的奇函数，且当 x 0 g x x2时， 2 x，函数 f x ，若
g x , x 0,
f 2 x2 f x ，则实数 x的取值范围是（ ）
A． ,1 2, B． , 2 1,
C． 1,2 D． 2,1
二、多选题（本大题共 4 个小题，共 20 分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，未选全得 2 分，
选错得 0 分）
9．关于直线 l : 3x 3y 1 0 ，则下列结论正确的是（ ）
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
A．倾斜角为60 B 3．斜率为
3
1
C y 3．在 轴上的截距为 D．在 x轴上的截距为
3 3
10．已知复数 z 1 i，则下列说法正确的是（ ）
A． z的共轭复数是1 i B． z的虚部是 i
C z． i D． z 2
z
11．下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据 2，3，9，5，3，9的中位数为 7，众数为 3和 9
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D．数据 a1,a2 , ,a 2n的方差为 s ，则数据 2a1, 2a2 , , 2a 2n的方差为 2s
12．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 1, AB AD 3, E是侧面 AA1D1D的中心， F 是底面 ABCD的
中心，点M 在线段 AD上运动．以A为原点， AB,AD,AA1所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
则（ ）
A． n 1,0, 3 是平面 A1BC的一个法向量
B．直线 EF ∥平面C1D1DC
C．异面直线 EF 与 A1C垂直
π
D．存在点M ，使得直线 A1M 与平面 A1BC所成的角为 4
三、填空题（本大题共 4 个小题，共 20 分.）
13．同时投掷 2枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是
2sin 3cos 1
14．已知 ，则 tan 的值为 ．
sin 2cos 4
15．已知点(2,-1)和点 0,3 到直线 x my 4 0的距离相等，则m .
x x 0 ,
16．已知函数 f x g x f x 1 x a2x 3 x 0 , ，若 g x 存在 3个零点，则实数
a的取值范围
2
为 ．
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知 ABC的三个顶点是 A 1，1 ，B 1，2 ，C 3，4 ，求：
(1) AB边所在直线 l1的一般方程； (2)BC边的垂直平分线所在直线 l2的方程．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
18.（12分）平面给定三个向量 a 3, 2 ，b 1,2 ， c 4,1 ．
(1)若 a b c，求 的值；
r r
(2)若向量 a kb与向量 2b c共线，求实数 k的值．
19．（12分） ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 c 3asinC ccos A.
(1)求A； (2)若 a 2， ABC的面积为 3，求 ABC的周长.
20．（12分）某校高三年级甲班 50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩
分组区间为 80,90 ， 90,100 ， 100,110 ， 110,120 ， 120,130 ， 130,140 ， 140,150 .其中 a c 2b，
且 c 2a .（说明：数学成绩满分为 150分）
(1)根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分；
(2)求数学成绩的第 80百分位数.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
21．（12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，AB BC CD DA AC, PA 平面 ABCD,M ,N分别为 PB, AD
的中点．
(1)证明：MN / /平面 PCD；
(2)若 PA AC 4，求点 N到平面 PBC的距离．
22（．12分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PAD是边长为 4的等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD，AD//BC，
ACB 60 ，CD 4， AB 2 3
(1)证明： PC AD；
(2)求 PB与平面 PCD所成的角的正弦值．
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}参考答案：
1．B【详解】 A B = x | 0 x 4 .故选：B
3 5i (3 5i)(1 i) 8 2i2．D【详解】 4 i, (4, 1)1 i (1 i)(1 i) 2 对应的点为 ，在第四象限，
故选：D.
3．C【详解】从 2，3， 4，5，6中任取 2个不同的数的可能结果有 2,3 ， 2, 4 ，
2,5 ， 2,6 ， 3, 4 ， 3,5 ， 3,6 ， 4,5 ， 4,6 ， 5,6 共10个，
其中两个数之和是3的倍数的有 2, 4 ， 3,6 ， 4,5 共3个结果，
3
所以取出的两个数之和是3的倍数的概率 P .故选：C
10
2
4．A【详解】根据题意可得 p : x 2， q : 1 x 2，
3
2
易知 , 2
是 1,2 的真子集，所以 p q，因此， p是 q的充分不必要条件. 3
故选：A
5．D【详解】因为 a 4, 2 ，b x 1, 2 ，且 a b，所以 a b 4 x 1 2 2 0，所以 x 2，
所以b 1,2 ， a b 4, 2 1, 2 (3, 4)，所以 a b 32 4 2 5 .故选：D.
3 4
6．A【详解】设坐标原点为 O，由角 的终边经过点 P , ，
5 5
|OP | 3 4则 ( )2 ( )2 sin
4 3
1,故 ,cos ，则
5 5 5 5
sin 2 2sin cos 2 4 ( 3 ) 24 ，故选：A
5 5 25
7．C【详解】 l1 l2 m 3m 2 m 0，即m2 m 0，解得m 0或m 1.故选：C.
8．D【详解】 函数 g(x)是R 上的奇函数，且当 x 0时， g(x) x2 2x，
当 x 0时 x 0，则 g(x) g( x) [ ( x)2 2x] x2 2x，
x2 2x, x 0
x, x 0 x, x 0
又 g 0 0，即 g(x) 0, x 0 ，又 f x ， f (x) 2 ，
x2
g x , x 0 x 2x, x 0
2x, x 0
当 x 0时， f (x) x，则 f x 在 , 0 上单调递增，
当 x 0时， f (x) x 2 2x，则 f x 在 0, 上单调递增，
答案第 1页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
f x 的图象如下所示：
函数 f x 在区间 ( , )上单调递增，
f (2 x2 ) f (x)， 2 x2 x，
即 x2 x 2 0， (x 2)(x 1) 0，
2 x 1， x ( 2,1)．故选：D．
9．BD 3 1【详解】直线 l : 3x 3y 1 0 ，即 y x ，
3 3
3 1
所以直线的斜率为 ，倾斜角为30 ，在 y轴上的截距为 ，故 A错误，B正确，C错误，
3 3
令 y 0
3
，得 x ，所以直线在 x 3轴上的截距为 ，故 D正确.故选：BD.
3 3
10．AD【详解】对于选项 A： z的共轭复数是 z 1 i，故 A正确；
对于选项 B： z的虚部是 1，故 B错误；
z 1 i 1 i 2 2i
对于选项 C： i，故 C错误；
z 1 i 1 i 1 i 2
对于选项 D： z 12 12 2，故 D正确；故选：AD.
11．AC【详解】对于 A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故 A正确；
3 5
对于 B：数据从小到大排列为 2、3、3、5、9、9，所以中位数为 4，众数为3和9，
2
故 B错误；
对于 C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故 C正确；
对于 D：数据 a1,a 22 , ,an的方差为 s ，则数据 2a1, 2a2 , , 2a n的方差为 22 s2 4s2 ，故 D错误；
故选：AC
12．ABD【详解】由题意可得 A(0,0,0),B( 3,0,0),C( 3, 3,0),D(0, 3,0)，
A1(0,0,1),B1( 3,0,1),C1( 3, 3,1),D1(0, 3,1)，
3 1 3 3
因为 E是侧面 AA1D1D的中心， F 是底面 ABCD的中心，所以 E 0, , ,F , , 02 2 2 2 ，
对于 A，因为BA1 3,0,1 ,BC 0, 3,0 ， n 1,0, 3 ，
所以 n1 BA1 3 3 0， n1 BC 0，
答案第 2页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
所以 n1 BA1 ， n1 BC，所以 n 1,0, 3 是平面 A1BC的一个法向量，所以 A正确；
对于 B，因为 AD 平面C1D1DC，所以 AD (0, 3,0)是平面C1D1DC的一个法向量，
3 1 EF , 0, 因为 ，所以2 2 AD EF 0，所以 AD EF ，
因为 EF 平面C1D1DC，所以直线 EF ∥平面C1D1DC，所以 B正确；
3 1
对于 C，因为EF A1C ,0, 3, 3, 1 2 0，所以EF与 A1C不垂直，所以异面
2 2
直线 EF 与 A1C不垂直，所以 C错误；
对于 D，设M (0,m, 0)(0 m 3)，则 A1M 0,m, 1 ，由选项 A可知 n 1,0, 3 是平面
A1BC的一个法向量，设直线 A1M 与平面 A1BC所成的角为 ，
所以 sin cos A1M, n
A1M n 3 3 ，
A1M n 2 m2 1 2 m2 1
若直线 A1M 与平面 A BC
π 3 2 2
1 所成的角为 ，则 ，解得4 m
0, 3 ，
2 m2 1 2 2
π
所以存在点M ，使得直线 A1M 与平面 A1BC所成的角为 ，所以 D正确，故选：ABD4
1
13． 【详解】同时投掷 2枚质地均匀的骰子，基本事件有：
6
1,1 , 1, 2 , 1,3 , 1, 4 , 1,5 , 1,6 ， 2,1 , 2, 2 , 2,3 , 2, 4 , 2,5 , 2,6 ，
3,1 , 3, 2 , 3,3 , 3, 4 , 3,5 , 3,6 ， 4,1 , 4, 2 , 4,3 , 4, 4 , 4,5 , 4,6 ，
5,1 , 5, 2 , 5,3 , 5, 4 , 5,5 , 5,6 ， 6,1 , 6, 2 , 6,3 , 6, 4 , 6,5 , 6,6 ，共36种，
其中点数相同的有 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 ,
6 1
5,5 , 6,6 ，共6种，所以所得点数相同的概率是 = .
36 6
1
故答案为：
6
2sin 3cos 1 cos 0 2 tan 3 114． 2【详解】由 ，得 ，所以 ，解得 tan = - 2，
sin 2cos 4 tan 2 4
故答案为： 2
15．3 1或 【详解】因为点(2,-1)和点 0,3 到直线 x my 4 02 的距离相等，
所以由点到直线的距离公式可得：
答案第 3页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
2 m 4 3m 4
1 1，解得m 3或m ，故答案为：3或
1 m2 1 m2 2 2
3 1
16．0 a 【详解】函数 g x f x x a存在 3个零点，等价于 f x y 1与 x a有
4 2 2
3个交点．
1
画出函数 f x 和 y x a的图象，如下图．
2
1
由图知，要使函数 f x 和 y x a有 3个交点，
2
3
则 a 0
3 3
，即0 a ．故答案为： 0 a
4 4 4
17．(1) x 2y 3 0 (2)2x y 5 0
y 1 x 1
【详解】（1）由直线方程的两点式得 l1 : ，∴直线 l1的一般方程为 x 2y 3 0；2 1 1 1
4 2 1
（2）显然 BC边的中点坐标为 1,3 ．∵BC边所在直线的斜率为 3 1 2 ，
∴直线 l2的斜率为 2．∴直线 l2的方程为 y 3 2 x 1 ，即2x y 5 0．
13 7
18．(1) (2) k
9 3
【详解】（1）由题意可知 b , 2 ， c 4 , ，所以 b c 4 , 2 ，
5
3 4 9 13
又 a b c，所以 2 ，解得 2 ，所以
.
8 9
9
（2）由题意可知 a kb 3 k , 2 2k ， 2b c 6,3 ，
r r 3 k 6m 7
因为向量 a kb与向量 2b c共线，所以 a kb m 2b c ，即 2 2k ，解得 k . 3m 3
π
19．(1) (2)6
3
【详解】（1） ABC中，已知 3asinC ccosA c 0，
由正弦定理可得 3 sin AsinC sinC cos A sinC 0，
π
∵sinC 0，∴1 3 sin A cos A 2sin(A )
6
答案第 4页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
π 1 A π π , 5π A π πsin(A π ) ，△ABC中， ，∴ ，∴ A .6 2 6 6 6 6 6 3
1 π
（2） a 2， ABC的面积为 3， ∴ 3 bcsin ，解得bc 4 .
2 3
2 2 2 π 2
由余弦定理可得： a b c 2bccos b c 3bc 化为b c 4 .
3
bc 4
联立 ，解得b c 2 ∴b c 2，所以周长为 6.
b c 4
20．(1)117.8分 (2)132.5
a c 2b 2b a c 3a b 3【详解】（1）因为 ，且 c 2a，所以 ，可得 a，
2
由频率分布直方图，可得 0.004 a b 2c 0.020 0.024 10 1
所以 (0.048
13
a) 10 1，解得a 0.008，所以b 0.012、 c 0.016，
2
所以估计甲班数学成绩的平均分为：
(0.004 85 0.012 95 0.016 105 0.020 115 0.024 125 0.016 135
0.008 145) 10 117.8（分）.
（2）设第80百分位数是m，
由 0.004+0.012+0.016+0.020+0.024 10 0.76 0.8，
0.004+0.012+0.016+0.020+0.024 0.016 10 0.92 0.8
得m [130,140)，则 (140 m) 0.016 0.008 10 1 0.8 解得m 132.5 .
21．(1) 4 21证明见解析； (2) .
7
【详解】（1）在四棱锥 P ABCD中，取PC中点Q，连接MQ,DQ，
如图，由 AB BC CD DA AC，得四边形 ABCD是菱形，
且 ABC 60 ，
M ,N 1因为 分别为PB, AD的中点，则MQ / /BC / /ND，MQ BC ND，
2
于是四边形DQMN 是平行四边形，有MN / /DQ，
而DQ 平面 PCD，MN 平面 PCD，所以MN / /平面 PCD .
（2）由（1）知， AD / /BC ，BC 平面 PBC， AD 平面 PBC，则 AD / /平面 PBC，
于是点N到平面PBC的距离等于点A到平面 PBC的距离d ，
由 PA 平面 ABCD， AB, AC 平面 ABCD，得 PA AB,PA AC，而 PA AC 4，
答案第 5页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
则PB PC PA2 AC2 4 2， PBC底边 BC上的高
h PC 2 1 ( BC )2 (4 2)2 22 2 7 ，
2
1 1 1于是 PBC的面积 S PBC BC h 4 2 7 4 7，而 S ABC AB BC sin 60
4 3，
2 2 2
由V V
1 1
A PBC P ABC ，得 S d S PA，即3 PBC 3 ABC 4 7d 4 3 4
，解得 d 4 21 ，
7
所以点N PBC 4 21到平面 的距离是 .
7
22 105．(1)证明见解析 (2)
35
【详解】（1）证明：取 AD中点 O，连结 PO，CO，
因为 PAD是等边三角形，所以PO AD．
又因为 AD / /BC ， ACB 60 ，所以 DAC 60 ，
因为 AD DC 4，所以 CAD是等边三角形，所以CO AD，
又因为PO CO O，且 PO,CO 平面 POC，所以 AD 平面 POC，
因为 PC 平面 POC，所以 PC AD．
（2）解：由平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
PO AD且 PO 平面 PAD，所以PO 平面 ABCD，
以O为坐标原点，以OA,OC,OP所在的直线分别为 x轴， y轴和 z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
在 ABC中由余弦定理： BC 2 AC 2 2BC AC cos60 AB2 ，
因为 AB 2 3, AC 4，可得 BC 2 4BC 4 0，解得 BC 2，
可得 B 2,2 3,0 ，C 0,2 3,0 ，D 2,0,0 ， P 0,0, 2 3 ，
所以 PB 2,2 3, 2 3 ， PC 0,2 3, 2 3 ，PD 2,0, 2 3 ．
m PC y z 0
设平面PCD的一个法向量m x, y, z ，则 ，
m PD x 3z 0
取 z 1，可得 x 3, y 1，所以m 3,1,1 ，
PB m 105
设直线 PB与平面PCD所成的角为 ，则 sin cos PB,m ，
PB m 35
PB PCD 105即直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
35
答案第 6页，共 6页
{#{QQABJYQQogigQBBAARhCAQ1gCAEQkAECCKgGxBAIoAIByRNABAA=}#}
