(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.3.初步学会用作差法（作商法）比较两个实数的大小.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 作差法比较大小
基本事实
依据
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
名师点睛
（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
（2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.
（3）对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点2. 等式的性质
性质1 若 且 ，则 ；
性质2 若 ，则 ；
性质3 若 ，则 ， .
名师点睛
性质3中，由 ，得 时，要保证 .
知识点3. 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 可逆
2 传递性 不可逆
3 可加性 可逆
4 可乘性
5 同向可加性 同向
6 同向同正可乘性 同向
名师点睛
（1）可加性是不等式中移项的根据.
（2）应用同向可加性时，应注意“同向”.
（3）同向同正可乘性应注意数的正负.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】作差法比较两数的大小
例1 已知 , 均为正实数.试利用作差法比较 与 的大小.
解
,
当 时, ,所以 ;
当 时, , ,所以 .
综上所述, .
规律方法 1.作差法比较两数（式）大小的步骤及变形方法：
2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.
跟踪训练1 已知 ，比较 与 的大小.
解
.
因为 ，所以 .
又 ，
所以 .
所以 .
【题型二】不等式的性质
例2（1） 对于实数 , , ,下列命题是真命题的为( )
D
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 , ,则 ,
[解析] 当 时,有 ,故A为假命题;
由 ,得 , ,即 ,故B为假命题;
由 ,得 , ,则 ,故C为假命题;
由 ,得 .由 ,得 ,即 ,所以 ,则 且
, 故D为真命题.
（2）已知 ，求证： .
证明 因为 ，所以 ， .
因为 ,所以 , ,
所以 ,即 .
又 ,所以 ，所以 ,所以 .
规律方法 利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记忆不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
跟踪训练2 已知 ， ， ，求证： .
证明 因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
又因为 ，所以 .
【题型三】利用不等式的性质求范围
例3（1） 已知 , ，求 的取值范围；
解 因为 , ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）已知 , ，求 的取值范围.
解 因为 , ，
，所以 .
规律方法 利用不等式的性质求取值范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
跟踪训练3 已知 ， .
（1）求 的范围；
解 由 ， 得 ， ，
则 ，即 的取值范围为 .
（2）求 的范围.
解 由 ， 得 ，
即 的取值范围为 .(共19张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解基本不等式的证明过程.2.掌握基本不等式 .3.能应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 基本不等式
基本不等式：如果 ， 是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.我们把不等式 称为基本不等式.
对于正数 ， ，我们把 称为 ， 的算术平均数， 称为 ， 的几何平均数.
名师点睛
（1）基本不等式常见的变形：①当 ， 时， ；②当
， 时， .
（2）两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对基本不等式的理解
例1（1） 若 ， ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A项，当 时，应有 ，所以A错误；对于B，C项，条
件 只能说明 ， 同号，当 ， 都小于0时，B，C错误；对于D项，因为
，所以 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成
立.故选D.
（2）不等式 中等号成立的条件是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，根据基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，故
中当且仅当 时等号成立.故选C.
规律方法 应用基本不等式时要注意：
（1）各项或各因式均为正；
（2）和或积为定值；
（3）各项或各因式能取得相等的值.
跟踪训练1 设 ，则下列不等式中正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 方法一 因为 ，所以 ，故选B.
方法二 取 ， ，则 ， ，所以 .故选B.
【题型二】利用基本不等式证明不等式
例2 已知 ， ， 为正数,求证： .
证明 左边 .
因为 , , 为正数,
所以 （当且仅当 时,等号成立）；
（当且仅当 时,等号成立）；
（当且仅当 时,等号成立）.
从而 （当且仅当 时,等号成立）.
所以 ,
即 .
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意事项
（1）利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.
（2）注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
（3）解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
跟踪训练2 已知 , , 为不全相等的正实数,求证: .
证明 因为 , , 为正实数，
所以 , , ,
因为 , , 不全相等，
所以 ,
即 .
【题型三】用基本不等式求最值
例3（1） 已知 ,则 的最小值为( )
A
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,此时
取得最小值6.
（2）已知 ，求 的最大值.
解 因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当 时， .
（3）已知 ，求 的最大值.
解 因为 ，所以
，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时,等号成立.
故当 时， .
题后反思 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值（恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧）；三是考虑等号成立的条件是否具备.
跟踪训练3（1） 在本例（2）中，将条件改为 ，求 的取值范围.
解 因为 ，所以 ，
所以 ,
当且仅当 ,即 时，等号成立.
故 的取值范围为 .
（2）在本例（2）中，去掉条件 ，则 的最大值和最小值如何求解？
解 .
①当 时， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故当 时， ，无最大值.
②当 时， .
,
当且仅当 ，即 时,等号成立.
故当 时， ,无最小值.(共20张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2.会求二次函数的零点，并能用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 二次函数的零点
一般地，一元二次方程 的根就是二次函数 当函数值取零时自变量 的值，即二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，也称为二次函数 的零点.
名师点睛
函数的零点不是点，而是一个实数.
知识点2. 二次函数图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系
二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系（当 时）
没有实数根
无零点
名师点睛
二次函数 的零点
一元二次方程 的实数根
二次函数 的图象与 轴交点的横坐标.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求二次函数的零点
例1 求下列函数的零点:
（1） ;
解 由 ,解得 , ,所以函数 的零点为1, .
（2） ;
解 由 ,得 ,解得 , .
由 ,得 .
当 时, ,函数有唯一的零点 .
当 且 时, ,
函数有两个零点 , .
综上,当 时,函数的零点为 ；
当 且 时，函数有两个零点 ， .
（3） ,其图象如图所示.
解 由图象可知,函数有两个零点 和3.
规律方法 二次函数零点的求法
跟踪训练1 若 ， 是函数 的两个零点，则 的值为( )
A
A.6 B.4 C.3 D.
[解析] 由题意可得， ， ，
所以 .故选A.
【题型二】由二次函数的零点求参数的值
例2 若二次函数 的两个零点分别是2和3，则 的值为___.
8
[解析] 因为二次函数 的两个零点分别是2和3，
所以一元二次方程 的两个根分别是2和3，
由一元二次方程根与系数关系得 解得
因此， .故答案为8.
题后反思 由函数的零点求参数的值主要是转化为方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系.
跟踪训练2 若函数 的两个零点是2和3，则函数 的
零点是( )
B
A. ， B.1， C. ， D. ，
[解析] 由2和3是函数的零点，故 ， ，所以 ， ，则 的零点为1， .故选B.
【题型三】由二次函数的零点求参数的范围
例3 函数 的两个零点均大于2，则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设函数的两个零点分别为 ， ，
函数 的两个零点均大于2，即方程 的两根
均大于2，
则 ， ，
所以
即 解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
题后反思 二次函数的零点分布问题，一般要结合二次函数图象以及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数） ，列出不等式组进行求解.
跟踪训练3 已知二次函数 在区间 内存在零点，
求 的取值范围.
解 二次函数 ，
令 ，解得 ， ，
由于在区间 内存在零点，
故当 在 内时， ，解得 .当 在 内时，
解得 ，
所以 的取值范围是 .(共18张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.从函数观点看一元二次不等式，了解一元二次不等式的意义.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式.
温馨提醒 一元二次不等式的一般形式中“ ”不能省略.
知识点2. “三个二次”的关系
没有实数根
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式：
（1） ；
解 因为 ，所以方程 有两个不相等的实
数根 ， .
又二次函数 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为
.
（2） ；
解 原不等式可化为 ，
所以原不等式的解集为 .
（3） .
解 原不等式可化为 ，因为 ，
所以方程 无实数根.
又二次函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
规律方法 解一元二次不等式的一般步骤
第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式（习惯上二次项系数大于0）；
第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根；
第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中；
第四步，观察图象中位于 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集.
跟踪训练1 解下列不等式：
（1） ；
解 因为 ，方程 的根是 ， ，
所以不等式 的解集为 .
（2） ；
解 因为 ，方程 的根是 ，
所以不等式 的解集为 .
（3） ；
解 原不等式可化为 ，
由于 ，方程 无解，
所以不等式 的解集为 .
（4） .
解 原不等式可化为 ，
由于 ，方程 的两根为 ， ，
所以不等式 的解集为 .
【题型二】“三个二次”间的关系
例2 已知关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等
式 的解集.
解 （方法一）由不等式 的解集为 可知 ，且2和3
是方程 的两根，
由根与系数的关系可知 ， .
由 知 ， ，故不等式 ，即 ，即
，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
（方法二）由不等式 的解集为 可知 ，且2和3是
方程 的两根，
所以 ，
则 ， .
故不等式 ，即 ，
即 ，
解得 或 .
故原不等式的解集为 .
规律方法 已知以 ， ， 为参数的不等式如 的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把 ， 用 表示出来，并代入所要解的不等式；
（3）约去 ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
跟踪训练2 已知一元二次不等式 的解集为 或 ，则不
等式 的解集为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题意可知，一元二次方程 的两根分别为 ,1，由根与系数
的关系可得 ，解得 ，所以不等式 ,即
，整理得 ，解得 或 ，故原不等式的
解集为 .故选D.
【题型三】含参数的一元二次不等式的解法
例3 解关于 的不等式 .
解 原不等式可化为 .
若 ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
规律方法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
跟踪训练3 解关于 的不等式 .
解 方程 的解为 , ,
函数 的图象开口向上,则当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 ;
当 时,原不等式的解集为 .(共19张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.会求简单的分式不等式.2.掌握简单的一元二次不等式恒成立问题.3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 简单分式不等式的解法
分式不等式的解法：
（1） .
（2） 且 .
名师点睛
解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为整式不等式（组）
求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
知识点2. 一元二次不等式恒成立问题
1.转化为一元二次不等式解集为 的情况,即 恒成立
恒成立
2.分离参数,将恒成立问题转化为求最大（小）值问题.
知识点3. 一元二次不等式的实际应用
利用一元二次不等式解决实际问题的步骤：
（1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系；
（2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；
（3）解不等式（或求函数最值）；
（4）回扣实际问题.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】简单的分式不等式的解法
例1 解下列不等式:
（1） ;
解 原不等式可化为 ,
解得 ,
故原不等式的解集为 .
（2） ;
解 原不等式可化为 ,
即
解得
即 .
故原不等式的解集为 .
（3） .
解 原不等式可化为 ,
即 , ,
则 .
故原不等式的解集为 .
规律方法 分式不等式的解法
（1）对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分（不要去分母）,使不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
跟踪训练1 解下列不等式:
（1） ;
解 不等式 可转化成不等式组
解这个不等式组,
可得 或 .
所以原不等式的解集为 或 .
（2） .
解 不等式 可化为 ,
即 .
可将这个不等式转化成 ,
解得 .
所以原不等式的解集为 .
【题型二】不等式恒成立问题
例2 已知 ，若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
解 （1）当对称轴 ，即 时， ，解得 ，与
矛盾，不符合题意；
（2）当 ，即 时， ，
解得 ，此时 ;
（3）当 ，即 时， ，解得 ，此时
.
综上， 的取值范围为 .
规律方法 1.不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当
时， ， ；当 时，
2.不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当
时， ， ；当 时，
3. 恒成立 ； 恒成立 .
跟踪训练2 当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是____
________.
[解析] 因为 ，所以 ，即 .
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.
因为 ,
所以 ，
当且仅当 时,等号成立.
所以 ，即实数 的取值范围是 .
【题型三】一元二次不等式的实际应用
例3 某公司为改善营运环境,年初以50万元的价格购进一辆豪华客车.已知该客车每年的
营运总收入为30万元,使用 年 所需的各种费用总计为 万元.
则该车营运第几年开始盈利（总收入超过总支出,今年为第一年）？
解 因为客车每年的营运总收入为30万元,使用 年 所需的各种费用总计为
万元,
若该车第 年开始盈利,则 ,
则 ,即 ,
因为 ,所以 .
所以该车营运第三年开始盈利.
规律方法 利用不等式解决实际问题的一般步骤
（1）选取合适的字母表示题目中的未知数；
（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案.
跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，发现每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解 设每间客房日租金提高 个10元，即每间客房日租金提高到 元，则客房
出租数减少 间，此时客房的租金总收入为 元.因为每天客房的租
金总收入不低于1 800元，所以 .
化简，得 ，解得 ，
所以 .又由题意可知 ，所以 .因此，该农家院
每间客房日租金提高的空间是 元.(共30张PPT)
01
第3章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 , ，则 与 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.与 有关
[解析] 因为 恒成立，所以 .故选A.
2.不等式 的解集为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 不等式可变形为 ，即 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 .故选A.
3.函数 的零点为( )
C
A. B. C.1,3 D. ,
[解析] 令 ,解得 或 ,所以函数的零点为1,3.故选C.
4.下列不等式正确的是( )
C
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 , , ，则
D.若 , ，则
[解析] 对于A，若 , ，则 ，错误；对于B，若 ，则
， 错误；对于C，若 , , ，由不等式的基本性质
可得 ，正确；对于D，若 , , , , , ，则
，错误.故选C.
5.已知命题“ , ”是假命题,则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为命题“ , ”是假命题,
所以命题“ , ”是真命题,
即判别式 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选D.
6.如果两个正方形的边长分别为 , ,且 ，那么它们的面积之和的最小值是
( )
B
A. B. C.1 D.2
[解析] 由基本不等式可得 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.因此，两个正方形的面积之和 的最小值为 .故选B.
7.[2023徐州月考] 设 , ,则 的最小值为( )
A
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 由题意 , ，所以 , ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故 的最小值为0.故选A.
8.已知 ，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.2
[解析] 因为 ，所以 .
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的最小值是 .故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 , , ，则( )
BC
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
[解析] 对于A，若 ，令 ， ，则 ， ， ，故A错
误；
对于B，显然 ，则 ，则 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，同理可得 ，
故 ，故C正确；
对于D， ,因为 ，所以 ，
， ，故 ，即 ，故D错误.故选 .
10.已知 ， ，且 .若不等式 恒成立，则 的值可以为
( )
BCD
A.10 B.9 C.8 D.7
[解析] 因为 ， ，且 ，
所以 ，当且仅当
时取等号.
又不等式 恒成立，所以 .故选 .
11.已知 ，不等式 的解集是 ，下列说
法正确的是( )
BCD
A.
B.
C.关于 的不等式 的解集是
D.如果 ,则
[解析] 对于A， 的解集是 ，则 ，故A不正确；
对于B，由题意知 是方程 的一个实数根，故 ，
故B正确；对于C，由题意知 和 是方程 的两个实数根，
则由根与系数的关系得 ， ，则不等式 变为
，即 ，解不等式得 的取值范围为
，故C正确；对于D，如果 ，则 ，故
，则 ，故D正确.故选 .
12.已知 , ，且 .若 对任意的 , 恒成立，
则实数 的可能取值为( )
ACD
A. B. C. D.2
[解析] 因为 , ,所以 ,即 ,
所以 .又
,
当且仅当 ，即 时，等号成立,
所以 ，即 ,
即 ,
解得 或 .
故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.写出一个解集为 或 的一元二次不等式：_____________________
_______________.
（答案不唯一）
14.已知 ，则 的值_ __0（选填“ ”“ ”“ ”“ ”）.
[解析] 因为 ，所以 ，
所以 ,
当且仅当 时，等号成立.
15.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 （单位时间内经过测量
点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度 （假设车辆以相同速度 行驶，单位：米/
秒），平均车长 （单位：米）的值有关，其公式为 .如果不限定车
型， ，则最大车流量为_______辆/时.
1 900
[解析] 当 时， ,
当且仅当 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.
16.已知 , ,且 ,则 的最小值为___.
4
[解析] 因为 ,所以 .
所以 .
令 ,则原式 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立，此时 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）解下列不等式：
（1） ；
解 因为不等式 可化为 ，
也即 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 或 .
（2） .
解 不等式 可化为 ，也即 ，
所以 解得 ，
所以原不等式的解集为 .
18.（12分）比较下列两组代数式的大小：
（1） 和 ；
解 因为
,
所以 .
（2） 与 .
解 因为
，
所以 .
19.（12分）已知 , ，且 .
（1）求 的最大值；
解 因为 , ,
所以 （当且仅当 ，即 , 时,等号成立）.
所以 ，因此 的最大值为100.
（2）求 的最小值.
解 因为 ，即 ,
所以 （当且仅当
，即 , 时,等号成立）.
所以 的最小值为 .
20.（12分）某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞.若该公司从第1年到
第 年花在该渔船维修等事项上的所有费用为 万元，该船每年捕捞的总收
入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
解 设捕捞 年的盈利为 万元，
则 .
由 ,得 ,
解得 .又 ，所以 .
所以捕捞3年开始盈利.
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
解 方案①合算.理由如下:
① ,当且仅当 ,即 时，等号成
立.故经过7年捕捞，年平均盈利最大，共盈利 万元.
②因为 ,所以当 时， 取得最大值1
02.故经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利 万元.
综上知，两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.
21.（12分）设函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 , 的值；
解 由题意可知，方程 的两根是 ，1,
所以 解得
（2）若 ，且存在 ，使 成立，求实数 的取
值范围.
解 存在 ，使 成立,将 代入上式可得
成立.
当 时，显然存在 使得上式成立；
当 时，需使方程 有两个不相等的实根,所以
,即 ,
解得 或 .
综上可知, 的取值范围是 .
22.（12分）设 .
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
解 由题意，不等式 对于一切实数 恒成立，等价于 对于一切实数 恒成立.
所以 ,解得 .
故实数 的取值范围为 .
（2）解关于 的不等式 .
解 不等式 ,
即 .
当 ,即 时，不等式的解集为 ；
当 ,即 时，不等式的解集为 ；
当 ,即 时，不等式的解集为 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .(共23张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
通过基本不等式求最值是求取值范围问题的一种重要方法，也是基本不等式的重要应用之一.因为变式较多，题型灵活，因此也是难点所在.本篇将带领同学们一起学习基本不等式求最值的几种常用方法.
首先把常见的求最值问题分为一元和二元，一元指的是单个变量求最值，二元指的是两个变量求最值.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】“一元”最值问题
例1（1） 当 时，函数 的最小值为( )
B
A. B. C. D.4
[解析] 令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选B.
（2）已知 ，求 的最大值.
解 因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最大值为 .
题后反思 （1）此类型题属于一元求最值问题，在求最值时，如果分子分母中都含有变量 ，则需进行分离变量.在分离变量的过程中可以借助换元法.
（2）对于这种一元求最值的配凑法，应用的基本原理就是“和定积最大，积定和最小”，因此，如果要求积的最大值就需要凑出和为定值，要求和的最小值就要凑出积的定值.
跟踪训练1（1） 函数 的最小值为___.
8
[解析] 因为 ，令 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
因为 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为8.故答案为8.
（2）已知 ，求 的最小值.
解 因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时,等号成立，
所以 的最小值为9.
【题型二】“二元”最值问题
角度1 二元配凑法
例2 已知 , ，满足 ，若不等式 恒成立，则实
数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 , ，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时,等号成立.
又 恒成立，所以 .故选C.
角度2 乘“1”法
例3 已知 , ，且 ，则 的最小值是___.
8
[解析] 因为 , , ,所以
，
当且仅当 ，即 , 时，取等号.故答案为8.
题后反思 乘“1”法适用于已知一个式子为定值，求另一个式子的最小值.
［注意］①当题目中的前面有系数时也不影响此方法的使用；
②当定值不是1时，两式相乘时要再乘以该定值的倒数；
③当题目中的有线性运算时需通过配凑法；
④当题目中给出某个等量关系，而没有直接给出定值时，需要通过化简得到.
跟踪训练2（1） 已知 , ， 求 的最小值.
解 由题意得， ， , ，
则
.
当且仅当 ，即 , 时，等号成立，所以 的最小值为8.
（2）若正数 ， ，满足 ，求 的最小值.
解 因为 , , ,所以
，
当且仅当 ，
即 ， 时，等号成立 .
角度3 消元法
例4 已知正数 , 满足 ， 的取值范围为________.
[解析] 由 , 为正数， 可得， ， ，所以
，当且仅当 ,即 时，等号成立.故答
案为 .
题后反思 二元求最值，只要题目中给出等量关系都可以通过消元法进行化简，但有时利用消元法消元之后还要通过配凑求最值.
角度4 因式分解——配凑法
例5 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_____；
的最小值是_ ____.
[解析] 由正实数 , 满足 ，得 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立.
又 ，所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立.
故答案为 ； .
角度5 解不等式法
例6 设 ， 为实数，若 ，则 的最大值为_ ___； 的最
小值为_ _.
[解析] 因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 .
因为 ，所以 ，又 ，则
，
所以 ,所以 ，当且仅当 时，等号成立，故
的最小值为 .
故答案为 ； .
题后反思 题目中同时出现 ， 或 时，可通过化简变为“一元”二次不等式进行求解.如例6中，将 看成是“一元”.
跟踪训练3（1） 设 , , ，则 的最大值为( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] 因为 , , ，所以 ，所以 ，
故
，
当且仅当 ，即 时,等号成立，
故 的最大值为 .
（2）已知 , , ,求 的取值范围.
解 因为 , , ,
所以 , ，
， ， .故 的取值范围为 .(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
在解决一元二次不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法等解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
例1 [2023徐州月考] 使得不等式 对 恒成立的一个充分不必要
条件是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由不等式 对 恒成立，得 ，即 ，
解得 ，
从选项可知 是 的充分不必要条件，故选A.
题后反思 （1）如图①，一元二次不等式 在 上恒成立
一元二次不等式 的解集为 二次函数
的图象恒在 轴上方
（2）如图②，一元二次不等式 在 上恒成立 一元二
次不等式 的解集为 二次函数
的图象恒在 轴下方
跟踪训练1 已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值
范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .故选D.
【题型二】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
例2 若不等式 在 时恒成立，则实数 的最大值为( )
B
A.0 B.2 C. D.3
[解析] 不等式 在 时恒成立，即不等式
在 时恒成立.因为 ，当
且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，所以实数 的最大值为2.故
选B.
题后反思 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.
跟踪训练2 [2023青岛期中] 已知关于 的不等式 的解集为
，设 , ， ，则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意，知 在 , 上恒成立，
所以 可得 .故选B.
【题型三】给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
例3 若不等式 对任意 成立，则 的取值范围为
( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得不等式 对任意 成立，
所以
即 解得 或 .故选A.
题后反思 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.
跟踪训练3 已知 ，不等式 恒成立，则 的取值
范围为_ ________________.
[解析] ，不等式
恒成立，
即 ，不等式 恒成立，
所以 解得 或 .故答案为 .
【题型四】一元二次不等式在实数集上的有解问题
例4 当 时，关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围为
_ ___________.
[解析] 令 ，则由二次函数的图象知，若不等式 一定有解，则 或 ，解得 .
题后反思 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决.
跟踪训练4 若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围
为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] ①当 时，不等式化为 ，解得 ，符合题意；
②当 时，二次函数 的图象开口向上，
只需 ，即 ；
③当 时，二次函数 的图象开口向下，
则必存在实数 ，使得 成立.
综上所述,实数 的取值范围为 .故选C.(共27张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 不等式的性质及应用
1.不等式的性质常用来比较大小、判断命题真假和证明不等式,常结合特殊值法进行判断.
2.掌握不等式的性质,重点提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.
【典例1】（1） （多选题）下列说法正确的是( )
BD
A.若 ,则 B.若 , ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则
[解析] 对于A,令 , ,满足 ,但 ,故A错误;
对于B,因为 , ,
所以 , ,
所以 ,即 ,故B正确;
对于C,令 , , , ,满足 , ,但 ,故C错误;
对于D,因为 , ,
所以 , ,
所以 ,即 ,故D正确.
故选 .
（2）已知 , 都是实数,则 _ __ .（填“ ”“ ”或“ ”）
[解析] 因为 , 都是实数,
且 ,
所以 .
规律方法 不等式性质的应用方法
（1）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
（2）不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项.
跟踪训练1 已知 , 为正实数,试比较 与 的大小.
解 （方法一 作差法）
因为 , 为正实数,
所以 , , ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
所以 （当且仅当 时,等号成立）.
（方法二 作商法）
,
当且仅当 时,等号成立.
因为 , ,
所以 （当且仅当 时,等号成立）.
（方法三 平方后作差）
因为 ,
,
所以 .
因为 , ,所以 ,
又 , ,
所以 （当且仅当 时,等号成立）.
要点二 利用基本不等式求最值
1.基本不等式： 是每年高考的热点，主要考查命题判断、
不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本
不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧.另外，基本不
等式的和与积的转化在高考中也经常出现.
2.借助基本不等式的应用，提升数学抽象和数学运算素养.
【典例2】（1） 已知 ， ， ， ，则
的最小值为( )
C
A.8 B.10 C. D.
[解析] 因为 ， , , ，
所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ,即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故选C.
（2）已知 , 都是正实数,且 ,则 的最小值为_ ________.
[解析] 因为 , 都是正实数,且 ,即 ,
所以 ,
当且仅当 且 ,即 , 时,等号成立,
所以 的最小值为 .
规律方法 基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解
决数学问题和实际问题中应用广泛.
（1）基本不等式通常用来求最大（小）值，一般用 解“定
积求和，和最小”问题，用 解“定和求积，积最大”问题.
（2）在实际运用中，经常涉及函数 ，一定要注意适用的范围和
条件“一正、二定、三相等”.
跟踪训练2 已知 ，若 恒成立，则 的最大值为( )
C
A.4 B.5 C.24 D.25
[解析] 因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 ，
由题意可得 ，又 ，解得 ，故 的最大值为24.故选C.
要点三 一元二次不等式的解法
1.对于一元二次不等式（分式不等式）首先转化为标准形式（不等式右侧为0,二次项系数为正）,然后能分解因式的变为因式相乘的形式,最后得到不等式的解集.
2.借助不等式的解法,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
【典例3】（1） 不等式 的解集为( )
B
A. B. 或
C. D. 或
[解析] 由 ，可得 ， ，
则不等式 的解集为 或 ，故选B.
（2）已知 恒成立，则实数 的取值范围是_ ______.
[解析] 由题意可得 ，解得 .
题后反思 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.
跟踪训练3 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的解
集为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 和2是方程 的两个根，且 ，
所以 解得
所以不等式 可化为 ，即 ，
转化为 ，且 ，解得 ，
即不等式 的解集为 .故选B.
要点四 不等式在实际问题中的应用
1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最大（小）值,根据题设条件构建数学模型是关键.
2.利用不等式解决实际应用问题,提升数学建模和数学运算的核心素养.
【典例4】 某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买 吨,运费为6万元/次,一年的存
储费用为 万元.一年的总费用 （单位:万元）包含运费与存储费用.
（1）要使总费用不超过公司年预算260万元,求 的取值范围;
解 因为公司一年购买某种货物600吨,每次都购买 吨,
所以购买货物的次数为 ,
故 .
由题意得 , ,解得 ,
所以 的取值范围为 .
（2）要使总费用最小,求 的值.
解 由（1）可知, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以要使总费用最小,则 的值为30.
规律方法 利用不等式解决实际问题时注意以下两个方面:
（1）理清题目中涉及的变量,选择合适的变量设为 ,能用它表示其余变量;
（2）在实际问题中要注意变量 的取值范围.
跟踪训练4 某地区有200户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为3万元.
为了调整产业结构,当地政府决定动员部分农民从事水果加工,据估计,若能动员
户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有
望提高 ,而从事水果加工的农民平均每户年收入将为 万元.
（1）若动员 户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员
前从事水果种植的农民的总年收入,求 的取值范围;
解 由题意得 ,
解得 .
又因为 ,且 ,
所以 的取值范围为 , .
（2）在（1）的条件下,要使这200户农民中从事水果加工的农民的总年收入始终不高
于从事水果种植的农民的总年收入,求 的最大值.
解 从事水果加工的农民的总年收入为 万元,
从事水果种植的农民的总年收入为 万元,
由题意得 恒成立,其中 ,且 ,
上述不等式等价于 ,其中 ,且 .
又因为 ,
当且仅当 时,等号成立,
所以 ,即 的最大值为11.
