(共26张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 任意角
（1）角的概念
角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
名师点睛
在初中时我们定义角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围
是 .
（2）角的表示
如图所示，角 可记为“ ”或“ ”或“ ”，始边： ，终边： ，顶
点： .
（3）角的分类
按照旋转方向，角可分为三类.
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
知识点2. 象限角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，
角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴
上，就认为这个角不属于任何一个象限.
名师点睛
（1）如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角;
（2）每一个象限都有正角和负角;
（3）无法比较象限角的大小.
知识点3. 终边相同的角
一般地，与角 终边相同的角的集合为 .
名师点睛
对终边相同的角的理解
（1） 为任意角，“ ”这一条件不能漏.
（2） 与 中间用“ ”连接， 可理解成 .
（3）相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】任意角的概念
例1 [2023苏州测试] 下列说法正确的个数是( )
①大于等于 ，小于等于 的角是锐角;
②钝角一定大于第一象限的角;
③第二象限的角一定大于第一象限的角;
④始边与终边重合的角的度数为 .
A
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①错， 和 角不是锐角；
②错， 角是第一象限的角，大于任何钝角；
③错， 角是第二象限角， 角是第一象限角，但是 ；
④错，始边与终边重合的角的度数是 .故选A.
规律方法 理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练1 如图，射线 先绕端点 逆时针方向旋转 到 处，再按顺时针方
向旋转 至 处，则 _ _____.
[解析] ， .
【题型二】终边相同的角
例2 写出与 角终边相同的角的集合，并求在 到 的范围内与 角
终边相同的角.
解 与 角终边相同的角的集合为
, }.
当 时，即 ,解得 .
又 ，所以 或 .
当 时， ;当 时， .
综上所述，与 角终边相同且在 到 的范围内的角为 角和 角.
规律方法 1.写出终边落在直线上的角的集合的步骤
（1）写出在 到 的范围内相应的角;
（2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
（3）根据条件能合并一定合并，使结果简洁.
2.终边相同的角常用的三个结论
（1）终边相同的角之间相差 的整数倍;
（2）终边在同一直线上的角之间相差 的整数倍;
（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍.
跟踪训练2（1） [2023南京月考] 与 角的终边相同的角的集合是( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 因为 ，所以 角与 角的终边相同，
所以与 角的终边相同的角的集合为 , .故选B.
（2）下列角的终边与 角的终边在同一直线上的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 与 角的终边在同一直线上的角可表示为 ， ，当
时， ，故选D.
【题型三】象限角及其应用
角度1 象限角与区域角的表示
例3（1） （多选题）下列四个角为第二象限角的是( )
AB
A. B. C. D.
（2）[2023无锡测试] 如图，阴影部分表示角 的终边所在的位置，试写出角 的集合.
解 ① ,
,
, .
② , .
规律方法 表示区域角的三个步骤
跟踪训练3 在平面直角坐标系中画出集合 ,
表示的角的范围.
解 集合 , 表示的角的范围如图所示（虚
线不包括边界，与 轴重合部分包括边界），
角度2 确定 及 所在的象限
例4 已知 是第二象限角：
（1）求角 所在的象限;
解 因为 是第二象限角,
所以 ，
所以 .
当 为偶数时，令 ,得
,
则 是第一象限角;
当 为奇数时，令 ,得
,
则 是第三象限角.
综上, 为第一或第三象限角.
（2）求角 所在的象限.
解 因为 是第二象限角,
所以 ，
所以 ，
所以角 的终边在第三或第四象限或在 轴的非正半轴上.
规律方法 1.由 所在象限，确定 所在象限的方法：
（1）由 的范围，求出 的范围;
（2）通过分类讨论把角写成 的形式，然后判断 所在象限.
2.由 所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断：
（1）画出区域：如图,将坐标系每个象限二等分，得到8个区域;
（2）标号：自 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一、二、三、四（如图所
示）;
（3）确定区域：找出与 所在象限标号一致的区域，即为所求.
跟踪训练4 若角 为第二象限角，则角 的终边可能在( )
B
A.第一，二，三象限 B.第一，二，四象限
C.第二，三，四象限 D.第一，三，四象限
[解析] 因为 是第二象限角，即 ， ，
则 ，
当 ， 时， 为第一象限角，
当 ， 时， ，为第二象限角，
当 ， 时， , ，为第四象限角.故选B.(共23张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 度量角的两种单位制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
知识点2. 弧度数的计算与互化
1.弧度数
（1）正角：正角的弧度数是正数.
（2）负角：负角的弧度数是负数.
（3）零角：零角的弧度数是0.
2.弧度数的计算
如果半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，那么，角 的弧度数的绝对值是
.
3.角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
名师点睛
1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“ ”可以略去不写，只写这个角对应
的弧度数即可，如角 可写成 .而用角度为单位表示角的大小时，
“度”或“ ”不可以省略.
2.（1）度数 弧度数，（2）弧度数 度数.
知识点3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为 ,弧长为 , 为其圆心角,则
度量制
扇形的弧长
扇形的面积
名师点睛
两者相比较，弧度制下的扇形的弧长公式和面积公式具有更为简单的形式，其记忆和应用更易操作，如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免计算过程或结果出错.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】角度与弧度的互化
例1 将下列角度数化为弧度数,弧度数化为角度数.
（1） ;
解 .
（2） ;
.
（3） ;
解 .
（4） .
解 .
规律方法 “ 弧度”是进行“弧度数”与“角度数”换算的关键,在此基础上可得
， .
跟踪训练1（1） 写出表中各角的度数或者弧度数.
角的度数 _ ___ _ ____ _ ____
角的弧度数 ___ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __
0
（2）已知 , , , , ,试比较 , , , , 的大小.
解 , ,
因为 ,
所以 .
【题型二】用弧度制表示角的集合
角度1 用弧度制表示终边相同的角、象限角
例2 将下列各角化为 的形式，并判断其是第几象限角.
（1） ;
解 ，是第一象限角.
（2） ;
解 ，是第一象限角.
（3） .
解 ，是第四象限角.
规律方法 本题应先将度数化为弧度数，然后再化为 的形式，最后根据象限角的概念判断其是第几象限角.
跟踪训练2 （多选题）[2023扬州月考] 下列给出的各角中，与 终边相同的角有
( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 与 终边相同的角的集合为 , ,
当 ， ， 时，可得 正确，故选 .
角度2 用弧度制表示区域角
例3 用弧度表示顶点在原点，始边重合于 轴的正
半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边
界，如图）.
解 （1）以 为终边的角为 ，以
为终边的角为 ，所以阴影部
分（不包括边界）内的角的集合为
, .
（2）终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集
合为 , .
规律方法 1.用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一.
2.在表示角的集合时，可以先写出 内的一个角（或写出 内的一个角），再加上 ， .
跟踪训练3 已知集合 , ，则角 的终边落在阴影处
（包括边界）的区域是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 当 时，该集合表示 内所有的角，为 表示的区域，由终边相
同的角的集合知，集合 , 终边落在阴影处（包括边界）
的区域是B.故选B.
【题型三】弧度制下扇形的弧长与面积公式
例4（1） 已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的弧长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为圆心角为 ，设扇形的弧长为 ，半径为 ,则 ，
因为扇形的周长是12，所以 ，解得 ，所以此扇形的弧长 .故选C.
（2）已知扇形的周长为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设扇形的半径为 ，
因为扇形的周长为 ，圆心角为 ，所以 ，解得 ，
所以此扇形的面积 ，故选A.
题后反思
一般地，在几何图形中研究的角，其范围是 .利用 ， ， ， 四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
（1）看清角的度量制，选用相应的公式;
（2）扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
跟踪训练4（1） [2023宿迁月考] 已知某扇形的面积为 ，若该扇形的半径 、
弧长 满足 ，则该扇形圆心角大小的弧度数是( )
D
A. B.5 C. D. 或5
[解析] 由题意可得
解得 ，或 可得 或5.故选D.
（2）已知一个扇形的周长为8,则当该扇形的面积取得最大值时,圆心角大小为( )
D
A. B. C. D.2
[解析] 设扇形弧长为 ，半径为 ，
则 ,扇形面积 ,当且仅当 时等号成立，
即 时面积 取最大值，此时扇形的圆心角 .故选D.(共22张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.熟记特殊角的三角函数值.3.掌握任意角的三角函数值在各个象限的符号.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 任意角的三角函数的定义
条件
定义 正弦 余弦 正切 三角函数
名师点睛
在任意角的三角函数的定义中，应该明确： 是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集.
知识点2. 三角函数值在各象限的符号
正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.
名师点睛
正弦函数值的符号取决于纵坐标 的符号，它在 轴上方为正，下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标 的符号，在 轴右侧为正，左侧为负;正切函数值的符号取决于横、纵坐标符号，同号为正，异号为负.
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用角 的终边上任意一点的坐标求三角函数值
例1（1） 已知角 的终边经过点 ，则 的值为( )
B
A.11 B.10 C.12 D.13
[解析] 因为角 的终边经过点 ，
则 ， ，
所以 ，故选B.
（2）（多选题）[2023盐城测试] 角 的终边上有一点 ，则
( )
CD
A. B. C. D.
[解析] .
当 时， ，
， ，
.
当 时， ，
， ，
.故选 .
规律方法 由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
（1）
（2）当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的
辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
跟踪训练1（1） 已知角 的终边经过点 ，且 ， ，
则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ， ，
所以 的终边在第二象限或 轴非负半轴.则 解得 .故选A.
（2）已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 ____.
[解析] 因为 的终边与单位圆的交点为 ，
所以 ，即 .
又 ，所以 .
所以 ， ，
故 .
【题型二】求特殊角的三角函数值
例2 利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
解 如图所示， 的终边与单位圆的交点为 ，过点 作 轴于点 ，在
中， ， ，则 ， ，则 .
所以 ， ，
.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标，然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值.
跟踪训练2 对于表中的角 ，计算 ， ， 的值，并填写下表.
0
0 _ __ 1 _ __ ___
___ _ __ _ _ ___ _ ___ _ ____ _ ___
___ _ __ _ ___ 不存在 _ ____ _ ____ 0
_ ___ _ ___ 0
_ ____ _ ___ ___ _ _ _ __ ___
_ __ _ ___ 不存在 _ ____ _ ____ ___
0
1
0
0
0
1
0
【题型三】三角函数值在各象限的符号
例3（1） [2023连云港测试] 给出下列函数值： ; ; ，
其中符号为负的个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为 ，
，
，则 ，所以其中符号为负的个数为1.故选B.
（2）[2023徐州月考] 若 ，且 ，则角 是( )
C
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 由 知 与 异号，所以 的终边在第二或第三象限.
由 知 与 异号，所以 的终边在第三或第四象限.
综上可知， 的终边在第三象限，即 为第三象限角.故选C.
规律方法 正弦、余弦函数值的正负规律
跟踪训练3（1） 已知点 是第三象限的点，则 的终边位于( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为点 在第三象限，
所以 ，所以 的终边位于第四象限.故选D.
（2）三个数 , , 中，值为
负数的个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为 ， ， ，所以
；
因为 ， ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
故 、 ， 中，值为负
数的个数有1个.故选B.(共24张PPT)
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要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.借助单位圆了解三角函数线的意义.2.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 单位圆和有向线段
（1）取 ,即选取角 终边与单位圆（圆心在原点、半径等于单位长度的圆）
的交点为 ,则 , .
（2）规定了方向（即规定了起点和终点）的线段叫有向线段.
类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段 在有向直线 上
或与有向直线 平行,根据有向线段 与有向直线 的方向相同或相反,分别把它的长度
添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为 .
知识点2. 三角函数线
已知角 的终边位置（图中圆为单位圆），则角 的三条三角函数线如图所示,
有向线段 ， , 分别叫作角 正弦线、余弦线、正切线，则 ，
， .
名师点睛
三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角 的终边或其反向延长线的交点.
知识点3. 三角函数的定义域
三角函数 定义域
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】作三角函数线
例1 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边.
（1） ;
解 ，作直线 交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终
边.
（2） ;
解 ，作直线 交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终边.
（3） .
解 ，作直线 交单位圆的切线 于点 ，直线
交单位圆于 , 两点，则射线 , 即为角 的终边.
规律方法 对于（1），设角 的终边与单位圆交于 ，则 , ，所以要作出满足 的角的终边，只要在单位圆上找出横坐标为 的点 ,则 即为角 的终边;对于（2）（3），可采用同样的方法处理.
跟踪训练1 分别作出 和 的正弦线、余弦线和正切线.
解 ①在平面直角坐标系中作单位圆，如图1，以 轴为始边作 角，角的终边与单
位圆交于点 ，作 轴，垂足为 ，
图1
由单位圆与 轴正方向的交点 作 轴的垂线，与 的反向延长线交于点 ，则
， ， ，即 的正弦线为有向线段 ，余弦
线为有向线段 ，正切线为有向线段 .
②同理可作出 的正弦线、余弦线和正切线，如图2.
图2
，
，
，
即 的正弦线为有向线段 ，余弦线为有向线段 ，正切线为有向线段
.
【题型二】用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小.
（1） 与 ;
（2） 与 ;
（3） 与 .
.
.
.
解 如图所示，画出 与 的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得
， ， ，
又 ， ， ， ， ，
，
规律方法 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
（1）关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
（2）注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.
跟踪训练2 [2023徐州月考] ， ， 从小到大的顺序是______________
__________.
[解析] ，
， ，根据三角函数线可得 .
故答案为 .
【题型三】用三角函数线解不等式（组）
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边范围，并由此写出角 的集合.
（1） ;
解 作直线 交单位圆于 ， 两点，连接 ， ，则 与 围成的区域
（如图1阴影部分）即为角 的终边的范围.
故满足条件的角 的集合为 , .
（2） .
解 作直线 交单位圆于 ， 两点，连接 与 ，则 与 围成的区域（如图2阴影部分）即为角 的终边的范围.
故满足条件的角 的集合为 ， .
规律方法 1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
作出取等号的三角函数线
确定角的终边
在单位圆中确定满足条件的角的终边所在的区域
将图中的区域用不等式表示出来
2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式（组），然后借助三角函
数线解此不等式（组）即可得函数的定义域.
跟踪训练3（1） 在 内，使 成立的 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 在 内，画出 与 对应的三角函数线分别是 ， （图
略），满足在 内，使 即 ，所以所求 的范围是 ，
故选C.
（2）若 ，且 ， ，利用三角函数线，得到 的取值
范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 在单位圆内作三角函数线如图：
在 内， ， ， 分别为 , 的终边，
由正弦线可知，满足 的 的取值范围是 或
;
在 内， ， ， 分别为 , 的终边，
由余弦线可知，满足 的 的取值范围是 或 .
综上所述， 的取值范围是 ，故选D.(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 同角三角函数的基本关系
分类 关系式 文字表述
平方关系
商数 关系
名师点睛
1. 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，
前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦.
2.注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
对一切 恒成立，而 成立时， .
知识点2. 同角三角函数关系的变形
名师点睛
同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义
“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达式无关，如： ; 都成立.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用同角三角函数的基本关系求值
例1 已知 ，求 和 .
解 ，
因为 ，
所以 是第二或第三象限角，
当 是第二象限角时， ，
；
当 是第三象限角时， ，
.
规律方法 已知某些三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）已知 （或 ）求 常用以下方式求解
（2）已知 求 （或 ）常用以下方式求解
当角 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 分区
间（象限）讨论.
跟踪训练1（1） 已知 ， ，则 的值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，因为 ，所以 .
又 ，故 ，所以 .故选D.
（2）已知 ，且 是第三象限角，求 ， 的值.
解 由 ，得 .①
又 ，②
由①②得 ，即 .
因为 是第三象限角，所以 ， .
【题型二】利用同角三角函数的基本关系化简
例2 化简：
（1） ;
解 原式
.
（2） ;
解 原式
.
（3） .
解 原式
.
规律方法 三角函数式的化简过程中常用的方法
（1）化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
（2）对于含有根号的,常把根号下的式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 ,以降低函数次数,达到化简的目的.
跟踪训练2（1） 设 是第二象限角，则 ( )
D
A.1 B. C. D.
[解析] 因为 是第二象限角，所以 , ，
所以 .故选D.
（2）化简： .
解 原式
.
【题型三】一般恒等式的证明
例3 求证： .
证明 （方法一）右边
左边.
（方法二）左边
右边.
规律方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简;
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子;
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异;
（4）变更命题法，如要证明 （ , , , 均不为0），可证 或证
等;
（5）比较法，即设法证明“左边-右边 ”或“ ”.
跟踪训练3 证明： .
证明 因为左边
右边，
所以原等式成立.(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.会利用同角三角函数的基本关系式进行弦切互化求值.2.会利用同角三角函数的基本关系式对 型求值.3.会利用同角三角函数的基本关系式对条件恒等式证明.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 齐次式中弦化切的常用公式
,
.
知识点2. 完全平方公式在三角函数中的应用
，
.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】弦切互化求值
例1 已知 ，求
的值.
解 原式 .
规律方法 已知角 的正切求关于 , 的齐次式的方法
（1）已知 ，可以求 或 的值，将分
子、分母同时除以 或 ，化成关于 的式子，从而达到求值的目的.
（2）对于 的求值，可看成分母是1，利用
进行代替后，分子、分母同时除以 ，得到关于 的式
子，从而可以求值.
跟踪训练1（1） 已知 ，则 的值为( )
A
A. B.18 C. D.15
[解析]
，
代入 可算得原式的值为 .故选A.
（2）[2023宿迁月考] 若 ，则 的值为__.
[解析] 已知 ，
则 .故答案为 .
【题型二】 与 之间的关系
例2 （多选题）已知 ，且 ，则( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，两边同时平方得
，
即 ，所以 ，所以A错、B对；
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
所以
，
所以C错、D对.故选 .
规律方法 由 , , 三个式子之间的关系可以“知一
求二”,两个关系式 ，
,这两个式子是这类问题的常用等式.
跟踪训练2 已知 .
（1）求 的值;
解 由 ，两边平方得 ，
则 .
（2）若 ，求 的值.
解 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ， ，则 ，
即 .
【题型三】条件恒等式的证明
例3 若 ，求证： .
证明 因为 ，所以 .
左边
右边.
所以原等式成立.
题后反思
对于有条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符号、消元等.
跟踪训练3（1） 已知 ， .求证：
.
证明 因为 ， ，
所以 且 ，
左边
右边，得证.
（2）已知 ，求证： .
证明 由题意设 ， ，
则 ， .
由 ，即 ，得 .所以 ，
所以 .(共23张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.借助圆的对称性理解诱导公式一、二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 诱导公式一、二、三、四
1.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数值相等.
， ， .
2.诱导公式二
终边关系 图示
公式
3.诱导公式三
终边关系 图示
公式
4.诱导公式四
终边关系 图示
公式
名师点睛
巧记诱导公式
“函数名不变，符号看象限”.
“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;
“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号.如 ，若把 看成锐角，则 在第三象限，所以取负值，故 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用诱导公式求三角函数值
例1（1） _ _， ____;
[解析] ；
.
（2）计算： ___.
1
[解析] 原式
.
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
跟踪训练1（1） 的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，
然后运用诱导公式得到 ，又
，
故 .故选B.
（2）[2023连云港测试] 求下列三角函数的值 ， .
解 .
.
【题型二】利用诱导公式化简三角函数式
例2 化简下列各式：
（1） ;
解 原式
.
（2） .
解 原式
.
规律方法 三角函数式化简的常用方法
（1）合理转化：①将角化成 ， ， 的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 的三角函数.
（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
跟踪训练2 化简：
（1） ;
解
.
（2） .
解 原式
.
【题型三】给值（或式）求值问题
例3 已知 ，求 的值.
解 因为 ，
，
所以 .
规律方法 解决给值（或式）求值问题的策略
（1）解决给值（或式）求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
跟踪训练3（1） ，且 ，则 _______.
[解析] 因为 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
又 ，
则 ，故答案为 .
（2）已知 ，且 ，求 的值.
解 由题知 ，所以 ，
所以 .(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五、六的推导过程.2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 诱导公式五、六
名师点睛
1.名称:诱导公式五、六， 的正弦（余弦）函数值，分别转化为 的余弦
（正弦）函数值.
2.符号:函数值前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.
3.作用:利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
4.简记:“函数名改变，符号看象限”.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】利用诱导公式求值
例1
（1）已知 ,则 的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析]
.
（2）已知 ，则 的值是( )
C
A. B. C. D.
[解析]
，故选C.
规律方法 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”.
跟踪训练1 已知 ，求下列各式的值：
（1） ;
解 .
（2） .
解 .
【题型二】利用诱导公式证明恒等式
例2 求证： .
证明 左边
右边.
故原等式成立.
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
跟踪训练2 求证： .
证明 因为左边 右边，所以
等式成立.
【题型三】诱导公式的综合应用
例3 [2023泰州月考] 已知 ，且 是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横
线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求 , 的值;
解 因为 ，所以 为第三象限或第四象限角；
若选③， , ；
若选④， , .
（2）化简求值： .
解 原式 .
规律方法 用诱导公式化简求值的方法
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.
（2）对于 和 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.
跟踪训练3 [2023淮安检测] 若 为第二象限角，且 ，则
的值是( )
B
A.4 B. C. D.
[解析] 由 ，知 ，因为 为第二象限角，所以
原式
.故选B.(共39张PPT)
01
第7章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023盐城月考] ( )
B
A. B. C. D.1
[解析] ，故选B.
2.若 是第二象限角，则点 在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 根据题意， 是第二象限角，则 , ，则点 在第二象限，故选B.
3.已知角 的终边经过点 ，则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边经过点 ，所以 ，
，
则 ，故选A.
4.[2021新高考Ⅰ] 若 ,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
5.函数 一个周
期的图象如图所示，则 ( )
C
A. B. C. D. 或
[解析] 根据函数
一个周期的
图象，可得 ， ，所以 .
再根据五点法作图可得 ，所以 ，
故选C.
6.将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象对应的
函数 关于点 , 对称,则 的最小值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象
对应的函数 的图象.
由于函数 的图象关于点 对称,
所以 ,
则 , ,
整理得 , .
因为 ,当 时, 取最小值为 .
故选B.
7.已知函数 的最小正周期为 ，则该函数图象( )
A
A.关于点 对称 B.关于直线 对称
C.关于点 对称 D.关于直线 对称
[解析] 由已知可得 ，所以 .因为 ，所以
点 是对称中心，直线 不是对称轴，所以A正确，B错误；
因为 ，所以点 不是对称中心，所以C错误；因为 ，所以直
线 不是对称轴，所以D错误.故选A.
8.某干燥塔的底面是半径为1的圆面 ，圆面有一个内接正方形 框架，在圆 的
劣弧 上有一点 ，现在从点 出发，安装 ， ， 三根热管，则三根热管的
长度和的最大值为( )
B
A.4 B. C. D.
[解析] 如图，设 ， ，
可得
，其中
， ，
所以 ，
由 的范围可以取到最大值.故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列等式正确的是( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] A,B，D由诱导公式可知正确；
，C不正确.
故选 .
10.关于函数 ，下列说法正确的是( )
ACD
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 的图象的对称中心为 ，
D. 在区间 上单调递增
[解析] 因为 的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，故
A正确；
要使 有意义，则 ，即 ，故B错误；
令 ，得 ，故C正确；
令 ，得 ，
取 ，可得 的一个单调递增区间为 .因为 ，故D正
确.
故选 .
11.关于函数 ，下列叙述正确的是( )
ACD
A.其图象关于直线 对称
B.其图象关于点 对称
C.其值域是
D.其图象可由 图象上所有点的横坐标变为原来的 得到
[解析] 对于A，令 , ，解得 , ，
故图象关于直线 对称，故A正确;
对于B，令 , ，解得 , ，
故 不是对称中心，故B错误;
对于C，函数 ，故C正确;
对于D，由三角函数图象变换知D正确，故选 .
12.若 ，则下列各式中正确的有( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 若 ，则 ， ，所以
，故A成立；
，故B成立；
，故C成立；
，故D不成立.
故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若 ，则 ____.
[解析] 因为 ，
所以 ，
则 ，故答案为 .
14.[2023连云港测试] 已知 ， ，则 ___0（填“ ”
或“ ”）.
[解析] 因为 ， ，
所以 在第三象限，即 ,
所以 ,
所以当 是偶数时， 在第二象限，
则 ， ， ，可得 ;
当 是奇数时， 在第四象限，
则 ， ， ，
可得 ，
综上， .故答案为 .
15.已知函数 的最小正周期是3，则 __， 的对称
中心为_ __________________.
，
[解析] 函数 的最小正周期是3，则 ，得 ，
所以函数 ，由 ， ，得 ，故
对称中心为 ， .
16.设函数 ,若将 图象向左平移 个单位长度后,
所得函数图象的对称轴与原函数图象的对称轴重合,则 _ _.
[解析] 将 图象向左平移 个单位长度后,
所得函数图象对应的函数解析式为 ,
其中函数 的对称轴为 , ,
的对称轴为 , .
又所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合,可得 ,
所以 , , .
因为 ,所以 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知角 的终边上一点 ，且 .
（1）计算 及 ；
解 因为角 的终边上一点 ，且 ，所以 ，所
以 .
（2）求 的值.
解 .
18.（12分）已知 且 .
（1）求 的集合 ;
解 因为 所以 是第四象限角，
所以 , .
（2）求角 终边所在的象限;
解 由（1）知 ,
所以 ,
当 时，有 ,所以 在第四象限；
当 时，有 ,所以 在第二象限；
当 时，有 ,所以 在第三象限；
所以 终边所在的象限是第二象限或第三象限或第四象限.
（3）试判断 的符号，并说明理由.
解 .分类讨论：当 的终边落在第二象限，此时
，
的终边落在第三象限，此时 ，
的终边落在第四象限，此时 .
综上所述， .
19.（12分）
（1）已知 ，且 ，求 的值；
解 因为 ，所以 ，
.
（2）如果 ，求 的值.
解 因为 ，所以 ，
.
20.（12分）用“五点法”作函数 ， ， 的图象
时，在列表过程中，列出了部分数据如表：
0
2
（1）先将表格补充完整，再写出函数 的解析式，并求 的最小正周期；
解
0
0 2 0 0
根据 ，解得 ，所以 .当 时， ，解得 ，
由于函数的最大值为2，故 .所以函数的解析式为 .
所以函数的最小正周期为 .
（2）若方程 在区间 上存在两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
解 由于 ,
当 时，整理得 .
所以 .
所以函数的值域为 ，
①当 时，函数的图象与直线 有一个交点.
②当 时，函数的图象与直线 有两个交点.
③当 时，函数的图象与直线 正好有两个交点.
④当 时，函数的图象与直线 有一个交点.
故 的取值范围是 .
21.（12分）在①图象关于点 对称;②图象关于直线 对称,从这两个条件中
任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数 ,___.
解 若选①,由题意知,函数 的图象关于点 对称,
所以 ,
则 ,
解得 .
又 ,则 ,
所以 .
若选②,由题意知, , ,即 , .又 ,
则 ,
所以 .
（1）当 时,求函数 的值域;
解 当 时, ,
故 ,
所以函数 的值域为 .
（2）若将 图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 （其中 ）,所得图象的解析式为 ，若函数 在区间 内有两个零点,求 的取值范围.
解 将 图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 ,可得图象
的解析式为 .
令 ,得 ,
则 .
由于 ,所以函数 的零点依次为 , , ;
由于函数 在区间 上有两个零点,
所以 解得 ,
故 的取值范围为 .
22.（12分）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图）.开启后，摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
（1）经过 分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已知 关于 的函数关系式满足
其中 ， ， ，求摩天轮转动一周的解析
式 ；
解 关于 的函数关系式为 ，
由 解得 ， .
又 时， ，解得 ，
所以 .又 ，所以 ,
所以摩天轮转动一周的解析式为
.
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
解 令 ，得 ，
即 ，
所以 ，
解得 ，或 ，
解得 ，或 .
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米.
（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过
程中，记两人距离地面的高度差为 米，求 的最大值.
解 由题意知，游客甲距离地面高度解析式为
，
游客乙距离地面高度解析式为
,
则
.
令 ，解得 ，此时 取得最大值，最大值为40.所以两
人距离地面的高度差 的最大值为40米.(共36张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 任意角的三角函数定义
1.任意角的三角函数的定义是本章的重要考点之一,多以选择、填空形式考查,牢记求解步骤是关键.
2.掌握任意角的三角函数的定义,重点提升数学运算素养.
【典例1】（1） [2023连云港月考] 已知角 的终边经过点 ，且
，则 的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数的定义可得 ，即 ,且
，解得 .故选B.
（2）已知角 的终边经过点 ，则 的值为_ _.
[解析] 因为角 的终边经过点 ，
所以 ， ，所以 ，故答案为 .
规律方法 利用定义求三角函数值的两种方法
（1）先由射线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，
求出相应的三角函数值.
（2）取角 的终边上任意一点 （原点除外），则对应的角 的正弦值
，余弦值 ，正切值 .当角 的终边上点的坐标
以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角 的终边上一点 ，且 ，
（1）求 的值;
解 由题可设 , ，
所以 （ 为原点），则 .
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 .
（2）求出 和 .
解 当 时， ， ， ；
当 时， ， ， .
要点二 三角函数式的化简、求值
1.三角函数式的化简、求值主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式,这是解
决三角函数问题的基本功,牢记公式并能对公式进行正用、逆用及变形用,多考查
, , 三者之间的相互转化以及弦化切问题.
2.掌握三角函数式的化简、求值,重点提升数学运算素养.
角度1 同角三角函数基本关系式的应用
【典例2】 已知 ，求：
（1） ;
（2） ;
（3） 的值.
（2）原式
.
（3）原式 .
解 因为 ，所以 .
（1） 原式 .
规律方法 同角三角函数基本关系式的应用方法
（1）利用 可以实现角 的正弦、余弦的转化，利用
可以实现角 弦切互化.
（2）关系式的逆用与变形应用： ， ，
， .
， 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 ， 的齐次
式或含有 ， 及 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，
利用“ ”代换后转化为“切”求解.
跟踪训练2 已知 是第三象限角，且 .
（1）求 的值;
解 因为 ，
所以 ，所以 ，
根据 是第三象限角，可知 ，所以 .
（2）求 的值.
解 由（1）求得， ，
故
解得
所以 ，
所以 的值为 .
角度2 诱导公式的应用
【典例3】 已知
.
（1）化简 ，并求 的值;
解 由题知
,
所以 .
（2）若 ，且 ，求 的值.
解 因为 , ,
由（1）可得 ,
所以 ，且 , ，
所以 ，
所以
，
故 .
规律方法 用诱导公式化简求值的方法
（1）对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成
， ， ， 的形式，再用“奇变偶不变，
符号看象限”来化简.
（2）解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析
条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整
体思想的应用.
跟踪训练3 已知 ， ，求 的值.
解 因为
，
所以 .
所以
.
要点三 三角函数的图象和性质
1.（1）三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究性
质时将 看作一个整体进行整体代换.
（2）函数 的图象:①“五点法”作图;②图象伸缩、平移变换.
2.借助三角函数的图象和性质,培养数学运算和直观想象的学科素养.
角度1 三角函数的图象和性质
【典例4】 已知函数
图象的一
个对称中心为 ，其图象上相邻两个最高
点间的距离为 .
（1）求函数 的解析式;
解 因为图象上相邻两个最高点间的距离为 ，所以 ，所以 .
因为函数图象的一个对称中心为 ，
所以 ,
所以 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以 .
（2）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数 在区间 内的图象，并写出函数 的减区间.
解 选用“五点法”画一个周期的图象，列表：
0
0 2 0 0
由图得减区间为 .
规律方法 1.三角函数的周期性：函数 和 的最小正
周期为 ， 的最小正周期为 .
2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 或 ，
而偶函数一般可化为 的形式.
3.求三角函数值域（最值）的方法
（1）利用 ， 的有界性.
（2）从 的形式逐步分析 的范围，根据正弦函数单
调性写出函数的值域.
（3）换元法：把 或 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最
值）问题（注：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范
围，否则会出现错误）.
4.求三角函数的单调区间
求形如 或 的函数的单调区间
可以通过解不等式方法去解答，即把 视为一个“整体”，分别与正弦函数
，余弦函数 的增（减）区间对应解出 ，即得所求的增（减）区间.
（1）在用“五点法”作函数 的图象时，列表如下：
0
0 2 0 0
完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在区间 上的图象;
跟踪训练4 已知函数 ， .
解
0
0 2 0 0
函数图象如图所示，
（2）求函数 的单调递增区间;
解 令 ， ，
得 ， .
所以函数 的单调递增区间： , .
（3）求函数 在区间 上的值域.
解 因为 ,所以 .
所以 .
当 ,即 时， ;
当 ，即 时， .
所以函数 在区间 上的值域为 .
角度2 三角函数的图象的变换
【典例5】 设 .
（1）求 在 上的最大值和最小值;
解 因为 ，
所以 .
当 时，函数 取得最小值，
;
当 时，函数 取得最大值，
.
（2）把 的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的减区间.
解 把 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
的图象，再把得到的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
所以 .
由 ， ，
得 ， .
所以函数 的单调递减区间为 ， .
规律方法 由函数 的图象通过变换得到函数
的图象的两种方法
跟踪训练5（1） 要得到函数 的图象，只需将 的图
象上所有的点( )
C
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 因为 ,所以只需
将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度即可，故选C.
（2）把函数 的图象上每一点的横坐标变为原
来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移 个单位长度，得到一个最小正周期为 的
奇函数 ，则 和 的值分别为( )
B
A.1， B.2， C. ， D. ，
[解析] 依题意得 平移变换得到 的函数解析式为
.
因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，
则 .
又因为函数 为奇函数，所以 ， ，
又 ，则 .
故选B.
