(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解 次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 次方根的概念
1. 的 次方根的定义
一般地，如果 ，那么称 为 的 次方根.
2. 的 次方根的表示
3.根式
式子 叫作根式，其中 叫作根指数， 叫作被开方数.
知识点2. 根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据.
（1）负数没有偶次方根.
（2）0的 次方根等于0，记作 .
（3） ，且 .
（4） （ 为大于1的奇数）.
（5） （ 为大于1的偶数）.
名师点睛
（1）对于 ，若 为奇数，则 ；若 为偶数，则 .
（2） 与 意义不同，比如 ， ，而 没
有意义，故 .
（3）当 时， ；当 且 为奇数时， ；当 且 为偶数时， 没有意义，对于 要注意运算次序.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】 次方根的概念
例1（1） 若81的平方根为 ， 的立方根为 ，则 _ ________.
7或
[解析] 81的平方根为 ，
即 或9， 的立方根为 ，即 ，所以 或7.
（2）若 有意义，求实数 的取值范围.
解 因为 有意义，所以 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
题后反思
（1）方根个数：正数的偶次方根有两个,且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
（2）根式符号：根式 的符号由根指数 的奇偶性及被开方数 的符号共同确定.
①当 为偶数，且 时， 为非负实数；
②当 为奇数时， 的符号与 的符号一致.
跟踪训练1（1） 已知 ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为7为奇数，故8的7次方根只有一个 .
（2）16的4次方根是____， 有意义，则 的取值范围是___.
[解析] 4是偶数，则偶次方根有两个，为 ；3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义.
【题型二】利用根式的性质化简或求值
例2 化简下列各式：
（1） ;
解 原式 .
（2） ;
解 原式 .
（3） .
解 原式
规律方法 正确区分 与
（1） 已暗含了 有意义，根据 的奇偶性可知 的范围；
（2） 中的 可以是全体实数， 的值取决于 的奇偶性.
跟踪训练2 若 ，求 的取值范围.
解 因为 ，所以 ，解得 .
故 的取值范围是 .
【题型三】有限制条件的根式的化简
例3（1） 若 ，则 ____.
[解析] 因为 ，
所以 ， ，
所以 .
（2）若 ，求 的值.
解 ，
当 时，原式 .
当 时，原式 .
故原式
规律方法 带条件根式的化简
（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
跟踪训练3 已知 ，化简 .
解 原式 .
因为 ，
所以 ， ，
所以原式 .(共15张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解有理数指数幂 且 ， ， 为整数，且 、实数指数幂 ，且 ， 含义.2.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 分数指数幂
分数指数幂的意义
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是： （ ， ， 均为正整
数）；
（2）规定正数的负分数指数幂的意义是： （ ， ， 均
为正整数）；
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
名师点睛
（1）分数指数幂 不可理解为 个 相乘，它是根式的一种写法.
（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.
知识点2. 有理数指数幂的运算性质
1.整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即：
；
；
.
2.拓展： .
3.一般地，当 且 是一个无理数时， 也是一个确定的实数.有理数指数幂
的运算性质同样适用于无理数指数幂.
名师点睛
指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】根式与分数指数幂的互化
例1 将下列根式化成分数指数幂的形式：
（1） ；
解 原式 .
（2） ;
解 原式 .
（3）
解 原式 .
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数 分数指数的分母，
被开方数（式）的指数 分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
跟踪训练1 将下列根式与分数指数幂进行互化.
（1） ；
解 .
（2） .
解 .
【题型二】有理数指数幂的运算
例2 计算或化简下列各题：
（1） ;
解 .
（2） .
解
.
规律方法 指数幂运算的常用技巧
跟踪训练2 化简求值：
（1） ；
解 原式 .
（2） ;
解 原式
.
（3） .
解 原式
.
【题型三】指数幂运算中的条件求值
例3 已知 ，求下列各式的值：
（1） ；
解 将 两边平方，得 ，故 .
（2） .
解 将 两边平方，得 ，故 .
规律方法 解决条件求值的思路
（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
跟踪训练3 已知 ，求值：
（1） ；
解 令 ，
两边平方得 ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2） .
解 令 ,则两边平方再开方得 ,
又 ，
所以 .(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解对数的概念.2.了解自然对数和常用对数.3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 对数的概念
1.对数的概念
如果 ，那么就称 是以 为底 的对数，记作 ，
其中， 叫作对数的底数， 叫作真数.
2.指数式与对数式的互化
3.常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，并把 简记为 .以无理数
为底数的对数称为自然对数，并把 简记为 .
名师点睛
（1）对数是由指数转化而来的，底数 、指数或对数 、幂或真数 的范围不变，
只是位置和名称发生了变换，即在对数式中， ，且 ， .
（2） 的读法：以 为底 的对数.
知识点2. 对数的性质
1.零和负数没有对数.
2. .
3. .
4. ；
5. .
名师点睛
（1） 的作用是把任意一个正实数转化为以 为底
的指数形式;
（2） 的作用是把任意一个实数转化为以 为底的对数形
式.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对数的概念
例1 求下列各式中 的取值范围：
（1） ；
解 由题意有 ，解得 ，故 的取值范围为 .
（2） ；
解 由题意有 即
所以 ,且 .
故 的取值范围为 ,且 .
（3） .
解 由题意有
即 故 的取值范围为 ，且 ，且 .
规律方法 对数成立的条件
在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于0，对数的底数大于0且不等于1.
跟踪训练1 在 中，实数 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 要使式子 有意义,
则 解得 故实数 的取值范围是 .故选B.
【题型二】指数式与对数式的互化
例2 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式.
（1） ；
解 由 ，
可得 .
（2） ；
解 由 ，
可得 .
（3） .
解 由 ，可得 .
规律方法 指数式与对数式互化的方法
（1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
（2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练2 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1） ；
解 由 ,可得 .
（2） ；
解 由 ,可得 .
（3） ;
解 由 ,可得 .
（4） ,且 .
解 由 ,且 ,可得 .
【题型三】利用对数式与指数式的关系求值
例3 求下列各式中 的值:
（1） ;
解 因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
（2） ;
解 因为 ,
所以 ,所以 .
（3） .
解 由题得 ,即 ,
所以 .
规律方法 利用指数式与对数式互化求值策略
（1）已知底数和指数，用指数式求幂；
（2）已知指数和幂，用根式求底数；
（3）已知底数和幂，用对数式求指数.
跟踪训练3 求下列各式中 的值:
（1） ;
解 因为 ,所以 ,所以 .
（2） ;
解 因为 ,所以 ,所以 ,所以 .
（3） ,且 ；
解 因为 ,所以 ,即 ,所以 .
（4） .
解 因为 ,所以 .
【题型四】利用对数的性质求值
例4（1） 设 ，则 的值等于( )
B
A.10 B.13 C.100 D.
[解析] 由 ，得 ，所以 ，故选B.
（2）若 ，则 的值等于____.
10
[解析] 由 ，得 ，所以 .
规律方法 利用对数性质求解两类问题的策略
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求
的值,先求 的值，再求
的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“ ”后再求解.
跟踪训练4 若本例（2）的条件改为“ ”，则 的值为_ ___.
[解析] 由 得 ，解得 .(共17张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握对数的运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.会用对数的运算性质进行一些简单的化简求值.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 对数的运算性质
，
，
，
其中 ， ， ， ， .
名师点睛
（1）对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即 ， ，
， .若去掉此条件，性质不一定成立，如
.
（2）两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.这个性质可
推广到若干个正因数的积：
，
即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对数的运算性质
例1 （多选题）若 ， ， ， ，则下列各式中正确的有( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 根据对数的运算性质 知选项 正确.
题后反思 熟练掌握对数的运算性质是解决此类问题的关键.运用运算性质时，要注意底数是相同的.
跟踪训练1（1） 下列各等式正确的为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 选项A，B显然错误.选项C中，当 ， 均为负数时，等式右边无意义.
（2）已知 ，且 ， ，则下列结论正确的是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] ，A，B，D错误，故选C.
【题型二】利用对数的运算性质化简、求值
例2 计算下列各式的值：
（1） ；
解 原式
.
（2） ；
解 原式
.
（3） .
解 原式 .
规律方法 对数运算求值的解题策略
（1）利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系.
（2）对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”：将同底对数的和（差）收成积（商）的对数.
跟踪训练2 求下列各式的值：
（1） ；
解 原式 .
（2） .
解 .
【题型三】对数运算性质的综合应用
例3 已知 ， ，试用 ， 表示下列各对数：
（1） ；
解 .
（2） ；
解 .
（3） ；
解 .
（4） .
解 .
题后反思 底数相同的对数式的转化
要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯， 在计算对数值时会经常用到.
跟踪训练3 已知 ， ，求 （用 ， 表示）.
解 因为 ，所以 ，
所以
.(共15张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 换底公式
，其中 ， , ， ， .这个公式称为对数的换
底公式.
特别地 .
拓展：
名师点睛
将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数，特别是将底数换成10或 ，即
将任意对数运算统一为常用对数或自然对数运算，就解决了任意底数的对数计算问题.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】换底公式的直接应用
例1（1） [2023南通期中] 的值为( )
C
A.3 B. C. D.
[解析] .故选C.
（2）设 ， ， 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ，故A错；
，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算性质，容易知，其显然不成立.故选B.
题后反思 换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.
跟踪训练1 （人A教材题）已知 , ，求下列各式的值：
（1） ；
解 .
（2） .
解 .
【题型二】有附加条件的对数式求值问题
例2 已知 ，且 ，求 的值.
解 因为 ，所以 , ，所以 , ,
又因为 ，即 ，
所以 ，所以 .
题后反思 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
跟踪训练2 若 ，求 的值.
解 由 可得 ,即 ，
所以 , ，
所以
，
所以 .
【题型三】对数的实际应用
例3 [2023临沂月考] 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算
而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家
欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若
， ，则 的值约为( )
A
A.0.431 B.0.430 C.0.429 D.2.322
[解析] 由 得 .故选A.
规律方法 解决对数应用题的一般步骤
跟踪训练3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的
，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的 ？（结果保留整数，
， ）
解 设经过 年，该物质的剩余量是原来的 .
由题意可知 ，
所以 .
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的 .(共26张PPT)
01
第4章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
B
A.1 B. C. D.
[解析] .故选B.
2.计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
3. ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] .故选B.
4.方程 的解是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，解得 .故选B.
5.镜片的厚度是由镜片的折射率决定的，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越
轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别
制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， .则这三种镜片中，制作出
最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )
C
A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学 C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学
[解析] ， .因为 ，所以 .
又因为 ， ，所以 .所以有 .
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，所以甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片
最薄.故选C.
6.[2023镇江检测] 若 ，则 ( )
A
A. B. C.1 D.
[解析] 因为 ，所以 ，所以
， ，
所以 .故选A.
7.设 , ,则 的值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据换底公式和对数运算性质得
.故选C.
8.若 ， 是方程 的两个根，则 的值等于( )
A
A.2 B. C.4 D.
[解析] 若 ， 是方程 的两个根，则
所以 故选A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 ，且 ，下列说法不正确的是( )
ACD
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
[解析] 若 ，则 , 无意义，A错误；
因为 ，且 为单调函数，所以 ，B正确；
因为 ，则 ，所以 或 ，C错误；
若 ，则 , 无意义，D错误.故选 .
10.下列计算正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] ，A错误； ，B正确；
，C正确；
，D正确.故选 .
11.设 , ,则下列四个等式中正确的是( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ,所以 .
因为 ,所以 .
,故选项A正确；
,故选项B错误；
,故选项C正确;
,故选项D正确.
故选 .
12.设 , , 都是正数，且 ，那么( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 由题意,设 ，则 , , .
对于选项A，由 ,可得 ,因为
,故A正确，B错误；
对于选项C， ,
,则 ,故C错误;
对于选项D， , ,则
,故D正确.故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知 , ，化简： _____（用分数指数幂表示）.
[解析] .
14.已知 ，用 表示 _ ____.
[解析] .
15.根据对数的定义易知 ,我们通常将对数的这一性质叫作对数恒等式,请你
以对数恒等式为依据写一个等式_ ________________________（其中含有无理数 , ）.
（答案不唯一）
16.已知 ，则 的最小值为____.
20
[解析] 因为 ,所以 且 , ,所以
，当且仅当 ,即 , 时等号成立,所以
的最小值为20.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）计算下列各式的值：
（1） ；
解 原式 .
（2） .
解 原式 .
18.（12分）
（1）已知 ， ，试用 ， 表示 ；
解 因为 ，
而 ， ，所以 .
（2）求值： .
解
.
19.（12分）
（1）用 ， ， 表示 ；
解 .
（2）已知正数 , , 满足 ， ，求 , , 的值.
解 由 ，得 ， .
因为 ，所以 ，
则 ， .
20.（12分）计算：
（1） ；
解 原式
（2）已知 , , 为正实数, , ,求 的值.
解 因为 , , 为正实数, ,设 ,
所以 , , .
因为 ,
所以 ,即 .
因为 ,即 ，所以 ,则 ,所以 ,即 .
21.（12分）
（1）求 的值;
解 原式
（2）在 , , 中,挑选一个补充到下面题目的空格
处,并作答.已知____, ,试用 , 表示 .
解 若选①, ,所以 .
又 ,所以 ，
则 .
若选②， ,所以 .
又 ，所以 ,
则 .
若选③, ,所以 .
又 ,所以 ，
则 .
22.（12分）已知 ,且 ,求下列代数式的值.
（1） ;
解 因为 ,且 ,
所以 .
（2） ;
解
.
（3） .
解
.(共19张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 根式的化简或求值
1.根式的化简与求值要使用根式的运算性质：
（1）当 为任意正整数时， ；
（2）当 为奇数时， ；
当 为偶数时，
2.通过解决根式的化简或求值问题，认真领会根式的运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养.
【典例1】 化简：
（1） ；
解 .
（2） ；
.
（3） .
解 由题意知 ，即 .
原式 .
题后反思 根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
跟踪训练1（1） 下列各式正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以 ， ， ，即选项A，B，D错误.故选C.
（2）若 ，则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 原式 .
因为 ，所以 ， ，所以原式 .故选C.
要点二 指数幂的运算
1.指数幂的运算包括三个方面的考查:（1）分式化为负指数幂;（2）根式化为分数指数幂;（3）指数幂的运算性质.化简的结果分母中不能含有负指数,也不能同时含有根式与分数指数.
2.掌握指数幂的运算,重点提升数学运算的核心素养.
【典例2】（1） 化成分数指数幂为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,故选B.
（2）计算： .
解 原式 .
规律方法 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧
（1）有括号先算括号里的.
（2）无括号先做指数运算.
（3）负指数幂化为正指数幂的倒数.
（4）底数是负数，先确定其符号；底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，先要化成假分数.要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质.
跟踪训练2（1） 计算 的值为( )
B
A. B. C. D.2
[解析] 原式 ，故选B.
（2）（多选题）已知 ,则下列结论正确的是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 对于选项A，因为 ,所以 ,故选项A
正确；对于选项B，因为 ,所以 ，故选项
B正确；对于选项C，因为 ,
故选项C错误；对于选项D,因为 ,所以
,所以 ，故选项D错误.故选
.
要点三 对数的运算
1.对数的运算从以下三个方面考查:（1）对数概念及对数恒等式;（2）对数的运算法则;（3）换底公式.
2.掌握对数的运算,重点提升数学运算的核心素养.
【典例3】 计算下列各式的值:
（1） ;
解 （方法一）原式 .
（方法二）原式 .
（2） .
解 原式
.
题后反思 对数的运算性质在解题中的两种应用
跟踪训练3 计算下列各式的值：
（1） ；
解
（2） .
解 原式 .
