(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出 ， ， ， ， 的图象.3.总结出幂函数的共性，理解幂函数图象的变化情况和性质，会加以应用.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 幂函数的概念和图象
1.一般地，把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.
2.在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 ， ， ， ，
的图象,如图所示.
知识点2. 幂函数的性质
（1）所有的幂函数图象都过点 ，在 上都有定义.
（2）若 ，则幂函数图象过点 ， ，且在第一象限内递增;当
时，图象上凸，当 时，图象下凸.
（3）若 ，则幂函数图象过点 ，并且在第一象限内单调递减，在第一
象限内，当 从 趋向于原点时，函数在 轴右方无限地逼近于 轴，当 趋于
时，图象在 轴上方无限逼近 轴.
（4）当 为奇数时，幂函数图象关于原点对称;当 为偶数时，幂函数图象关
于 轴对称.
（5）幂函数在第四象限无图象.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】幂函数的概念
例1 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上
是减函数，求 的值.
解 因为 为幂函数，所以 ，解得 或 .
当 时， ,图象关于 轴对称，且在 上是减函数，符合题意;当 时， ,在 上是增函数，不符合题意.综上， 的值为1.
规律方法 幂函数 ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 为自变量，指数 为常数，而幂值前面的系数必须为1，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.
跟踪训练1 已知幂函数 的图象关于原点对称，且与 轴、
轴均无交点，则 的值为_ ___.
[解析] 因为 为幂函数，
所以 ，解得 或 .
当 时，函数 的图象关于原点对称，且与 轴、 轴均无交点；
当 时，函数 的图象关于原点对称，与 轴、 轴有交点.
综上， 的值为 .故答案为 .
【题型二】幂函数的图象
例2（1） 若幂函数 的图象经过点 ，则 ___.
2
[解析] 由题意可得 解得 .故答案为2.
（2）若四个幂函数 ， ， ， 在
同一坐标系中的图象如图所示，则 ， ， ， 的大小关
系是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由幂函数的图象可知，在 上幂函数的指数越大，函数越接近 轴，由题图知 ，故选B.
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在 上，指数越大，幂函数图象越靠近 轴（简记为指大图低）;在 上，指数越大，幂函数图象越远离 轴（简记为指大图高）;
（2）依据图象确定幂指数 与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于 或 或 ）来判断.
跟踪训练2 已知 ，求 的取值范围.
解 在同一坐标系中作出幂函数 和 的图象（图略），可得 的取值范围为 .
【题型三】幂函数性质的运用
例3（1） 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：
; ; ; ; .
解 ①定义域 ，值域 ，奇函数，在 上单调递增.
②定义域 ，值域 ，偶函数，在 上单调递增，在
上单调递减.
③定义域 ，值域 ，非奇非偶函数，在 上单调递增.
④定义域 ，值域 ，奇函数，在 上单调递
减，在 上单调递减.
⑤定义域 ，值域 ，非奇非偶函数，在 上单调递减.
（2）比较大小：
① ， ;
解 因为 在 上单调递增， ，
所以 .
② ， ;
解 因为 是增函数， ，
所以 .
③ ， .
解 ，因为 在 上单调递增， ，
所以 ，即
题后反思
1.熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础.
2.底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.
跟踪训练3（1） 已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是
_ ___.
[解析] ，因为 为奇函数，所以 .故答案为 .
（2）将下列各组数用小于号从小到大排列：
① , , ;
解 因为 ,所以 在第一象限为增函数.
因为 , 且
所以 ，即 .
② , , ;
,
因为函数 在第一象限为减函数，且 ,
所以 ,即 .（Ⅰ）
, ,
因为函数 在第一象限为增函数，且 ,
所以 ，即 .（Ⅱ）
综合（Ⅰ）（Ⅱ）, .
③ , , , , .
, ,
因为函数 在第一象限为减函数,
所以 ,即 .
又因为 ,
所以 .(共30张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.能判断与证明指数函数或指数型复合函数的单调性，并能根据单调性解决相关问题.3.能用指数函数解决实际问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点 指数函数 的图象与性质
图象
性质 定义域 值域 过定点
性质 函数值的变化
单调性
对称性 在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如 ，且 ; ，
的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
续表
名师点睛
形如 的单调性的判断
（1）定义法，即“取值-作差-变形-定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性;
（2）利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】指数函数单调性的应用
角度1 比较大小
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1） ， ;
解 因为 ，所以函数 在定义域 上是减函数，
又 ，
所以 .
（2） ， ;
解 在同一平面直角坐标系中画出指数函数 与
的图象，如图所示.当 时，由图象观察可得
.
（3） ， .
解 因为 ，所以指数函数 与 均是减函数，且在区间 上函数 的图象在函数 的图象的下方，所以 .
又根据指数函数 的性质可得 ，所以 .
规律方法 比较幂的大小的常用方法
跟踪训练1 设 ， , ，则 ， ， 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ， ， ，
所以 .故选B.
角度2 解指数不等式
例2（1） 若 ，则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 函数 在 上为减函数，
若 ，则 ，解得 .故选A.
（2）已知 ，则 的取值范围是_ ________.
[解析] 因为 ，所以 在 上为增函数，
又 ，所以 ，所以 .故答案为 .
规律方法 解指数不等式应注意的问题
（1）形如 的不等式，借助于函数 的单调性求解，如果 的取值不确定，需分 与 两种情况讨论;
（2）形如 的不等式，注意将 转化为以 为底数的指数幂的形式，再借助于函数 的单调性求解.
跟踪训练2 如果 ，且 ，求 的取值范围.
解 ①当 时，因为 ，
所以 ，解得 .
②当 时，因为 ，
所以 ，解得 .
综上所述，当 时， ；
当 时， .
角度3 指数型函数的单调性
例3 函数 的单调递增区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，设 ， 为增函数，
求函数 的单调递增区间，等价为求函数 的单调递增
区间，
函数 的对称轴为 ，则函数 在 上是增
函数，
则 的单调递增区间是 ,故选C.
规律方法 函数 的单调性的处理技巧
当 时， 与 的单调性相同，当 时， 与 的单调性相反，即“同增异减”.
跟踪训练3 函数 的单调递增区间是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题得 ，设 ，
外层函数 在 上单调递减，内层函数 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，所以 的递增区间为 ,故选D.
【题型二】指数函数的实际应用
例4 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 ，若初始溶液含杂质 ，每过滤一次可使杂质含量减少 .
（1）写出杂质含量 与过滤次数 的函数关系式;
解 过滤1次后的杂质含量为 ；
过滤2次后的杂质含量为 ；
过滤3次后的杂质含量为 ；……
过滤 次后的杂质含量为 .
故 与 的函数关系式为 .
（2）过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
解 由（1）知，当 时， ，
当 时， ，
即过滤7次后的杂质含量是 ,过滤8次后的杂质含量是 ,至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.
规律方法 指数函数在实际问题中的应用
（1）与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.
（2）在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为 ，平均增长率为 ，则对于经过时间 后的总量 可以用 来表示，这是一个重要的函数模型.
跟踪训练4 有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增长 ，如果不砍伐，
从第六年到第十年，年增长 ，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？（不考虑最初的树苗成本，
只按成材的树木计算.参考数据： ， ， ）
解 设树林最初栽植量为 ，甲方案在10年后树木产量为
.
乙方案在10年后树木产量为
.
，因此，乙方案在十年内能获得更多的木材.
【题型三】指数型函数性质的综合运用
例5 [2023南通测试] 已知偶函数 .
（1）求实数 的值;
解 因为 为偶函数，定义域为 ，所以 在
定义域中恒成立，即 恒成立，即 ，解得 .当
时， ，由 ，可知此时函数 为
偶函数，符合题意.所以实数 的值为0.
（2）经过研究可知，函数 在区间 上单调递减，求满足条件
的实数 的取值范围.
解 由（1）知，偶函数 在区间 上单调递减，可得函数 在
区间 上单调递增，由 ，
得 解得 且 ，所以实数 的取值范围为
.
题后反思 解决指数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧.
（2）解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
（3）由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.
跟踪训练5 [2023苏州月考] 设 ， 为实数，已知定义在 上的函数
为奇函数，且其图象经过点 .
（1）求 的解析式;
解 因为 是定义在
上的奇函数，所以 ，可得 ，
由其图象经过点 ，可得 ，
联立①②，解得 ， ，
所以 ，此时 ，满足 是奇函
数，
所以 的解析式为 .
（2）用定义证明 为 上的增函数，并求 在 上的值域.
证明 设任意 ， 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
所以 ， ，所以 为 上的增函数.
因为 在 上单调递增， ， ，
所以 在 上的值域为 .(共31张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解对数函数的概念，会判断一个函数是否为对数函数.2.掌握对数函数的图象.3.会求对数函数的定义域和值域.4.会通过对数函数的单调性比较大小.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 对数函数的概念
一般地，函数 叫作对数函数，它的定义域是 .
名师点睛
1.判断一个函数是不是对数函数的依据：（1）形如 ;（2）底数 满足
，且 ;（3）真数为 ，而不是 的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知， 可化为 ，由指数函数的性质，可知在对数函数中，有 且 ， ， .
知识点2. 指数函数 的图象和性质
图象
性质 02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对数函数的概念
例1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
; ;
; ，且 ; .
解 因为①中真数不是自变量 ，
所以不是对数函数；
因为②中对数式后减1，所以不是对数函数；
因为③中 前的系数是2，而不是1，所以不是对数函数；
因为④中底数是自变量 ，而非常数 ，
所以不是对数函数.
⑤为对数函数.
规律方法 判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 下列函数是对数函数的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 形如 的函数为对数函数，只有D符合.故选D.
【题型二】对数函数的图象
例2（1） 已知 ，且 ，则函数 与 的图象只能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] （方法一）若 ，则函数 的图象下降且过点 ，而函数 的图象上升且过点 ，选项中所有图象均不符合.
若 ，则函数 的图象上升且过点 ，而函数 的图象下降且过点 ，只有B中图象符合.
（方法二）首先指数函数 的图象只可能在上半平面，函数 的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性， 与 的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合.
（2）如图为对数函数 的图象，已知 值取 ，
， ， ，则相应于 ， ， ， 的 的值依次是
( )
B
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
[解析] 因为当 时，图象上升；当 时，图象下降.又当 时， 越
大，图象向右越靠近 轴；当 时， 越小，图象向右越靠近 轴，观察图
象，所以 ， ， ， 的 的值依次是 ， ， ， .故选B.
（3）函数 的图象恒过点_ _______.
[解析] 因为函数 的图象恒过点 ，则令 得 ，此时 ，
所以函数 的图象恒过点 .
规律方法
1.对数函数图象过定点问题：求函数 的图象过的定点时，只需令 求出 ，即可得定点为 .
2.两个函数图象辨析的问题，一般是先假定一个函数图象是正确的，再去研究另一个函数图象是否正确，主要是依据函数的定义域、值域、过定点以及其性质与图象的关系.
3.对数函数图象在第一象限里的部分，按照逆时针方向顺序，底 越来越小.
跟踪训练2（1） 已知函数 , 是常数，其中
且 的大致图象如图所示，下列关于 ， 的表述正确
的是( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
[解析] 从题设中提供的图象可以看出 , , ，
故得 , ，故选D.
（2）（多选题）已知 ， ， ，若
，则 ， ， 的大小关系可能是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 当 时， ，故B
正确;
当 时，如图所示，此时 ，
故A正确;
当 时，如图所示，此时 ，
故C正确.
故选 .
【题型三】与对数函数有关的定义域、值域
例3（1） 函数 的定义域为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 函数 ，要使函数 有意义，则 解得
.
故函数 的定义域为 .故选B.
（2）[2022扬州期末] 函数 的定义域为______.
[解析] 要使函数有意义，则 解得 .故函数的定义域为 .
规律方法 求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
（1）分母不能为0.
（2）根指数为偶数时，被开方数非负.
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
跟踪训练3 函数 的定义域为______.
[解析] 要使函数有意义，则 解得 .
所以函数 的定义域为 .故答案为 .
例4 求下列函数的定义域和值域：
（1） ;
解 对于函数 ，要使其有意义，需真数大于0，
即 ，解得 .
设 ，
因为 ，故 的值域为 ，故 的值域为 .
（2） .
解 由题意可得 即
解得 .
故所求函数的定义域为 .设 ，由定义域可得 ，故 的值域为 .
规律方法 对数型复合函数的定义域和值域的求解方法
（1）形如 的复合函数，其定义域的限制条件为“真数大于0”;
（2）设 ，在定义域前提下，求出内层函数 的值域，再利用对数函数求解复合函数 的值域.
跟踪训练4 函数 的定义域为_______.
[解析] 要使 有意义，则 且 ,
所以 且 ，所以 的定义域为 .故答案为 .
【题型四】利用对数函数的性质比较对数值大小
例5 比较下列各组数中两个值的大小：
（1） ， ;
解 对数函数 在 上是增函数，所以 .
（2） ， ;
解 对数函数 在 上是减函数，所以 .
（3） 与 ;
解 （方法一）因为 ，
，
所以 .
（方法二）可以借助于图象来比较，
， ，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示，令
，可得 ，即 .
（4） 与 .
解 因为函数 与函数 在 上都是增函数，
所以 ， .
所以 .
规律方法
1.对数值比较大小的类型及方法：
2.如果底数不确定时，常对底数分 或 分别求解.
跟踪训练5（1） [2023南京期末] 已知 ， ， ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故选A.
（2）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ， ，
，所以 .故选A.(共22张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.结合对数函数的图象理解反函数的概念.3.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 反函数的概念
（1）当 ， 时， 称为 的反函数.反之， 也称
为 的反函数.一般地，如果函数 存在反函数，那么反函数记作
.
（2）互为反函数的两个函数，图象关于直线 对称.
名师点睛
（1） 的定义域为 的值域， 的值域为 的定义域.
（2）取 图象上任一点 ，则点 必在其反函数 的图象
上，即互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称.
（3）互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】反函数的概念及应用
例1（1） [2023南通测试] 已知 且 ， 且 ，
则函数 与 的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由 且 ， 且 ，可得 ，
则 ，则 ，则 .又 ，则 与 互
为反函数，则 与 单调性一致，且两图象关于直线 对称.故选B.
（2）函数 的反函数是_______________.
题后反思
1.由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量 恰好是指数函数的函数值 ，所以对数函数的定义域是 .
2.指数函数 和对数函数 的图象关于直线 对称.
跟踪训练1（1） 函数 的反函数是_ ___________.
（2）函数 与函数 的图象关于_ _____对称.
[解析] 因为函数 与函数 互为反函数，
所以 与函数 的图象关于 对称.故答案为 .
【题型二】对数函数的图象
例2（1） 若函数 的值域为 ，则函数 的图
象大致是( )
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由于 的值域为 ，所以 ，则 在 上单
调递增.又函数 的图象关于 轴对称，因此 的图象应大致为选
项B中的图象.
（2）若方程 在 上有解，则实数 的取值范围为_______.
[解析] 构造函数 和 ，
当 时不满足条件，
当 时，画出两个函数在 上的图象，如图，
可知，只需两图象在 上有交点即可，
则 ，即 ，则 .
又 ，
所以实数 的取值范围为 .
规律方法 对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练2 当 时，函数 恒有 ，则实数 的取值范围是
_ ______________.
[解析] 因为 ，即 或 ，
所以 或 ，
变形为 或 .
当 时，令 ，
则有 或 ，
所以 或 .
要使 时， .
如图所示，实数 的取值范围为 或 ，
即 .
【题型三】对数函数性质的综合应用
角度1 解对数不等式
例3（1） 已知 ，则实数 的取值范围为______.
[解析] 由 得 .
①当 时，有 ，此时无解.
②当 时，有 ，
从而 .
所以实数 的取值范围是 .
（2）已知 ，则 的取值范围为_ _______.
[解析] 因为函数 在 上为减函数，
所以由 ，得 解得 ，
即 的取值范围是 .
规律方法 对数不等式的三种类型及解法
（1）形如 的不等式，借助函数 的单调性求解，如果 的取值不确定，需分 与 两种情况进行讨论.
（2）形如 的不等式，应将 化为以 为底数的对数的形式，再借助函数 的单调性求解.
（3）形如 的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
跟踪训练3 已知 恒为正，则 的取值范围是_ ___________________.
[解析] 由题意知 .
当 时， 是增函数，所以 ，解得 ，所以 ；
当 时， 是减函数，
解得 .
所以 .
综上所述， 的取值范围是 或 .故答案为 或 .
角度2 对数函数单调性的研究
例4（1） 已知函数 ，则函数 的减区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得 或 ，所以函数的定义域为
,
设 ,则 ,
因为 时， 单调递减， 时， 单调递增，
又 是定义域上的减函数，所以函数 的单调递减区
间为 .故选C.
（2）已知函数 且 在 上单调递减，则 的取值
范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ，故函数 在 上单调递减，
函数 且 在 上单调递减，
故 在定义域上单调递增，故 .
考虑定义域： ，解得 .
综上所述, .所以 的取值范围是 .故选B.
规律方法 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
跟踪训练4 （多选题）若函数 在 内单调递增，则
实数 的取值可以为( )
BC
A.1 B. C. D.0
[解析] 由 ，解得 .
二次函数 的对称轴为 .
由复合函数单调性可得函数 的单调递增区间为 .
要使函数 在区间 内单调递增，则
，
即 解得 .故选 .(共37张PPT)
01
第6章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 ，不是幂函数；
函数 ，定义域是 ，是幂函数，但不是偶函数；函数
是幂函数，也是定义在 上的偶函数；
函数 是幂函数，但不是偶函数.故选C.
2.[2023苏州月考] 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 对于A，设 ，则 , , ，
故 在定义域内不是减函数，故A错误.
对于B，设 ，其定义域为 且 ，
故 为奇函数，而 为 上的增函数，故 为 上的减函数，
故B正确.
对于C，设 ，因为 ，故 在定义域内不是
减函数，故C错误.
对于D， 的定义域为 ，故该函数不是奇函数，故D错误.故选B.
3.已知 是函数 的反函数,则 的值为( )
A
A.0 B.1 C.10 D.100
[解析] 因为 是函数 的反函数,则 , .
故选A.
4.函数 的定义域为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得 解得
故函数 的定义域为 .
故选C.
5.函数 的图象是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 将 的图象向左平移一个单位长度，然后把位于 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，就得到 的图象.故选A.
6.设 ， ， ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 .因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 .因为函数 在 上单调递减，则 ，所以 .综上， .故选A.
7.[2023南京检测] 已知 是定义在 上的奇函数且满足 为偶函数，当
时， 且 .若 ，则
( )
B
A. B.8 C.4 D.
[解析] 因为 为 上的奇函数，所以 , .
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称.
所以 ，则 ，
即4为 的一个周期，则 .
又因为 ， ，
所以 解得 或 （舍），所以当 时，
，
所以 ，故选B.
8.若函数 在区间 ， 上恒有 ，则函数
的增区间为( )
D
A. ， B. ， C. D. ，
[解析] 因为 ，所以 .依题意，当
时， 恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 的增区间应为 的
减区间，且保证 .故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列式子中成立的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 根据对数函数的性质,当 时,对数函数为减函数,则 ,故A
错误;
根据幂函数的性质,当幂指数大于0时,幂函数在第一象限单调递增.因为 ,所以
,故B正确;
根据指数函数的性质,当 时,指数函数为减函数,所以 ,故C错误;
因为 , ,
所以 ,故D正确.
故选 .
10.[2023南通期末] 已知幂函数 的图象经过点 ，则( )
BCD
A. B. 的定义域为
C. 的值域为 D. 的解集为
[解析] 设 .因为 的图象经过点 ，
所以 ,解得 ,故 ，显然选项A不正确；
因为只有非负实数有算术平方根，所以 的定义域为 ，因此选项B正确；
因为 ，所以 ，因此选项C正确；
,即 ,所以 解得 ，所以选项D正确.故选 .
11.如果函数 在区间 上单调递减,那么( )
AD
A. 在 上单调递增且无最大值 B. 在 上单调递减且无最小值
C. 在定义域内是偶函数 D. 的图象关于直线 对称
[解析] 因为函数 在区间 上单调递减,
所以 在区间 上单调递减,
而 是减函数,
故 .
当 时, , 是增函数,而 ,
则 在 上单调递增且无最大值,
故选项A正确,选项B错误;
函数 的定义域为 ,不关于原点对称,所以 为
非奇非偶函数,故选项C错误;
因为 ,
所以 的图象关于直线 对称,
故选项D正确.
故选 .
12.已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 ，但又不与该
直线相交，则下列说法正确的是( )
AD
A. ，
B. 的值域为
C.若 ，则
D.若 ，且 ，则
[解析] 因为 过原点，所以 ，所以 ①，
又因为 时， ，所以 时，
，
由题知 的图象无限接近直线 ，则 ②，
由①②知 ， ，故A正确；
所以 .因为 ，所以
，故B错误；
的图象如下：
由图知， 在 上单调递减.因为 ，则 ，故C错误；
因为 ，所以 为偶函数.
又因为 ，且 ， 在 上单调递减， 在
上单调递增，所以 ，所以 ，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 满足以下三个条件： ，②在定义域 上是减函
数， ，请写出一个同时符合上述三个条件的函数 的解析
式_ ___________________________.
（答案不唯一）
[解析] 由 可考虑对数函数 .
因为 在定义域 上是减函数，所以 的底数 .
因为 ，所以 ，所以 .
14.若函数 与 且 的图象经过同
一个定点,则 的值是____.
25
[解析] 由题知,函数 的图象过定点 ,函数
图象过定点 ,
则 解得
所以 .
15.已知函数 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递增, ,则不等式
的解集为________.
[解析] 因为 是定义在 上的偶函数,且在 上单调递增, ,
所以 ,且 在区间 上单调递减.
求不等式 的解集等价于求不等式 的解集,
所以 ,即 ,解得 ,即不等式的解集为 .
16.已知函数 ，对于任意的 ，都存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围为__________.
[解析] 因为 ，故 ，
故 ，解得 ，即
.
因为 ，所以 ，
要想保证对于任意的 ，都存在 ，使得
成立，需要满足 ，
所以 解得 故 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知指数函数 ,且 .
（1）求 的值;
解 因为 ,所以 ,所以 .
（2）当 时,求 的值域.
解 令 , ,则 .
因为 ,
所以 .
当 时, ,
当 时, ,
故 的值域为 .
18.（12分）已知 .
（1）判断函数的奇偶性;
解 因为 ,所以 ,所以函数 的定义域
为 ,关于原点对称.
又 ,
所以函数 为奇函数.
（2）当 时,判断函数的单调性（不需写出过程）.
解 设 ,则 在 上单调递增.又
为增函数,则 在 上单调递增.因为函数 为奇函数,
所以 为 上的增函数.
19.（12分）已知幂函数 过点 .
（1）若 , ,判断 与 的大小关系,并证明;
（2）求函数 在区间 上的值域.
解 因为幂函数 过点 .
所以 , ,所以 .
.
证明:因为 ,
,
所以
,
又 , ,
所以 ,
即 .
（2） .
因为 ,则 ,所以 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
故函数 在区间 上的值域为 .
20.（12分）[2023盐城期末] 已知函数 ，且 为奇函数.
（1）求 的值；
解 因为函数 的定义域为
，且为奇函数，所以 ，
则 ，得 .
检验：当 时， ，定义域为 ，
对于任意实数 ， ，
所以 ，
所以当 时， 为奇函数.
（2）判断函数 的单调性并证明；
解 由（1）知 ， 在 上单调递减.
证明：设 ,则 .
因为 ，所以 ，即 ， ， ，所以 ，
所以函数 在定义域 上单调递减.
（3）解不等式： .
解 因为 在 上为奇函数，且 ，所以
.
又因为函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，所以不等式的解集为 .
21.（12分）已知函数 .
（1）若 为奇函数，求 的值；
解 因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 （ 舍去），此时 的定
义域为 ，关于原点对称.
（2）若 在区间 内有意义，求 的取值范围；
解 因为 在区间 内有意义，且 的定义域为 ，
所以 ，所以 ,即 的取值范围是 .
（3）在（1）的条件下，若 在区间 上的值域为 ，求区间 .
解 由（1）知， ，定义域为 ，
当 时， 单调递减，
所以 在定义域内是减函数.
因为 在区间 上的值域是 ，
所以 ， ，所以 ，
即所求区间 为 .
22.（12分）已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
解
.
因为 ，所以 ，则 ,
故函数 的值域为 .
（2）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
解 由 ，得 .
令 ，因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，
①当 时， ；
②当 时， 恒成立，即 .
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
综上，实数 的取值范围是 .(共26张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
1.形如 和 的复合函数形式
可设 为“内函数”， 和 为“外函数”.其中 一般是
一次函数、二次函数.
2.求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题时，均要考虑“内函数”和“外函数”的相关性质，尤其不要忽略定义域，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数单调性的应用
角度1 判断复合函数的单调性
例1（1） 函数 的单调递增区间为________.
[解析] 令 ，函数 在 上单调递
减，在 上单调递增.又 是 上的减函数，故 在
上单调递增，在 上单调递减.即函数 的单调递增区
间为 .
（2）函数 的单调递减区间为________.
[解析] 由 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 或 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在
上单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 .故答案为 .
规律方法 形如 和 的函数的单调性判断
首先要求定义域，在定义域内，当 时，原函数的单调性与 的单调性保持一致，当 时，原函数的单调性与 的单调性相反.
跟踪训练1（1） 函数 的单调递增区间是________.
[解析] 函数可以看作由 ，和 复合而成.
在 上单调递减， ，在 单调递减，对应 范围为
，根据复合函数同增异减，得函数 的单调递增区间
为 .故答案为 .
（2）已知点 在幂函数 的图象上，则函数
的单调递减区间是_ ______.
[解析] 由题意，得 ,则 ,
所以 ,得 ,
函数 化为 .
令 ,由 ,得 ,
因为外层函数 为定义域内的减函数，而内层函数 的对称
轴为 ,且在 上为增函数，
所以函数 的单调递减区间为 .故答案为 .
角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例2（1） 已知 在 上是减函数，则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知 ，所以 为减函数，而当 时， 是增
函数，所以当 时， 是减函数.由 ，得 在
上恒成立，所以 ，故实数 的取值范围是 .故选B.
（2）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围
是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 函数 在 上单调递增，
令 ，则 ，
因为 在定义域内单调递增，则由题意可得 在 上
单调递增，且 在 上恒成立，
所以可得 解得 所以 .故选D.
题后反思 已知复合函数的单调性求参数的取值范围要注意：
（1）函数的定义域.
（2）遵循“同增异减”原则.
（3）区别“在区间 上是增（减）函数”与“增（减）区间是 ”.
跟踪训练2 已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，函数 ，令 ，则 ， 在定义
域上为增函数，若函数 在 上是减函数，则 在
上为减函数，且 在 上恒成立，
则 解得 ，故实数 的取值范围为 .故选C.
【题型二】复合函数的值域与最值问题
例3（1） 函数 的值域为_ _______.
[解析] 函数 ，
所以函数 ，
即函数 的值域为 .
（2）函数 在 时的值域为______________.
[解析] 令 ，因为 ，所以 ，
则 .
又因为函数 在 上单调递减，
当 时函数有最小值 ，当 时函数有最大值8；
故函数 在 时的值域为 .故答案为
.
题后反思 求复合函数的最值
（1）首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数.
（2）然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值.
跟踪训练3（1） 已知函数 且 在 上的最大值与
最小值之和为 ，则 的值为( )
A
A. B. C.2 D.4
[解析] 由指数函数和对数函数的性质，可知当 时，函数 在 上单调递
增，则函数 在 上的最大值与最小值分别为 ， ，
当 时，函数 在 上单调递减，
则函数 在 上的最大值与最小值分别为 ， .
又因为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 （舍去）或 .故选A.
（2）函数 ,且 在 上的最大值为13，则实数
的值为_ _____.
3或
[解析] 令 ，则原函数可化为 ，对称轴为直线 ，
显然该函数在 上单调递增，
当 时，由 ，得 ， ，
解得 或 （舍）；
当 时，由 ，得 ， ，
解得 或 （舍），
综上可知，实数 的值为3或 .故答案为3或 .
【题型三】判断复合函数的奇偶性
例4（1） 已知函数 为偶函数，则函数 的值域为______.
[解析] 因为函数 是偶函数，
所以 ,所以 ,易得
,设 ,则 ,
当且仅当 即 时，等号成立，所以 ，所以函数 的值域为
. 故答案为 .
（2）判断函数 且 的奇偶性，并说明理由.
解 函数 为奇函数，理由如下：
由题意得， 恒成立，故 的定义域为 ，关于原点对称，
其中
，
故 是奇函数.
题后反思 本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零.
跟踪训练4（1） 已知函数 在 上的最大值与最小值分别
为 ， ，则 ___.
4
[解析] ，
令 ，定义域为 ，
所以 ，所以 是奇函数，
因为 在区间 上的最大值为 ，即 ，
在区间 上的最小值为 ，即 ，
因为 是奇函数，所以 ，则
，故答案为4.
（2）已知函数 是奇函数， .
①求 的值;
解 方法一 令 ，则 .所以 或 .
因为 是奇函数，所以其定义域关于原点对称，所以 ，所以
.
当 时， .则
，
所以 是奇函数，符合题意，所以 的值为 .
方法二 ，则 的定义域
或 ，
因为 是奇函数，故对 ， ，
即
，
所以 ，
即 ，解得 .所以 的值为 .
②对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围.
解 由①知， ，则
，
令 ， ，则 ，令 ，易知 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
又由 ，故 ，所以实数 的取值范围是 .(共26张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 幂函数、指数函数、对数函数的图象
1.图象的应用是考查的重点，也是我们解决函数问题的基本功.图象应用主要体现在两个方面：一是识图，通过图象识别函数的相关性质;二是用图，借助图象解决函数问题、方程问题以及不等式问题.
2.掌握函数的图象，重点提升直观想象和逻辑推理的核心素养.
【典例1】（1） 已知 是函数 的反函数，则 的图象是
( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数 的反函数为 ，故 ，于是
，此函数在 上为减函数，其图象过点 ，所以C中的
图象符合要求.故选C.
（2）在同一坐标系中，函数 与 且 的图象可能是
( )
C
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 当 时，直线 的斜率大于1，函数 且
在 上单调递增，选项C满足条件.
当 时，直线 的斜率大于0且小于1，函数 且
在 上单调递减，没有选项满足条件.
故选C.
规律方法 函数图象的画法
画法 应用范围 画法技巧
基本函数法 基本初等函数 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、
对数函数的有关知识，画出特殊点（线），直接根据
函数的图象特征作出图象
变换法 与基本初等函数 有关联的函数 弄清所给函数与基本初等函数的关系，恰当选择平
移、对称等变换方法，由基本初等函数图象变换得到
函数图象
描点法 未知函数或较复 杂的函数 列表、描点、连线
跟踪训练1（1） 已知幂函数 ， ， ，
在第一象限的图象如图所示，则( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 根据幂函数 ， ， ， 在第一象限的图象知，
，即 .
（2）已知 ， ，且 ， ，则函数 与函数
在同一坐标系中的图象可能是( )
B
A.&9& B.&10& C.&11& D.&12&
[解析] 由题得，
因为 ， ，且 ， ，
所以 ，
所以 与 单调性相同.故选B.
要点二 幂函数性质的综合应用
幂函数的问题多借助图象解决，多考查两个方面：一是幂函数图象的识别;二是借助图象解决单调性问题，渗透直观想象和逻辑推理的核心素养.
【典例2】 已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则
最小的正整数 ___.
3
[解析] 因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
因为 在 上单调递增，且在 上单调递减，所以 为偶函数，
所以最小的正整数 .
规律方法 幂函数 的图象与性质由于 值的不同而比较复杂，一般从两个方面
考查：
的正负： 时，图象过原点和 ，在第一象限的图象上升; 时，
图象不过原点，在第一象限的图象下降.反之也成立.
（2）比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，
则考虑幂函数;若指数不同底数相同，则考虑指数函数;若底数不同，指数也不同，则需
引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图
象进行判断.
跟踪训练2 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在区间
上单调递增.
（1）求 的值;
解 由于 的图象关于 轴对称，则 是偶函数，
即 是偶数.
由于 在 上单调递增，所以 ，
解得 .
又 ，故 可取1，2，3，
分别代入 得3，4，3，
故 .
（2）求满足不等式 的实数 的取值范围.
解 因为 是偶函数，且在区间 上单调递增，由 ，可得 ，即 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
要点三 指数型函数性质的综合应用
1.指数型函数多结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等.
2.掌握指数函数的图象和性质，重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养.
【典例3】 若函数 为奇函数.
（1）求 的值;
（2）求函数 的定义域;
（3）求函数 的值域;
（4）讨论函数 的单调性.
（2） 由（1）得 ，所以 ，即 ，
所以函数 的定义域为 .
（3） 因为 .又 ，所以 或 ，
所以 或 ，
即函数 的值域为 ， .
解 先将函数 化简为 .
（1） 由奇函数的定义，得 ，
即 ，所以 ，所以 .
（4）当 时，设 ，
则 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
， ，
所以 ，即 .
因此 在 上单调递增.
由于 是奇函数，从而 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递增，在 上单调递增.
规律方法 对于形如 或 的复合函数，要注意转化思想的应用，将问题转化为我们熟悉的指数函数、一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质.
跟踪训练3 已知函数 是指数函数.
（1）求 的解析式;
解 由题意得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）判断函数 的奇偶性，并证明;
证明 为奇函数，证明如下： ，定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以 是奇函数.
（3）解不等式 .
解 不等式 ，
即 ，所以 ，
故不等式的解集为 .
要点四 对数型函数性质的综合应用
1.对数型函数多结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等，在解决对数型函数的相关问题时，不要忘记对数的真数大于0.
2.掌握对数函数的图象和性质，重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养.
【典例4】 已知函数 .
（1）求函数 的解析式;
解 令 ，则 ，
由题意知 ，即 ，则 ，
所以 ，
故 .
（2）判断 的奇偶性;
解 由（1）知， ，定义域关于原点对称，
，
所以 为奇函数.
（3）解关于 的不等式 .
解 原不等式可化为 ，
即 ， ，
解得 或 ，
故原不等式的解集为 .
规律方法 以对数函数 的图象与性质为依托，以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时，不要忘记对数中真数应大于0的限制条件，以免扩大范围.
跟踪训练4 已知 ，且 .
（1）求函数 的定义域、值域;
解 由 得 ，
所以函数的定义域为 .
，
设 ，
因为 ，所以 .
令 ， .
当 时， ，值域为 .
当 时， ，
值域为 .
（2）若函数 的最小值为 ，求 的值.
解 由（1）知，当 时，函数有最小值，
所以 ，
解得 .
