(共23张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.会用集合语言和对应关系刻画函数.2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.3.会求简单函数的定义域与值域.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数的概念
概念 对应关系 对应关系相同，定义域相同的两个函数
就是同一个函数
定义域 值域 知识点2. 同一函数
如果两个函数对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.
名师点睛
两个注意点：
（1）函数的表示：与用哪个字母表示无关；
（2）解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的概念
例1（1） 下列各组函数是同一个函数的是( )
C
与 ；
与 ；
与 ；
与 .
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
[解析] 与 的对应关系不同，故不是同一
个函数.
与 的对应关系不同，故不是同一个函数.
与 都可化为 且定义域都是 ，故是同一个函数.
与 的定义域都是 ，对应关系也相同，故是
同一个函数.
由上可知是同一个函数的是③④.故选C.
（2）判断下列对应关系是不是从集合 到集合 的函数.
， ，对应关系 对集合 中的元素取绝对值 中元素；
,1,2， ， ，对应关系 ， ， ；
,1,2， ， ，对应关系 ， ， ；
, ,对应关系 对 中的元素取倒数 中的元素.
解 ①对于 中的元素0，在 的作用下得0，但0不属于 ，即 中的元素0在 中没有
元素与之对应，所以不是函数.
②对于 中的元素 ，在 的作用下与 中的1对应， 中的元素 ，在 的作用下
与 中的4对应，所以满足 中的任一元素与 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，
故是函数.
③对于 中的任一元素，在对应关系 的作用下， 中都有唯一的元素与之对应，如
对应1， 对应4，所以是函数.
④任意正整数取倒数都是有理数，所以是函数.
规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法
2.判断两个函数是否为同一个函数的注意点
（1）先求定义域，定义域不同则不是同一个函数;
（2）若定义域相同，再看对应关系是否相同.
跟踪训练1（1） 下列图形中不是函数图象的是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] A中至少存在一处如 ，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合 中至少有一个元素在集合 中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.
（2）下列各组函数表示同一个函数的是( )
C
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
[解析] 对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故
不是同一个函数；
对于B， 与 的定义域均为 ， ，
两个函数对应关系不同，故不是同一个函数；
对于C， 与 的定义域均为 ，函数对应关系相同，故是
同一个函数；
对于D， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一个
函数.故选C.
【题型二】函数的定义域
例2 求下列函数的定义域:
（1） ；
解 当且仅当 ，即 时，函数 有意义，
所以这个函数的定义域为 .
（2） ;
解 要使函数有意义，自变量 的取值必须满足
解得 且 ，
所以这个函数的定义域为 ,且 .
（3） ；
解 要使函数有意义，自变量 的取值必须满足 解得 ，
所以这个函数的定义域为 .
（4） .
解 要使函数有意义，自变量 的取值必须满足 解得 且 ，即
函数的定义域为 ，且 .
规律方法 求函数定义域的常用方法
（1）若 是分式，则应考虑使分母不为零.
（2）若 是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
（3）若 是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.
（4）若 是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
（5）若 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
跟踪训练2 函数 的定义域是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 要使函数 有意义，
的取值需满足
解得 且 ，
所以函数 的定义域是 .
【题型三】求函数的值域或函数值
例3 已知 , .求：
（1） , 的值;
解 因为 ,
所以 .
又 ,
所以 .
（2） 的值;
解 因为 ,
所以 .
（3） ;
解 .
（4）函数 的值域.
解 因为 ,所以函数 的值域为 .
规律方法 函数求值的方法
（1）已知 的表达式时，只需用 替换表达式中的 即得 的值.
（2）求 的值应遵循由里往外的原则.
跟踪训练3 求下列函数的值域:
（1） , ,0,1, ;
解 因为函数的定义域为 ,0,1, , ,
所以 , , , ,
所以函数 的值域为 .
（2） .
解 ,
因为 ,
所以 ,
所以 的值域为 .(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解函数图象的含义.2.会画函数图象，并结合图象求函数值域.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数的图象
将自变量的一个值 作为横坐标，相应的函数值 作为纵坐标，就得到坐标
平面上的一个点 .当自变量取遍函数定义域 中的每一个值时，就得到一系
列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为 ，即
， ，所有这些点组成的图形就是函数 的图象.
名师点睛
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
要检验一个图形是否为函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个 对应的点
作垂直于 轴的直线，在定义域内沿 轴平移此直线，若此直线与图形有唯一交点，
则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】画函数图象
例1 作出下列函数的图象：
（1） ；
解 如图，这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线 上.
（2） .
解 如图，这个函数的图象是抛物线 介于
之间的一部分.
规律方法 描点法作函数图象的三个关注点
（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
跟踪训练1 画出下列函数的图象：
（1） ；
解 表示一条射线，图象如图（1）.
（1）
（2） 或 .
解 或 是抛物线 去掉
之间的部分后剩余曲线，如图（2）.
（2）
【题型二】函数图象的应用
例2 画出函数 的图象，并根据图象回答下列问题.
（1）比较 ， ， 的大小；
解 函数 的定义域为 ，
列表：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
描点，连线，得函数图象如图.
根据图象，可得 .
（2）若 ，比较 与 的大小；
解 根据图象，容易发现当 时，有 .
（3）求函数 的值域.
解 根据图象，可以看出函数的图象是以 为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为 .
题后反思 常借助函数图象解决的问题
（1）比较函数值的大小.
（2）求函数的值域.
（3）解不等式或求参数范围.
跟踪训练2 函数 的图象如图所示，则：
（1） ___；
4
（2） ___；
3
（3） ___；
2
（4）若 ，则 与 的大小关系为
_ _____________.
【题型三】由函数图象求值域
例3 作出下列函数的图象并求出其值域.
（1） ， ；
解 列表：
0 2
1 5
当 时，图象是直线 的一部分，观察图象可知，其值域为 .
（2） ， ；
解 列表：
2 3 4 5 …
1 …
当 时，图象是反比例函数 图象的一部分，观察图象可知，其值域为
.
（3） ， .
解 列表：
0 1 2
0 0 3 8
画图象，图象是抛物线 在 之间的部分.由图可得函数的值域是
.
题后反思 数形结合法求函数值域要注意找函数的最高点与最低点，并注意定义域的影响.
跟踪训练3 已知函数 的图象如图所示，求：
（1）函数 的定义域；
解 观察函数 的图象，可以看出图象上所有点的横坐
标的取值范围是 或 ，所以定义域为
.
（2）函数 的值域；
解 由图知值域为 .
（3） 为何值时，只有唯一的 值与之对应？
解 由图知， 时，只有唯一的 值与之对应.(共29张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数三种表示方法
表示方法 定义 优点
列表法 用列表来表示两个变量之间函数关系的 方法 不必通过计算就可知自变量对
应的函数值
解析法 用等式来表示两个变量之间函数关系的 方法 便于研究函数性质
图象法 用图象来表示两个变量之间函数关系的 方法 直观而形象地表示出函数的变
化情况
名师点睛
并不是所有的函数都可以用解析法表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，
如 列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取
值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
知识点2. 分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫作分段函数.
名师点睛
（1）分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；
②分段函数的值域是各段函数值域的并集.
（2）绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的三种表示方法
例1 某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要 元.试用函数的三种表示法表示函数 .
解 这个函数的定义域是数集 .
用解析法可将函数 表示为 ， .
用列表法可将函数 表示为
1 2 3 4 5
5 10 15 20 25
用图象法可将函数 表示为
规律方法 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法要注意是否连线.
跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出数量 （台）与收款
数 （元）之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
（1）解 列表法：
1 2 3 4 5
3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
6 7 8 9 10
18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：
（3）解析法： ， ，2，3， ， .
【题型二】求函数的解析式
例2（1） 已知 ，则 _ _________________；
[解析] （方法一 换元法）令 ，则 ， ，代入原式有
，则 .
（方法二 配凑法）
，
因为 ，
所以 .
（2）已知函数 是一次函数，若 ，则 _________________；
或
[解析] 设 ，
则 .
又 ，所以 ，
即 解得 或
所以 或 .
（3）已知函数 对于任意的 都有 ，则 _ ______.
[解析] 在 中，以 代替 ，得 ，
联立可得 消去 可得 .
规律方法 求函数解析式的四种常用方法
（1）待定系数法：若已知 的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊
值确定相关的系数即可.
（2）换元法：设 ，解出 ，代入 ，求 的解析式即可.
（3）配凑法：对 的解析式进行配凑变形，使它能用 表示出来，再
用 代替两边所有的“ ”即可.
（4）方程组法：当同一个对应关系中出现两个变量之间互为相反数或互为倒数关
系时，可构造方程组求解.
跟踪训练2
（1）设函数 ，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 .故选D.
（2）已知函数 ,则函数 的解析式为 _ _______________.
,
[解析] 令 ,则 , ,
,
故 , .
【题型三】分段函数
角度1 分段函数求值
例3 已知函数
（1）求 ， ， 的值；
解 由 ， ， ，知 ，
,
.
因为 ,
所以 .
（2）若 ，求实数 的值.
解 当 时， ，
即 ，不合题意，舍去.
当 时， ，即 ,
所以 ，解得 或 .
因为 ， ，所以 符合题意.
当 时， ，即 ,符合题意.
综上可得，当 时， 或 .
规律方法 1.求分段函数的函数值的步骤
（1）先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
（2）再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现 的形式
时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量取值的步骤
（1）先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.
（2）再将函数值代入到不同的解析式中.
（3）通过解方程求出自变量的值.
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内.
跟踪训练3 已知函数 ，则方程 的解为___.
1
[解析] 当 时， ，
由于 ，所以 ,解得 .故答案为1.
角度2 分段函数的图象及应用
例4 已知函数 .
（1）用分段函数的形式表示 ；
解 当 时， ，
当 时，
，
则
（2）画出 的图象；
解 函数 的图象如图所示.
（3）写出函数 的值域.
解 由（2）知， 在 上的值域为 .
规律方法 分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意分段点、连接点处点的虚实，保证不重不漏.
跟踪训练4 已知函数 .
（1）将函数 写成分段函数的形式,并画出图象;
解 当 时, ;
当 时, .
综上,
其函数图象如图所示:
（2）试讨论直线 与 图象的交点个数.
解 由（1）中函数的图象可得,
当 或 时,直线 与 的图象有一个交点；
当 或 时,直线 与 的图象有两个交点；
当 时,直线 与 的图象有三个交点.(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 增函数与减函数的定义
前提 条 件 条件
图示
结论
名师点睛
（1）区间 是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性.
（2）单调性应注意“三特性”：①同区间性，即 ， ；②任意性，即不可以
用区间 上的特殊值代替；③有序性，即要规定 ， 的大小.
（3）“单调递增（递减）”“ ， 的大小”“ 与 的大小”知二求一.
知识点2. 函数的单调性与单调区间
如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么称函数 在区间
上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间.
名师点睛
（1）如果函数 存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.
（2）单调性是函数的局部性质，增（减）函数是函数的整体性质.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数单调性的判断或证明
例1 已知函数 .
（1）求 的定义域；
解 由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ，且 .
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义加以证明.
解 函数 在 上是减函数.
证明： ， ，设 ，
有 ,
由 ， ，得 ， ，
所以 ， ， .
又 ，所以 ，
于是 ，即 ，
因此，函数 在 上是减函数.
规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤
跟踪训练1 试用函数单调性的定义证明 在 上单调递减.
证明 设 ， 是区间 上的任意两个实数，且 ，则
,
因为 , ,所以 .
又因为 ,所以 .
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递减.
【题型二】求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
（1） ；
解 函数 的单调区间为 ， ，其在 ， 上都单
调递增.
（2）
解 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以 的单调区间
为 ， ，并且函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3） .
解 因为
根据解析式可作出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数 的单调区间为 ， .
在 上单调递增，在 上单调递减.
规律方法 求函数单调区间的方法
（1）利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解.
（2）利用函数的图象.
［提醒］若所求出函数的增区间或减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开.
跟踪训练2（1） 如图，根据图象说出函数在每一单调区间上单调递增还是单调递减.
解 函数在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增.
（2）写出 的单调区间.
解 先画出 的图象，如图.
则 的减区间为 ；增区间为 .
【题型三】函数单调性的简单应用
例3（1） 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围是_ _________.
[解析] 因为 的图象开口向下，要使 在 上单调递增，只需 ,即 ,
所以实数 的取值范围为 .
（2）已知函数 是 上的增函数，且 ，则实数 的取
值范围为_ _______.
[解析] 因为 在 上是增函数,且 ,
所以 ,即 ,
所以实数 的取值范围为 .
规律方法 函数单调性的应用
（1）函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
（2）若一个函数在区间 上具有单调性，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也具有单调性.
跟踪训练3 已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，
求实数 的取值范围.
解 由题意知
解得 ，即所求 的取值范围是 .(共18张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最大（小）值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最大（小）值的方法.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件
结论
几何 意义
名师点睛
（1）最大（小）值的几何意义：最高（低）点的纵坐标.
（2）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如 ， .
（3）一个函数至多有一个最大（小）值.
（4）研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用图象求函数的最大（小）值
例1 已知函数
（1）在直角坐标系内画出 的图象；
解 的图象如图所示.
（2）根据函数的图象写出函数的单调区间、最大值、最小值.
解 由图可知 的增区间为 ， ，减区间为 ，最大值为3，最小值为 .
规律方法 用图象法求函数最大（小）值的步骤
跟踪训练1 函数 , 的图象如图所示，则函
数的最大值、最小值分别为( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 由函数 的图象可知， ， .
【题型二】利用函数的单调性求函数的最值
例2 已知函数 .
（1）判断函数在区间 上的单调性，并用定义证明你的结论；
解 在 上单调递增，证明如下:任取 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增.
（2）求该函数在区间 上的最大值和最小值.
解 由（1）知 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，最大值为 .
规律方法 函数的最大（小）值与单调性的关系
（1）若函数 在区间 上单调递增（减），则 在区间 上的最小（大）值是 ，最大（小）值是 .
（2）若函数 在区间 上单调递增（减），在区间 上单调递减（增），则 在区间 上的最大（小）值是 ，最小（大）值是 与 中较小（大）的一个.
跟踪训练2 求函数 在 上的最大值和最小值.
解 任取 , ,且 ,
则
.
因为 ,所以 .当 时, ,即 .
所以 ,
即 在区间 上单调递减.
同理 在 上单调递增.
所以当 时， 取得最小值4；因为 , ,所以当 或
时， 取得最大值5.
【题型三】二次函数的最值问题
例3 已知函数 ，求 在 上的最大值.
解 函数 的图象开口向上，其对称轴为直线 .
当 ，即 时， 的最大值为 ；
当 ，即 时， 的最大值为 .
综上，当 时， 在 上的最大值为 ;当 时， 在 上的
最大值为1.
规律方法 二次函数“轴动区间定”问题的求解策略
“轴动区间定”型的问题，对于对称轴的位置变化情况必须进行分类讨论，其分类标准为对称轴与 轴交点的横坐标在给定区间内变化；对称轴与 轴交点的横坐标在给定区间外变化.若对称轴与 轴交点的横坐标只能在给定区间内变化，则只需考虑其与端点的距离.
跟踪训练3 求函数 在区间 上的最大值与最小值.
解 .
当 时,函数在 上单调递增,如图①.
故函数在 处取得最小值 ,
在 处取得最大值 .
当 时,结合函数图象（如图②）知,
函数在 处取得最小值 ,
在 处取得最大值 .
当 时,结合图象（如图③）知,
函数在 处取得最小值 ,
在 处取得最大值 .
当 时,函数在 上单调递减,如图④.
函数在 处取得最大值 ,在 处取得最小值 .
综上,当 时,函数在区间 上的最小值为 ,最大值为 ;
当 时,函数在区间 上的最小值为 ,最大值为 ;
当 时,函数在区间 上的最小值为 ,最大值为 ;
当 时,函数在区间 上的最小值为 ,最大值为 .(共20张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
奇函数 关于原点对称
名师点睛
（1）函数的奇偶性是函数的整体性质.
（2）判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称.
（3）若奇函数在原点处有意义，则必有 .
（4）既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即 ， ， 是关于原点对称的实数集.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解 函数的定义域为 ，关于原点对称.
又 ，
所以函数 是奇函数.
（2） ；
解 由 得 ,即 .
函数的定义域为 ,关于原点对称.
又 ,
故 既是奇函数又是偶函数.
（3）
解 函数 的定义域为 ，关于原点对称.
即
于是有 ,所以 为奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法：
（2）图象法：
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解 函数的定义域为 .又 ，所以
是奇函数.
（2） ；
解 的定义域是 .因为 ，所
以 是偶函数.
（3） .
解 函数 的定义域是 ，不关于原点对称，所以 是非奇
非偶函数.
【题型二】奇、偶函数的图象及应用
例2 已知奇函数 的定义域为 ,且在区间 上的
图象如图所示.
（1）画出 在区间 上的图象；
解 因为函数 是奇函数，所以 在 上的图
象关于原点对称.
由 在 上的图象可知它在 上的图象,如图
所示.
（2）写出使 的 的取值集合.
解 由图象知,使 的 的取值集合为 .
规律方法 巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 轴对称.
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
跟踪训练2 偶函数 在第一象限及坐标轴上的图象如图所示，请将图象补充完整，
并回答下列问题.
解 补全函数 的图象如下：
（1）请写出 和 的值；
解 由图象得， ， .
（2）请写出函数 的定义域和值域；
解 由图象得，函数 的定义域为 ，值域为 .
（3）若 ，求实数 的取值范围.
解 由图象得，当 时， ，即实数 的取值范围为 .
【题型三】利用函数的奇偶性求值
例3（1） 已知函数 是定义在 上的奇函数，
则 的值为( )
B
A. B. C.1 D.无法确定
[解析] 由题意可知 ，即 .又 是奇函数，故
，
所以 对任意 都成立，则 ，所以 ,
所以 .
（2）已知 ，若 ，则 ___.
7
[解析] 令 ，则 是奇函数，
所以 .又 ，
所以 .
又 ，所以 .
规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型及策略
（1）定义域含参数：奇、偶函数 的定义域为 ，根据定义域关于原点对称，利用 求参数.
（2）解析式含参数：根据 或 列式，比较系数即可求解.
跟踪训练3 已知定义在 上的偶函数 满足:当 时,
则 ___.
1
[解析] 由题意可知 ,
所以 .(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数的奇偶性
（1）奇函数的图象关于原点对称，反之，若函数的图象关于原点对称，则该函数
是奇函数.
偶函数的图象关于 轴对称，反之，若函数的图象关于 轴对称，则该函数是偶函数.
（2）若 为奇函数且在区间 上为增函数（减函数），则 在
上为增函数（减函数），即奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.
（3）若 为偶函数且在区间 上为增函数（减函数），则 在
上为减函数（增函数），即偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
名师点睛
若函数 与 的图象关于 轴对称，则 ， 不一定是偶函数，因为只有自身的图象关于 轴对称的函数才是偶函数.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用奇偶性与单调性比较大小
例1 已知 是偶函数， 在 上是增函数，则 ， ， 的大小
关系为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为 是偶函数，
所以 ， .
因为 在 上是增函数，所以 ，
所以 .故选D.
题后反思 比较大小的求解策略：看自变量是否在同一单调区间上
（1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
（2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
跟踪训练1 已知二次函数 的图象关于 轴对称，且在区间 上为增函数，
试确定 ， ， 之间的大小关系.
解 由二次函数 的图象关于 轴对称，可知函数 为偶函数，所以 .
又函数 在 上为增函数，
所以 ，
即 .
【题型二】利用奇偶性求函数解析式
例2（1） 函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，求 的解析式.
解 设 ，则 ，
所以 .
又函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
所以当 时， .
又当 时， ，
所以
（2）设 是偶函数， 是奇函数，且 ，求函数 ，
的解析式.
解 因为 是偶函数， 是奇函数，
所以 ， .
又 ，①
用 代替 得 ，
即 ，②
，得 ；
，得 .
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， 就应在哪个区间上设.
（2）要利用已知区间的解析式进行代入.
（3）利用 的奇偶性写出 .
跟踪训练2 若函数 的定义域为 ，且其图象关于原点对称，当 时，
,则当 时， _ __________________.
[解析] 函数 的定义域为 ，且其图象关于原点对称，所以该函数是奇函数.
当 时， ;
当 时， , .
又 为奇函数，
所以 .
所以当 时，
【题型三】利用单调性与奇偶性解不等式
例3 已知偶函数 在 上单调递减， .若 ，则 的取值
范围是_ ______.
[解析] 因为 ， ，
所以 .
因为 是偶函数，
所以 .
又 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
规律方法 利用函数单调性和奇偶性解不等式的策略
解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为 或 的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响.
跟踪训练3 已知函数 是定义在实数集上的偶函数，且在 上单调递增，
，则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数 在实数集上是偶函数，且 ，所以
.又函数 在 上单调递增，所以 ，解得
或 .故选C.(共35张PPT)
01
第5章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数 的定义域是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由 ，解得 或 ,
所以函数 的定义域为 .故选D.
2.已知集合 , ，下列对应关系是从 到 的函数的为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，在对应关系 中，当 时， ，则集合 中没有元
素与之对应，故不是从集合 到集合 的函数，故A错误;
对于B，在对应关系 中，当 时， ，则集合 中没有元素与
之对应，故不是从集合 到集合 的函数，故B错误;
对于C，在对应关系 中，当 时， ，则集合 中没有元素与
之对应，故不是从集合 到集合 的函数，故C错误;
对于D，在对应关系 中，因为 ，所以
，且则集合 中任意一个元素 在集合 中都有唯一的元素与
之对应，满足函数的定义，是从集合 到集合 的函数，故D正确.故选D.
3.[2023南京月考] 设偶函数 在区间 上单调递增，则( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 偶函数 在区间 上单调递增，则
， 即 .故选B.
4.若函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
( )
C
A. B. C.5 D.7
[解析] 因为 为奇函数，且当 时， ，
所以 .故选C.
5.某同学居住地距离学校 ，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐
店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 该同学从居住地出发，一开始距离学校 ，排除C,D.先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适.故选A.
6.已知定义在 上的函数 满足 ， 为偶函数且
，则 ( )
A
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为 为偶函数，所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的一个周期为4，
所以 .故选A.
7.若定义在 上的函数 为奇函数，且 在 上单调递增， ，则
的解集为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为 为 上的奇函数，又 ， 在 上单调递增，
所以 ，函数 在 上单调递增.
由 ，可得 或 或 .
由 ，可得 .
由 ，可得 .
所以 的解集为 .故选D.
8.定义在 上的函数 满足 .若 ，
且对 ， ，均有 ，则
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
令 得 ，
由 ，
令 , 得 ,所以 .
令 , 得 ，
即 , 或 .
当 时，代入①得 ，无解；
当 时，代入①得 ，
解得 （负根舍去），则 .
由 ，
令 得 ，解得 .
令 得 ，解得 .
令 得 ，解得 . ……以此类推，
由于 ，所以 .故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各组函数中，两个函数不是同一函数的有( )
BC
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
[解析] 对于A， 与 的定义域、对应法则均相同，故两个函数是同一
个函数，故选项A不满足题意；
对于B，因为 的定义域为 ，而函数 的定义域为
，故两个函数不是同一个函数，故选项B满足题意；
对于C，因为 ，而函数 ,对应法则不同，故两个函数
不是同一个函数，故选项C满足题意；
对于D，因为 与 的定义域、对应
法则均相同，故两个函数是同一个函数，故选项D不满足题意.故选 .
10.已知定义在区间 上的一个偶函数，它在 上的图象如图，则下列说法正
确的是( )
BC
A.这个函数有两个单调增区间 B.这个函数有三个单调减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值
[解析] 由题意作出该函数在 上的图象，如图所示.
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为 .故选 .
11.已知定义在 上的函数 满足：对任意的 , ，当 时，都有
.若不等式 恒成立，则实数 的可能取值为( )
ABC
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为对任意的 , ，当 时，都有 ，
所以 在 上单调递增.
又不等式 恒成立，即 ，解得 ，
故选 .
12.下列命题为真的是( )
AD
A.函数 在 上是增函数
B.函数 在 上是减函数
C.函数 的单调减区间是
D.已知 在 上是增函数，若 ，则有
[解析] 对于A,函数 在 上单调递增，所以函
数 在 上是增函数，A正确；
对于B，函数 在 ， 上单调递减，将其向左平移一个单位得到
在 ， 上均单调递减，但在 上不是减
函数，如 ，但 ，B错误；
对于C，函数 的定义域为 ，且函数 图象
的对称轴为 ，故函数 的单调减区间是 ，C错误；
对于D，若 ，则 ，又 在 上是增函数，所以 ，
同理 ， ，所以 ，D正确，故选
.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 的对应关系如下表，则 ____.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 1 3 5 10 15 20 25 30
25
[解析] 由题表得 ，
所以 .
14.已知奇函数 在区间 上单调递减，且在区间 上的最大值为3，最小值
为 ，则 ___.
3
[解析] 依题意可得 ， .
又 是奇函数，所以 .
15.已知函数 的定义域和值域均是 ，则实数 ___.
2
[解析] 因为二次函数 的图象是抛物线，
开口向上，对称轴是 ，
所以 在 上是减函数.
又 在 上的值域也是 ，
所以 即 解得 .
16.已知 为奇函数， .若 , , ，则
___.
4
[解析] 因为 为奇函数，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .令 ,则 .
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数 .
（1）用定义法判断函数在 上的单调性；
解 在 上单调递减，证明如下：任取 ，则
.
因为 , ，所以 ,即 ，
所以 在 上单调递减.
（2）求函数在 上的最值.
解 由（1）知 在 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，
， .
18.（12分）设 是偶函数，且当 时， .
（1）当 时，求 的解析式；
解 当 时， ， .
因为 是偶函数，所以 ，
所以当 时， .
（2）画出 的图象，并由图直接写出它的单调区间.
解 由（1）中函数的解析式，画出函数的图象，如图所示：
由图象得单调递减区间为 和 ；单调递增区间为
和 .
19.（12分）已知函数 ，且 ， .
（1）求函数 的解析式；
解 由 解得
所以 .
（2）根据定义证明函数 在 上单调递增.
证明 任取 ，
则
.
因为 ，所以 , , ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
20.（12分）已知函数 的表达式为 .
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
解 因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 解得 ，
所以实数 的值为3.
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
解 因为当 时，不等式 恒成立，
则
即 解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
21.（12分）已知二次函数 .
（1）若 ，求 在 上的最值；
解 当 时， ，
则 的图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， .
（2）若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
解 因为 的图象为开口向上，对称轴为 的抛物线，
又 在区间 上为减函数，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
22.（12分）已知函数 对任意实数 ， 恒有 ，当
时 ，且 .
（1）求 在区间 上的最小值；
解 根据题意， 的定义域为 ，关于原点对称.
又任意实数 ， 恒有 ，
取 ，则 ,所以 ，
取 ，则 ，
所以 对任意 恒成立，所以 为奇函数.
任取 , 且 ，
则 .
因为 ,所以 ,即 ，
故 为 上的减函数.
当 时，
，
故 在 上的最小值为 .
（2）若 对所有的 , 恒成立，求实数 的取
值范围.
解 因为 在 上是减函数，所以 .
因为 对所有 , 恒成立.
所以 对 恒成立,
即 对 恒成立.
令 ，
则 即
解得 或 .
所以实数 的取值范围为 .(共11张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
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题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 分段函数
分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，教材中，并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考.在定义域中，对于自变量 的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式（或对应关系）不同而已.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求分段函数的值、值域
例1 已知函数 则 ( )
B
A.6 B.3 C.2 D.
[解析] 由题意，在 中， ，故选B.
跟踪训练1 [2023盐城检测] 已知函数 ，则 ___.
7
[解析] , .故答案为7.
【题型二】解与分段函数有关的方程或不等式
例2 [2023广州月考] 已知函数 且 ，则 的值是( )
C
A.1 B. C.1或 D.2或1
[解析] 当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 .
所以 的值是1或 ，故选C.
跟踪训练2 已知 若 ，求实数 的取值
范围.
解 因为 ，所以 可化为 ，
即 ，所以 或 .
所以实数 的取值范围为 .
【题型三】分段函数的图象及其应用
例3 对于实数 ， ，定义符号 , 当 时， , ；当
时， , .函数 , 的最小值为___.
2
[解析] 由题意可知 作出函数的图象，如图所示：
由此可得：当 时， 有最小值2.故答案为2.
跟踪训练3 已知函数
（1）求 ， 的值；
解 根据分段函数解析式可得 ，
易知 ；
所以 ，
即 , .
（2）若 ，求实数 的值.
解 ①当 时， ，
解得 ，或 （舍去）.
②当 时， ，解得 （舍去）.
综上可得 .即实数 的值为 .(共25张PPT)
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题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 函数性质的综合应用
函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图象对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的地位.命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用函数的单调性、奇偶性比较大小
例1 设函数 是 上的偶函数，在 上是减函数，则 , ,
的大小关系为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 函数 是 上的偶函数，在 上是减函数，
可得 ，所以 , ，
由 ，可得 ，即有 ，故选C.
题后反思 抽象函数值比大小，若已知抽象函数的单调性，则需将自变量的取值转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决，否则需要先判断抽象函数的单调性，然后再进行大小的比较.
跟踪训练1 定义在 上的偶函数 满足：对任意的 , ，有
，则 ， ， 的大小关系为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 因为对任意的 , ，有 ，
所以 在 上单调递减.
又 为 上的偶函数，
所以 在 上单调递增，
且 ，
所以 ，
即 .故选D.
【题型二】利用奇函数、偶函数的图象解不等式
例2 已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意 , 且 ，有
，若 ，则 的解集为________________.
[解析] 已知 是定义在 上的奇函数，则 ，且
，
又对任意 , 且 ，都有 ，
不妨设 ，则 ，所以 ，
即 ，所以函数 在 上单调递增，则函数 在
上单调递增，又 ，所以 ，
则函数 的大致图象如图：
根据图象可得不等式 的解集为 .
故答案为 .
题后反思 解决此类问题的关键是熟知函数奇偶性的性质，利用奇偶性的性质画出大致图象，通过观察图象求解不等式.
跟踪训练2 设函数 为奇函数，且在 上单调递减，若 ，则
的解集为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为 为奇函数，且在 上单调递减，又 ，
所以可画出符合条件的奇函数 的大致图象，如图所示.
因为 ，所以 或 结合图象可知答案为C.
【题型三】利用函数的奇偶性、单调性解不等式
例3 已知 是定义在 上的偶函数，当 时，函数 单调递减，
且 ，则 的解集为________________.
[解析] 由题意知函数 在 上单调递增且为偶函数，由
得 ，
作出 的大致图象并向左平移一个单位长度，如图，
所以 ，或 .故
的解集为 .故答案为 .
题后反思 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.
跟踪训练3 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
函数 若 ，则实数 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 设 ，则 ，所以
.又 是 上的奇函数，所以
，
所以 .所以 的图象如图所示.
显然 在 上为增函数.
又 ，所以 ，即 ，所以 .
【题型四】利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值
例4 已知函数 , （其中 ）.
（1）设关于 的函数 当 时，在如图所示的坐标系中
画出函数 的图象，并写出 的最小值（无需过程）；
（2）求不等式 的解集.
解 （1）当 时， 的图象如图所示：
当 时，函数 取得最小值0.
（2） 因为 ，故 ，即 .
①当 时，可得 ；
②当 时，可得 ；
③当 时，可得 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
规律方法 函数值域（最值）的几种求解方法
（1）分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围，从而求出最值.
（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
（3）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
（5）换元法：对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.
跟踪训练4 已知函数 为奇函数，当 时， 若 在
上的最大值为 ，最小值为 ，求 .
解 画出 在 上的图象，如图，
由图知，当 时， .
又 ， ，
所以 .
又 为奇函数，所以当 时，
， .
所以 ， ，故 .
【题型五】根据函数的奇偶性、单调性求参数
例5 若 与 在区间 上都是减函数，则 的取值范围
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数 的图象开口向下，且以直线 为对称轴，若
在区间 上是减函数，则 ，解得 ； 的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到，若 在区间 上是减函数，则
，解得 .综上可得， 的取值范围是 .故选D.
题后反思 利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.
跟踪训练5 已知函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
解 设 ，则 ，
所以 .
又 为奇函数，
所以 .
于是 时， ，解得 .所以实数 的值为2.
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
解 要使 在 上单调递增，
结合 的图象（图略）知 所以 ，
故实数 的取值范围是 .
