(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法求函数零点的步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 二分法概念
二分法：对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法.
名师点睛
二分法的求解原理是函数零点存在定理.
知识点2. 二分法求方程近似解的步骤
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】二分法概念的理解
例1 已知函数 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用
二分法求解的个数分别为( )
D
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
[解析] 图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
规律方法 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
跟踪训练1 通过下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 在A中，函数无零点；在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符
号相同，因此它们都不能用二分法来求零点；而在C中，函数图象是连续不断的，且
图象与 轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法
求其零点.
【题型二】用二分法求函数的零点
例2（1） 已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个
零点的初始区间可以为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 为连续函数且定义域为 ，
， ， ， ，
所以根据函数零点存在性定理，可得其零点的初始区间为 .故选C.
（2）求函数 的负零点的近似值（精确到 ）.
解 由于 , ,故函数 的零点在区间 内.用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数值（近似值）
1.25
由于 与 精确到0.1的近似值为 ,所以函数的一个近似负零
点可取 .
题后反思 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间 （一般采用估计值的方法完成）.
（2）取区间端点的平均数 ，计算 ，确定有解区间是 还是 ，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
跟踪训练2 [2023天津测试] 已知函数 的图象是条连续不断的曲线，有如下对
应值，则下列说法正确的是( )
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 11.45
B
A.函数 在区间 上有3个零点
B.函数 在区间 上至少有3个零点
C.函数 在区间 上至多有3个零点
D.函数 在区间 上无零点
[解析] 由表可知 ， ， .由函数零点存在定理，知函数 在区间 ， ， 上分别至少存在1个零点，所以函数 在区间 上至少有3个零点.虽然 ，但函数 在 上也有可能存在零点.故选B.
【题型三】用二分法求方程的近似解
例3 [2023宿迁月考] 用二分法求方程 在 内的近似解时，记
，若 ， ， ， ，据此判
断，方程的根应落在区间( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ，
即 ，故 ，
所以方程的根落在区间 上，且为 ，
对于 ，易知选项中的区间与 没有交集，故 不在 选项中的区间
上，故 错误；
对于B，显然满足题意，故B正确.故选B.
题后反思 利用二分法求方程的近似解的步骤
（1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间 ， .
（2）利用二分法求出满足要求的方程的解所在的区间 .
（3）区间 内满足要求的唯一近似值就是方程的解.
跟踪训练3（1） [2023南通测试] 若函数 在区间 内的一个零
点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
1 1.5 1.25 1.375
0.875
那么方程 的一个近似根（精确度为 ）可以为( )
B
A.1.3 B.1.32 C. D.1.25
[解析] 由 ， ，且 ，
所以方程 的一个近似根在 内，
结合选项，由 ，故 错误，B
正确.故选B.
（2）[2023杭州期末] 用二分法判断方程 在区间 内的根（精确
度 ）可以是( )
（参考数据： ， ）
B
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
[解析] 设 ，
所以 ， ，
因为 ，且 在 上单调递增，
所以 在 内有零点，
因为 ，
所以 在 内有零点，
所以方程 的根可以是0.635.故选B.(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 函数的零点
（1）概念：一般地，我们把使函数 的值为0的实数 称为函数
的零点.
（2）函数的零点、函数的图象与 轴的交点、对应方程根的关系.
名师点睛
零点不是点，而是一个实数.
知识点2. 函数零点存在定理
一般地，若函数 在区间 上的图象是一条不间断的曲线，且 ，则函数 在区间 上有零点.
名师点睛
与函数 存在零点的关系
（1）若函数 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
,则函数 一定有零点.
（2）由函数 在闭区间 上有零点不一定能推出 ,如图.
事实上，只有当函数图象通过零点（不是偶次零点）时，函数值才变号，即相邻两个
零点之间的函数值同号.
（3）若函数 在区间 上具有单调性，且 的图象是连续不断的一条曲线，则 函数 在 上只有一个零点.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求函数的零点
例1（1） [2023盐城期末] 函数 的零点是_ _.
[解析] 若 ，则 ;
若 ，则由 ，得 .
综上所述，函数的零点为 .故答案为 .
（2）若 是函数 的一个零点，则 的另一个零点为___.
1
[解析] 由 ，得 ，
则 ，
令 ，即 ，解得 ， ，
所以 的另一个零点是1.故答案为1.
题后反思 探究函数零点的两种求法
（1）代数法：求方程 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.
（2）几何法：与函数 的图象联系起来，图象与 轴的交点的横坐标即为函数的零点.
跟踪训练1（1） 函数 在区间 上的零点为____.
[解析] 函数 的零点即方程 的根，
解方程可得 ， ，
所以函数 在区间 上的零点为 .故答案为 .
（2）已知不等式 的解集为 ，则实数 _ ____;函数
的零点为_ _____.
，
[解析] 由已知得3，4是方程 的根，且 ，
所以，由根与系数的关系得 解得 ， ，
所以函数 的零点为方程 的根，
解方程 得 或 ，
所以函数 的零点为 或 .
故答案为 ； , .
【题型二】判断函数零点所在的区间
例2（1） 函数 的零点所在的大致区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ， ，且函数 在 上是
增函数，
所以 .
所以函数的零点所在的区间为 .故选C.
（2）根据表格内的数据，可以断定方程 的一个根所在区间是( )
0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
2 3 4 5 6
C
A. B. C. D.
[解析] 构造函数 ，由题表可得 ，
，
，
，
，
因为 ，所以方程的一个根所在区间为 ，故选C.
题后反思 确定函数 零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程 易解时，可先解方程，再看求得的根是否
落在给定区间上.
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连
续，再看是否有 .若 ，则函数 在区间 内必有
零点.
（3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来
判断.
跟踪训练2（1） [2023徐州期末] 函数 的零点所在的区间为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由于连续函数 满足 ， ，
且函数在区间 上单调递增，故函数 的零点所在的区间为
.
故选B.
（2）若方程 的实根在区间 上，则 等于( )
C
A. B.1 C. 或1 D.0
[解析] 由题意可知， ，则原方程即为 ，在同一平
面直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间 上，一个在区
间 上（由 ， 可得），所以 或 .
【题型三】函数零点个数问题
例3 判断函数 的零点个数.
解（方法一）因为 ,
,
所以函数 在 上有零点.
又 在区间 上为增函数,故 有
由图象可知 和 的图象有且只有一个公共点,即
有且只有一个零点.
且只有一个零点.
（方法二）令 , ,在同一平面直角坐标系中作出 与
的图象如图所示，
规律方法 判断函数零点个数的常用方法
（1）解方程 .
（2）直接作出函数 的图象,图象与 轴公共点的个数就是函数 零点的个数.
（3） ,得 ,在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 零点的个数.
（4）若证明一个函数的零点唯一,也可先由函数零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
跟踪训练3（1） [2023天津测试] 函数 的零点个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 要使函数有意义，则 ，即 ，解得 或 .
由 得 或 （不成立舍去）.
即 或 ，所以函数的零点个数为2.故选B.
（2）函数 零点的个数为___.
4
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数 ，
的图象，如图所示，
函数 的零点，即方程 的实数根，
， ，
结合图可知当 时，函数 和 的图象的交
点个数为4，
即 的零点有4个.故答案为4.(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长速度的比较
函数 性质
单调性 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数
图象变化 趋势 增长速度 越来越快 增长速 度不变 增长速度 越来越慢
增长速度 02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数模型的增长差异
例1（1） 给出4个函数 ， ， ， ，当 时，
其中增长速度最快的函数是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 在对数函数、一次函数、指数函数、幂函数中，随着 的增大，指数函数的增
长速度最快，
所以函数 ， ， ， ，当 时，其中增长速度
最快的函数是 .故选B.
（2）若三个变量 ， ， 随着变量 的变化情况如下表：
1 3 5 7 9 11
5 135 625 1 715 3 645 6 655
5 29 245 2 189 19 685 177 149
5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于 分别呈函数模型： ， ， 变化的变量
依次是( )
B
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，
对数函数的增长速度越来越慢， 随 的变化符合此规律；
指数函数的增长速度越来越快， 随 的变化符合此规律；
幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间， 随 的变化符合此规律.故选B.
规律方法 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
（1）根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
（2）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
跟踪训练1 函数 和 的图象如图所示.设两函数的图
象交于点 ， ，且 .
（1）请指出图中曲线 ， 分别对应的函数;
解 对应的函数为 ， 对应的函数为 .
（2）结合函数图象，判断 ， ， ， 的大小.
解 因为 ， ， ， ，
所以 , ，所以 , ，
从图象上可以看出，当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 .
又因为 ，所以 .
【题型二】函数模型的选取
例2（1） 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅
速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 与时间
的关系，可选用( )
D
A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数
[解析] 结合各类型函数图象的变化趋势可知，对数型函数符合题设条件，故选D.
（2）某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双.由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份为 ，产量为 给出三种函数模型： ， ， ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
解 由题意知，将产量随时间的变化抽象为 ， ， ，
这4个数据.
①设模拟函数为 时，
将 ， 两点的坐标代入函数式，
得 解得 所以有关系式 .把 代入
得 ,比实际产量多300双，在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 00
0双,这不符合生产实际.
②设模拟函数为 时，将 ， ， 三点的坐标代入函数式，得
解得
所以有关系式 .
由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，
产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴为直线 ），不合实际.
③设模拟函数为 时，
将 ， ， 三点的坐标代入函数式，
得 解得
所以有关系式 .
当把 代入得 .
比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势.
因此选用指数型函数 ，模拟比较接近客观实际.
题后反思 不同的函数增长模型的特点
对于函数模型选择的问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减;指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律;对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律;幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
跟踪训练2 某汽车制造商在2023年初公告：公司计划2023年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份 2020 2021 2022
产量（万） 8 18 30
如果我们分别将2020，2021，2022，2023年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型 ，指数型函数模型 .哪个模型能更好地反映该公司生产量 与年份 的关系？
解 建立生产量 与年份 的函数，可知函数图象必过点 ， ， .
（1）构造二次函数模型 ，将点的坐标代入，
可得 解得 则 ，
故 ，与计划误差为1.
（2）构造指数型函数模型 ，
将点的坐标代入可得
解得 则 ，
故 ，与计划误差为1.4.
由（1）（2）可得 能更好地反映该公司生产量 与年份 的关系.(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能根据实际需要构建函数模型解决实际问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点. 常用函数模型
常用函 数模型 （1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）指数函数模型
（4）对数函数模型
（5）幂函数模型
（6）分段函数
名师点睛
建立函数模型解决实际问题的基本过程
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】一次函数、二次函数、分段函数模型
例1 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100
元，已知总收入满足函数：
其中 是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数（用 表示）;
解 设每月产量为 台，则总成本为 .又 ，
所以
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入 总成
本 利润）
解 当 时， ，
所以当 时，有最大值12 500；
当 时， 单调递减，
.
所以当 时， 取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
题后反思 1.利用二次函数求最值的方法及注意点
（1）方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
（2）注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
2.应用分段函数时的三个注意点
（1）分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
（3）分段函数的最值求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
跟踪训练1 [2023连云港期末] 我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12 800元的价格购入一批风能发电机.经测算，每台发电机每年的发电收益约7 200元，已知每台发电机使用 年后的累计维修保养费用为 元，且满足关系式 （ , 为常数）.已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1 000元，第2年每台的累计维修保养费用为2 400元.设每台发电机使用 年后的总利润为 元.
（1）求 关于 的函数关系式 ;
解 由题意得
解得 所以 ，
所以每台发电机使用 年后的总利润（单位：元）为
，
即 .
（2）问每台发电机在第几年的年平均利润最大？（注：年平均利润 总利润 年数）
解 每台发电机使用 年后的年平均利润为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立（负值舍去），
故每台发电机在第8年的年平均利润最大，且为3 200元.
【题型二】指数型、对数型函数模型
例2 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度 （单位:瓦/平方米）
有关.在实际测量时,常用 （单位:分贝）来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 满
足关系式 （ 是常数）,其中 瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的
强度 瓦/平方米,它的强弱等级 分贝.
（1）已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路
10 90
求 和 的值;
解 将 瓦/平方米, 瓦/平方米代入 ,得
,
即 , .
（2）为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音
强度 的最大值.
解 由题意得 ,
即 ,
得 ,即 ,
即 .
故此时声音强度 的最大值为 瓦 平方米.
规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法
（1）指数型函数模型： .在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.
（2）对数型函数模型： .对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
（3）指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.
跟踪训练2 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆
飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空.近年来，得益于我国先进的运载火箭
技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想
状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其中 是喷流
相对速度， 是火箭（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总
和， 称为“总质比”，已知 型火箭的喷流相对速度为 .
（1）当总质比为800时，利用给出的参考数据求 型火箭的最大速度;
解 ，
所以当总质比为800时，A型火箭的最大速度约为 .
（2）经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的 ，若要使火箭的最大速度至少增加 ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
（参考数据： ， .）
解 设在材料更新和技术改进前总质比为 ，
则 ， ，
若要使火箭的最大速度至少增加 ，
所以 .
即 ， ，
所以 ，得 ,因为 ,所以 ，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.(共41张PPT)
01
第8章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数 则该函数的零点的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 或 .
综上，该函数的零点有3个.
2.函数 的零点所在区间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 为定义域为 的连续函数，
且函数 在定义域上单调递增，
其中 , ，根据零点存在性定理，
故函数 的零点所在区间为 .故选C.
3.[2023宿迁月考] 用二分法求方程 在区间 内的近似解时，记
，若 ， ， ， ，据此判
断，方程的根应落在区间( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 与 在 上单调递增，所以 在 上单
调递增.
因为 ， ，所以 在区间 上有唯一零点 ，
即 ，故 ，
所以方程 的根落在区间 上，且为 ，
对于 ，易知选项中的区间与 没有交集，
故 不在 选项中的区间上，故 错误；
对于B，显然满足题意，故B正确.故选B.
4.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太
空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，
要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起
来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减
少水中杂质 ，要使水中杂质减少到原来的 以下，则至少需要过滤的次数为
（参考数据： ）( )
D
A.12 B.14 C.16 D.18
[解析] 设过滤的次数为 ，原来水中杂质为1，
则 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值为18，则至少要过滤18次.故选D.
5.已知函数 若方程 至少有两个实数根，则实数
的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 方程 至少有两个实数根，等价于函数
的图象与直线 至少有两个不同的交点.作出直线 与函
数 的图象，如图所示.
根据图象可知，当 时，函数 的图象与直线
有两个不同的交点;
当 时，函数 的图象与直线 有一个交点；当 或 时，函数
的图象与直线 没有交点，所以 的取值范围是 .
6.现有一组数据：
0 2 4 6
1.01 1.11 1.99 10.03 81.96 729.36
则 , 的函数关系与下列哪类函数最接近( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据表格提供的数据可知,函数增长非常快,所以B选项最能反应 , 间的函数关系.
7.已知函数 , , 的零点分别为 , , ,则
, , 的大小顺序为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 令 ,
而 中的 ,
令 ,
所以 , , 的大小顺序为 ,
故选C.
8.若函数 （其中 , ）存在零点，则实数 的取值
范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由函数的解析式可知 .
因为指数函数 是增函数，在区间 上无零点，
所以函数 在区间 上存在零点，
由于 是增函数，
故当 时，有 ，
从而 ,即 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数 只有一个零点3,那么函数 的零点可以是
( )
AB
A. B.0 C. D.
[解析] 由函数 只有一个零点3,可得 且 ,
即 ,代入 得 .
由 ,得 或 .
故选 .
10.已知函数 的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
1 2 3 4 5 6
15.552 10.88
则函数 在下列哪些区间上一定存在零点( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 因为 , , , , ,
所以根据函数零点存在定理可知,在区间 , , 及 内一定存在零点,
故选 .
11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报
如图所示（横轴为投资时间，纵轴为每天的回报）.根据以上信息，若使回报最多，则
下列说法正确的是( )
ABC
A.投资3天以内（含3天），采用方案一 B.投资4天，不采用方案三
C.投资8天，采用方案二 D.投资12天，采用方案二
[解析] 若投资3天以内（含3天），因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一；
投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案；
投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为320；方案二的总回报为 ，故采用方案二；投资12天时，采用方案三.故选 .
12.已知函数 若方程 有四个不等实根 , , ,
.下列说法正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 因为 时， ，则函数
图象关于直线 对称，
作出函数 的图象，如图：
对于A，由题意可知方程 有四个不等实根 ,
, , ，
所以由 ，即 ，得 ，化简可得 ，
故A正确；
对于B，若方程 有四个不等实根，
即函数 的图象与直线 有四个不同的交点，
因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为函数 图象关于 对称，
所以 ，则 ，
但因 的值不确定，所以无法确定 的值，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，故D正确，故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数 与 在区间 上增速较慢的是_ _________.
[解析] 作出函数 与 图象：
故可得函数 与 在区间 上增速较慢的是 ，
故答案为 .
14.关于 的方程 的两根都小于1，则实数 的取值范围为_ _________.
[解析] 由题意可得判别式 ，两根之和 ， ，
即
即
解得 ，故答案为 .
15.已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围为
_ _______.
[解析] 因为 在区间 上有零点，
所以 在区间 上有解.
令 ，
则函数 ， 的值域为 ，
所以 ，
所以 .
16.已知函数 若函数 有3个零点,则 的
取值范围是_ ______.
[解析] 作出 的图象如图所示:
由题意， 有3个解,
即 有3个解,
即 与 的图象有3个交点,
由图可得 ,
即 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）[2023徐州测试] 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的零点；
解 当 时， .
令 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
所以 ，所以函数 的零点为 .
（2）若 有零点，求 的取值范围.
解 若 有零点，则方程 有解，
于是 ，
因为 ，所以 ，即 .
18.（12分）已知函数 ,且 为偶函数,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求 的解析式.
条件①:函数 在区间 上的最大值为5;
条件②:方程 有两根 , ,且 .
解 函数 ,则 .
因为 为偶函数,所以 ,
即 ,可得 ,
所以 ,图象开口向上,对称轴为直线 .
若选条件①,函数 在区间 上的最大值为5,
所以 ,
解得 ,
所以 的解析式为 .
若选条件②,方程 有两根 , ,且
由根与系数的关系可得 , ,
又 ,
所以 ,解得 ,
所以 的解析式为 .
19.（12分）某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验
系数（单位: ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好.元旦时在实验用小白鼠体
内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普
姆克系数为 ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为 ，治愈效果的普姆
克系数 （单位： ）与月份 （单位：月）的关系有两个函数模型
与 可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
解 函数 与 在 上都是增函数，
随着 的增加，函数 的值增加的越来越快，而函数
的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型
符合要求.
根据题意可知 时， ； 时， ， 解得
故该函数模型的解析式为 ， ， .
（2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份.
（参考数据： ， ）.
解 当 时， ，元旦治愈效果的普姆克系数是 ，
由 ，得 ，所以 .
因为 ，所以 ，
即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份.
20.（12分）已知函数 ,且 的图象经过点 , .
（1）求 的值.
解 因为函数 ,且 的图象经过点 , ,所以 ,所以 .
（2）求 在区间 上的最大值.
解 在 上单调递减,所以 在区间 , 上的最大值为
.
（3）若 ,求证: 在区间 上存在零点.
证明 .
因为 , ,
所以由函数零点存在定理知, 在区间 上存在零点.
21.（12分）已知函数 .
（1）若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围;
解 当 时, 恒成立,
则 对 恒成立,
而 ,
则 ,故 的取值范围为 .
（2）试讨论函数 零点的个数.
解 令 ,得
令
函数 的零点个数即 和 的图象的交
点个数,
在同一坐标系中作出函数的图象如下,
结合图象可知,
当 或 时, 有一个零点;
当 或 时, 有两个零点;
当 且 时, 有三个零点.
22.（12分）为减少人员聚集，某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显
示，当 中有 的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为
（单位：分钟）,则 而公交群体中的人均上班路
上时间不受 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？
解 依题意得,当 时， ，不符，
当 时， ，
若自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间，则
解得 （舍）或 ，
即当 时自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间.
（2）已知上班族 的人均上班路上时间计算公式为 ，
讨论 的单调性，并说明实际意义.
（注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时）
解 当 时，
;
当 时,
,
即
当 时，
单调递减，
则 ;
当 时，
，
在 上单调递减， ,
在 上单调递增.
综上，当 时, 单调递减，当 时, 单调递增.
说明该地上班族 中有小于 的人自驾时，人均上班路上时间随着 中自驾成员
的增加而减少；
当大于 的人自驾时，人均上班路上时间随着 中自驾成员的增加而增加；当自
驾人数等于 时，人均上班路上时间最少.(共14张PPT)
1
题型分析·能力素养提升
【课标要求】函数的零点从不同的角度将数与形、函数与方程有机地联系在一起.函数的零点概念的生成与函数零点存在定理的探究的学习过程中蕴含了从一般思维难度到特殊思维方式以及数形结合、等价转换的数学思想.
01
题型分析·能力素养提升
【题型一】根据函数零点情况求参数范围
例1（1） 已知 ，若 有三个不同的实数根，则实
数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知，函数 的图象如图所示，
若 有三个不同的实数根，
则函数 与函数 的图象有三个不同的交点，
由图象易知，实数 的取值范围是 .故选C.
（2）[2023广州测试] 设函数 ，若函数 在 上存在零点，
则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 函数 在区间 上单调递增，
由函数 在 上存在零点，
则 ,
解得 ，
故函数 在 上存在零点时， .故选B.
题后反思 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法
（1）直接法：由函数零点的存在性定理，通过解不等式组确定参数范围;
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
跟踪训练1 已知函数 ，若 ， ， 互不相等，且
，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 作出函数 的图象如图，
不妨设 ，则
， ，则 .故选B.
【题型二】一元二次方程的根的分布问题
例2 已知关于 的方程 .
解 设 ，
（1）若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数 的取值范围;
解 的大致图象如图所示，
所以 ，即 ，得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）若方程有两个实根 ， ，且满足 ，求实数 的取值范围;
解 的大致图象如图所示，
所以
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）若方程至少有一个正根，求实数 的取值范围.
解 方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
①有两个正根，此时如图1，可得
即
所以 ;
②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得 ，得 ;
③有一个正根，另一根为0，此时如图3，
可得 所以 .
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 的取值范围为 .
题后反思 一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与 轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制.
跟踪训练2（1） 若关于 的方程 两根均在区间 内，则
的取值范围为_ ____________.
[解析] 令 ,
因为一元二次方程的两根均在区间 内，
则
即
解得 .故答案为 .
（2）已知关于 的方程 的两根分别在区间 ， 内，
则实数 的取值范围为_ _____.
[解析] 令 ，根据题意得
即 , 所以实数 的取值范围为 .(共25张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 函数的零点与方程的根
1.应用函数零点存在定理时要注意三点:（1）函数是连续不间断的;（2）定理不可逆;（3）至少存在一个零点.
2.函数 与 的图象交点的横坐标,也是函数 的零点.
3.对函数零点的考查,重点提升数学抽象和直观想象的核心素养.
【典例1】（1） [2023烟台期末] 函数 的零点所在的区间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , ,
且函数 的定义域是 ，
定义域内 是增函数，
也是增函数，
所以 是增函数，
且 ，
所以函数 的零点所在的区间为 .故选B.
（2）关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是
_ ______.
[解析] 在同一平面直角坐标系内，画出函数 和
的图象，如图所示，由于方程有两个实根，故 .
规律方法 函数零点问题的求解策略
（1）方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点，在解决函数与方程问题时，要注意三者之间的关系，在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化，同时还要注意使用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等.
（2）确定函数零点的个数或所在区间的两个基本方法：①利用零点存在定理，②数形结合转化为函数图象的交点问题.
跟踪训练1（1） 函数 的零点所在区间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 在 上单调递减，
函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
当 时， 恒成立，
， ，
，
因为 ，所以 .
又 ，
所以 ，
所以 的零点所在区间为 .故选C.
（2）已知函数 若方程 恰有3个不相等的实数根
, , ,则 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 作出 的图象,如图所示:
因为 恰有3个不相等的实数根 , , ,
所以 .
设 ,
由对称性可知 .
由 ,可得 ,
所以 ,即 .
所以 .
故选D.
要点二 二分法求近似解
1.函数的零点就是对应方程的解，所以二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解.
2.用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求（达到给定的精确度），以决定是停止计算还是继续计算.
3.二分法求函数的零点或方程的近似解是对零点存在定理的应用，同时提升了逻辑推理与数学运算的核心素养.
【典例2】 利用计算器，用二分法求方程 的近似解（精确到 ）.
解 令 ，可知函数 在 上是增函数,
, , ,
所以可知方程 的解在区间 内.
利用二分法逐步计算，列表如下：
区间 中点值 中点的函数值的符号
2.5
2.75
2.625
因为 ,且 与2.625精确到0.1的近似值都为 ，
所以方程 的近似解可取2.6.
题后反思 用二分法求方程近似解的关注点
（1）理论依据：函数零点存在定理.
（2）方法：构造函数，通过求函数零点近似值解决.
（3）表示：借助表格或数轴表示，会使求解过程显得更清晰.
（4）注意：要随时检验有根区间 的端点值，在精确到同一数位下的近似值是否相等.
跟踪训练2 [2023南通测试] 用二分法求方程的近似解，求得 的部
分函数值数据如表所示：
1 2 1.5 1.625 1.75 1.875
3
则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为( )
C
A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
[解析] 由表格可得，函数 的零点在 之间；
结合选项可知，方程 的近似解可取为（精确度为 ）1.8.故选C.
要点三 函数模型的应用
1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型.
2.在构建函数模型时，要根据实际情况灵活选取函数模型，要认真审题，读懂题意，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学问题，要注意培养直观想象与数学建模的核心素养.
【典例3】 为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为 米 .
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价;
解 设甲工程队的报价为 元，则
，
.
当且仅当 ，即 时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28 800元.
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 元
，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值
范围.
解 由题意可得， 对任意的 恒成立.
即 ，从而 恒成立，
令 ， ，
又 在 为单调增函数，
故 .所以 .
规律方法 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
（1）对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的关系，并用 ， 分别表示.
（2）建立函数模型，将变量 表示为 的函数，此时要注意函数的定义域.
（3）求解函数模型，并还原为实际问题的解.
跟踪训练3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，
又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场，
栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本 （单位：
元/ ）与上市时间 （单位：天）的数据情况如下表：
50 110 250
150 108 150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本 与上市时间
的变化关系的函数： ， ， ， ;
解 由数据可知，刻画芦荟种植成本 与上市时间 的变化关系的函数不可能是常值函数，
若用函数 ， ， 中的任意一个来反映时都应有 ，
且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，
所以应选用二次函数 进行描述，
将表格所提供的三组数据分别代入函数 ，可得：
解得
所以，刻画芦荟种植成本 与上市时间 的变化关系的函数为 .
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解 当 （天）时，
芦荟种植成本最低为 （元/ ）.
即当芦荟上市时间为150天时，种植成本最低为100元/ .
