(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系.2.记住常用数集的表示符号，并会应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 集合的概念
1.集合与元素
名称 概念 表示
集合 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全 体组成一个集合
元素 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元
2.集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
知识点2. 元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合 的关系 属于
不属于
知识点3. 常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】集合概念的理解
例1 （多选题）下列选项中能构成集合的是( )
CD
A.高一年级跑得快的同学 B.中国的大河
C.3的倍数 D.大于6的有理数
[解析] 集合的元素要满足“确定性”，所以 选项不符合， 选项符合.
故选 .
题后反思 判断一组对象能不能构成一个集合的依据
元素的确定性是判断的依据.如果研究的对象是确定的，那么它们能构成一个集合，否则不能构成一个集合.
跟踪训练1 下列各选项中能构成集合的是( )
D
A.学生中的跑步能手 B.中国科技创新人才 C.地球周围的行星 D.唐宋散文八大家
[解析] 对于A，学生中的跑步能手不具有确定性，所以不能构成集合，所以A错误；
对于B，中国科技创新人才不具有确定性，所以不能构成集合，所以B错误；
对于C，地球周围的行星不具有确定性，所以不能构成集合，所以C错误；
对于D，唐宋散文八大家分别为唐代柳宗元、韩愈和宋代欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩八位，研究的对象是确定的，可构成集合，所以D正确，故选D.
【题型二】元素与集合的关系
例2 （人A教材题）用符号“ ”或“ ”填空：
（1）0___ ； ___ ；0.5___ ； ___ ； ___ ； ___ .
[解析] 0是自然数，则 ； 不是自然数，则 ； , 不是整数，则 , ； 是有理数，则 ； 是实数，则 .
（2）设 为所有亚洲国家组成的集合，则中国___ ，美国___ ，印度___ ，英国
_ __ .
[解析] 根据国家的地理位置直接得到答案：中国 ，美国 ，印度 ，英国 .
题后反思 符号“ ”“ ”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立， 还是 取决于 是不是集合 中的元素.
跟踪训练2 用符号“ ”或“ ”填空:
___ ， ___ ， ___ .
[解析] 因为 为实数集， 为自然数集， 为整数集，
故 ， ， .故答案为 ， ， .
【题型三】集合中元素的性质及应用
例3 已知集合 含有两个元素1和 ，若 ，求实数 的值.
解 由题意可知， 或 .
（1）若 ，则 ，这与 相矛盾，故 .
（2）若 ，则 或 （舍去），又当 时， 中含有元素1和0，满
足集合中元素的互异性，符合题意.
综上可知，实数 的值为0.
题后反思 集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序的.其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相同.元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素.
跟踪训练3 已知集合 中元素 满足 ，且 , ，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所以 .故选D.(共18张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法.2.学会选择合适的方法表示集合，理解集合的相等、有限集、无限集等概念.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 集合的表示方法
（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内.用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关.
（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成
的形式.其中 为集合的代表元素， 指元素 具有的性质.
名师点睛
描述法的两点说明
1.竖线前写清代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征.
2.同一个集合可以有不同的表述形式，如 ， ， ，
表示同一个集合.
知识点2. Venn图
为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 图.
知识点3. 集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等.
知识点4. 集合的分类
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】列举法表示集合
例1 （人A教材题）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
解 设小于10的所有自然数组成的集合为 ，那么 .
（2）方程 的所有实数根组成的集合.
解 设方程 的所有实数根组成的集合为 ，那么 .
题后反思 用列举法表示集合应注意的两点
（1）应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，或是其他元素.
（2）当集合中的元素是点时，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于6的整数组成的集合 ；
解 因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以 ，3，4， .
（2）方程 的实数根组成的集合 ；
解 方程 的实数根为 ，3，所以 ， .
（3）一次函数 与 的图象的交点组成的集合 .
解 由 得
所以一次函数 与 的图象的交点为 ，所以 .
【题型二】描述法表示集合
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程 的所有实数根组成的集合 ；
解 设 ，则 是一个实数，且 .因此，用描述法表示为 .
方程 有两个实数根 ， ，因此，用列举法表示为 , .
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合 .
解 设 ，则 是一个整数，即 ，且 .因此，用描述法表示为 ， .
大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 .
规律方法 利用描述法表示集合的关注点
（1）用描述法表示集合时，首先要弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）若描述部分出现代表元素以外的参数，要对参数说明其含义或指出其取值范围.
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
（1）正奇数集；
解 奇数可用式子 ， 表示，但元素为正奇数，故限定 ，所以正
奇数集可表示为 ， .
（2）被3除余2的正整数集合；
解 设被3除余2的数为 ，则 ， ，但元素为正整数，故 ，所以
被3除余2的正整数集合可表示为 ， .
（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解 坐标轴上的点 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即 ，故平面直
角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为 .
【题型三】集合相等
例3 设 , ,若集合 , , ,则 ___.
0
[解析] 由 , , 易知 , , ,则根据两个集合相等可知
,且 或 .
若 ,由 得 ,验证知,符合题意;
若 ,则 ,结合 可知, ,则此时不符合题意.
综上可知， ， ，故 .
规律方法 利用集合相等求参数的具体步骤：
（1）由集合相等的定义建立方程，注意多数情况下需要分类讨论；
（2）解方程，求得参数值；
（3）求得参数值后，代入原集合检验，判断其是否满足集合中元素的互异性，若集合中出现相同元素，则应舍去.
跟踪训练3 已知集合 , , ， , , ，若 ，则实数 的取
值集合为( )
B
A. ,0, B. , C. ,0, D. ,1,
[解析] 因为 ，所以 .
当 时， ，得 ；
当 时，则 .
故实数 的取值集合为 , .故选B.(共16张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解集合之间包含的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系，并能用 表示.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 子集与真子集
子集 真子集
定义
记法
读法
图示
子集 真子集
性质
续表
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】集合关系的判断
例1 （人A教材题）判断下列各题中集合 是否为集合 的子集，并说明理由.
（1） ， 是8的因数 ；
解 因为3不是8的因数,所以集合 不是集合 的子集.
（2） 是长方形 ， 是两条对角线相等的平行四边形 .
解 因为若 是长方形,则 一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合 是集合
的子集.
规律方法 判断集合关系的方法
（1）观察法：一一列举观察.
（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或 图.
跟踪训练1（1） 设集合 是菱形 ， 是平行四边形 ， 是四
边形 ， 是正方形 ，则这些集合之间的关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
（2）设集合 ， ，集合 或 ，则 与 的关系为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .故选C.
【题型二】集合的子集、真子集
例2（1） 集合 ， ， 的所有子集为_______________________________________
_______________________，其中它的真子集有___个.
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
7
[解析] 集合 ， ， 的子集有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中，除 ， ， 外，都是 ， ， 的真子集，共7个.
（2）[2023徐州期末] 已知集合 满足 ，则集合 的个数为___.
7
[解析] 因为 ，所以 可以为 ， ， ， ， ， ， ，共计7个，故答案为7.
规律方法 1.假设集合 中含有 个元素，则：
（1） 的子集有 个；
（2） 的非空子集有 个；
（3） 的真子集有 个；
（4） 的非空真子集有 个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
（1）按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
（2）在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
跟踪训练2 已知集合 ， ， ，试写出 的所有子集.
解 因为 ， ， ，所以 ， ， .
所以 的子集有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
【题型三】由集合间的关系求参数
例3 （多选题）已知集合 ,4, ， , ，若 ，则满足条件的实数
可以是( )
ABD
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 由 得 ，满足互异性；由 得 ，而 时，集合中元素不满足互异性，所以舍去.综上，满足的条件的 值有 ,0,2.故选 .
规律方法 利用集合间的关系求参数的求解策略
（1）利用集合间的关系求参数的值或取值范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为定集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题.
（2）空集是任何集合的子集，因此在解 的含参数的问题时，要注意讨论 和 两种情况，前者常被忽视，造成解答问题不全面.
跟踪训练3 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集
合为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 当 时， ，满足 ；
当 时， .
因为 ，所以 或 ，解得 或 .
综上所述，实数 的取值集合为 ，故选B.(共13张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解全集、补集的概念.2.会求给定子集的补集.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作 .
在实数范围内讨论集合时， 便可看作一个全集 .
知识点2. 补集
定义 文字语言
符号语言
图形语言
性质 02
题型分析·能力素养提升
【题型一】简单的补集运算
例1（1） [2023南京检测] 已知 ， ，则 ______
__________________.
，或
[解析] 因为 ， ，
所以 ，或 ,故答案为 ，或 .
（2）（人A教材题）设 是小于9的正整数 ， ， ，
求 ， .
解 根据题意可知， ，所以 ， .
题后反思 求补集的方法
（1）列举法表示：从全集 中去掉属于集合 的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
（2）由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集 中集合 以外的所有元素组成的集合.
跟踪训练1（1） 已知全集 ，集合 ，则 ( )
D
A. B. , C. D. ,
[解析] 因为全集 ，集合 ，所以 , .故选D.
（2）已知全集 , ，则 ( )
B
A. B. ,或
C. D. ,或
[解析] 因为 , ，所以 ，或 ，故选B.
【题型二】由全集与补集的关系求参数
例2 [2023苏州月考] 已知全集 ，集合 ， ，
则实数 的值为_ ______.
1或
[解析] 因为全集 ,3, ，集合 ， ，所以 ，解得 或 ，所以实数 的值为1或 .故答案为1或 .
题后反思 集合 与 中没有公共元素.若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合 图求解；若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析求参数.
跟踪训练2 已知全集 , ，集合 ， ，则 ___.
8
[解析] 因为全集 , ，集合 ， ，
所以 , , ，即 , ，所以 .故答案为8.(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.掌握区间的表示方法.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 交集
1.交集的概念
自然语言
符号语言
图形语言
2.交集的性质
（1） .
（2） ， .
知识点2. 并集
1.并集的概念
自然语言
符号语言
图形语言
2.并集的性质
（1） .
（2） ， .
知识点3. 区间
1.区间概念 ， 为实数，且
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
2.其他区间的表示
定义
区间
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】交集的概念与运算
例1（1） 设集合 ， ，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] ， .
如图，
故 .
（2）已知集合 ， ， ，则集合 中元
素的个数为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
[解析] 因为 , ，所以 , ，
所以 .故选D.
规律方法
1.
2.对于无限连续的数集，多利用数轴来求解交集.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示
跟踪训练1（1） 已知集合 ， ，则 等于( )
A
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
（2）已知集合 ， ，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由 得 ，即 ，所以 .故选A.
【题型二】并集的概念与运算
例2
（1）设集合 ， ， ， ，则
( )
D
A. B. C. , D. ,0,
[解析] ， ， ， ，
，故 ，故选D.
（2）已知集合 ， ,或 ，则
( )
A
A. ,或 B.
C. D. ,或
[解析] 在数轴上表示集合 ， ，如图所示，则 ,或 .
跟踪训练2 （多选题）满足 的集合 可能等于 ( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 由 得 中至少含有元素2且 ，所以 或 .
故选 .
【题型三】交集、并集运算性质的应用
例3 已知集合 ，集合 ，且 ，
试求实数 的取值范围.
解 当 ，即 时， ，满足 ；
当 时，要使 ，
只需 解得 .
综上可知 .故实数 的取值范围为 .
规律方法 运用交集、并集运算性质求解问题的策略
, ,这两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当 时，往往需要按 和 两种情况分类讨论，而这一点在解题时很容易被忽视，因此当题目中有 这一条件时，应有分类讨论的思想意识，以免造成漏解.
跟踪训练3 （多选题）设全集 ，若集合 ，则下列结论正确的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 对于A，因为 ，所以 ，A正确；
对于B，因为 ，所以 ，B正确；
对于C，因为 ，所以 ，C正确；
对于D，因为 ，所以 ，D错误.故选 .(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
集合中的新定义问题的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】有关集合的新概念问题
例1 [2023青岛期中] 设 ，集合 ， 是 的两个子集，若 ，
，则称 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定： 与
是两个不同的“理想配集”）的个数是( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 对子集 分类讨论：
当 是二元集 时， 可以为 ，共4种结果；
当 是三元集 时， 可以为 ，共2种结果；
当 是三元集 时， 可以为， 共2种结果；
当 是四元集时 ， 取 ，有1种结果，
综上，知共有 种结果.故选C.
题后反思 掌握新概念的特点，确定 , 中一个集合中的元素，对另一个集合进行讨论.
跟踪训练1 [2023徐州质检] 定义：实数 ， ， ，若满足 ，则称 ，
， 是等差的，若满足 ，则称 ， ， 是调和的.已知集合
, ，集合 是集合 的三元子集，即 , , ，若
集合 中的元素 ， ， 既是等差的，又是调和的，称集合 为“好集”，则集合 为
“好集”的个数是_______.
1 010
[解析] 由“好集”的定义得 且 ，则有 ，整理得
，故 或 ，
由 , , 得 ，故 ， ，所以 , , ，
且 .
因为 ，所以 且 ，得 ,且 ，
故集合 为“好集”的个数为 .故答案为1 010.
【题型二】有关集合的新运算问题
例2 定义集合运算 , ，若集合 ，
, ，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，所以 或 ,所以 或 ， 或
,所以 或 ，所以 , , , ，代入
验证，
知 .故选D.
题后反思 求出集合 , ,根据新定义的运算求出 ，然后再代入 进行验证即可.
跟踪训练2 设全集 ，且 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，
如： 表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字
符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000.对于任意两个集合 ， ，我们定
义集合运算 且 ， .若
， ，则 表示的6位字符串是( )
C
A.101010 B.011001 C.010101 D.000111
[解析] 由题意可得若 ， ，则 ，
所以此集合表示的字符串的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1，其余字符
均为0，即 表示的6位字符串是010101.故选C.
【题型三】有关集合的新模型问题
例3 设集合 ，若 ，把 的所有元素的乘积称为 的容量（若
中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若 的容量
为奇（偶）数，则称 为 的奇（偶）子集.若 ，则 的所有奇子集的容量之
和为____.
47
[解析] 当 时， .
含有一个元素的奇子集为 , , ;
含有两个元素的奇子集为 , , ;
含有三个元素的奇子集为 .
故所有奇子集的容量之和为 .故答案为47.
题后反思 对重新定义新模型问题，要读懂题意，用列举法分情况讨论.
跟踪训练3 已知集合 , ，集合 中所有元素的乘积称为集合 的
“累积值”，且规定：当集合 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的
累积值为0，设集合 的累积值为 .
（1）若 ，则这样的集合 共有___个；
2
[解析] 若 ，由“累积值”的定义，得 或 ，这样的集合 共有2个.
（2）若 为偶数，则这样的集合 共有____个.
13
[解析] 因为集合 的子集共有 个，其中“累积值”为奇数的子集为 ， ， ， 共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.(共23张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 集合的概念及表示
1.集合元素的特征是确定性、互异性、无序性，其中互异性是我们必须进行检验
的一方面，否则集合中的元素便可能有重复.在列举法、描述法、 图法三种集合
表示法中，描述法略有难度，解题时应注意分清代表元素是什么，有什么共同特征.
2.掌握集合的表示方法，重点提升逻辑推理素养.
【典例1】（1） 已知集合 , ,0,1,2,3, , , ，则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 , ,0,1,2,3, ， , ，所以 .故选B.
（2）已知集合 , , , ，则集合 中所
含元素个数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 当 时，有 , , , , , ，6个元素；
当 时，有 , , , , ，5个元素；
当 时，有 , , , ，4个元素；
当 时，有 , , ，3个元素；
当 时，有 , ，2个元素；
当 时，有 ，1个元素，
综上，一共有21个元素.故选B.
规律方法 与集合中的元素有关的问题的求解策略
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
（2）看这些元素满足什么限制条件.
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
跟踪训练1 已知集合 ， , , ，则集合
中所含元素的个数为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 中元素：
， ，3，4，5，即 ， ， ， ；
， ，3，4，5，即 ， ， ， ；
， ，2，4，5，即 ， ， ， ；
， ，2，3，5，即 ， ， ， ；
， ，2，3，4，即 ， ， ， ,
所以 中元素共有20个.故选D.
要点二 集合间的关系
1.处理有关集合间关系的问题时,首先应认清集合中的元素是数集还是点集;另外注意集合中的两种关系:元素与集合、集合与集合的关系.
2.掌握集合间的关系,重点提升逻辑推理的核心素养,培养分类讨论的思想.
【典例2】（1） 集合 , , ,
},则下列关系正确的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] , },即 中的元素 , , },即 中的元素 ,故 .
（2）已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在数轴上标出 , 两集合,如图所示,
结合数轴知,若 ,则 .
规律方法 根据集合间的关系求参数的关键点
（1） ：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
（2）端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题.
跟踪训练2 设集合 , ,集合 ,若 , ,求实
数 , 的值.
解 由 知, 中的所有元素都属于集合 ,又 ,
故集合 有三种情形: 或 或 , .
当 时,有 , ,满足 ,故 , ;
当 时,有 , ,满足 ,故 ;
当 , 时,有 , ,满足 ,故
, .
综上所述, , 的值为 , ,或 , ,或 , .
要点三 集合的基本运算
1.集合的运算有交、并、补这三种,它是本章的核心内容之一,在进行运算时通常借
助数轴（ 图）将复杂问题直观化.在具体问题中要注意检验端点值是否符合题意,
以避免出现增解或漏解.
2.掌握集合运算,重点提升数学运算和直观想象的核心素养,培养数形结合的思想.
【典例3】 设 ， ， ，
， 为实数.
（1）分别求 ， ；
解 因为 ， ， ，
所以 ，或 ，
所以 ，
，或 .
（2）若 ，求 的取值范围.
解 因为 ，所以 .
若 ，则 ，无解，所以 ，
所以 ， ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
规律方法 集合基本运算的关注点
跟踪训练3 已知集合 ， ， ，
}.
（1）求 ， ；
解 因为 ， ，
所以 .
又 ,或 ，
所以 .
（2）若 ，求 的取值范围.
解 如图,
要使 ，则 .故 的取值范围为 .
要点四 补集思想及其应用
1.补集思想，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合 ，
则 的补集即为所求.在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用
“正难则反”的解题策略，这就是补集思想.
2.掌握集合的补集，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
【典例4】 设集合 ， ，或 ，若
，求实数 的取值范围.
解 当 时，如图所示，
则 解得 .
即 时，实数 的取值范围为 .
当 时，实数 的取值范围显然是集合 在 中的补集，故实数 的取值范
围为 ，或 .
规律方法 运用“补集”思想（“正难则反”法）求参数取值范围的方法
（1）把已知的条件否定,考虑反面问题;
（2）求解反面问题对应的参数取值范围;
（3）将反面问题对应的参数取值范围取补集.
跟踪训练4 已知集合 ， ，若 ，
求实数 的取值范围.
解 若 ，则 .
因为 ， ，所以 解得
.
又因为 ，所以当 时，实数 的取值范围为集合 在 中
的补集，
即 的取值范围为 .
