(共16张PPT)
01
午练21 指数函数
1.[2023无锡月考] 如图，①②③④中不属于函数 ， ，
的一个是( )
B
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 函数 与 均为单调递增函数，故③为 的
图象，④为 的图象.又 与 的图象关于 轴对
称，故①为 的图象.故选B.
2.核酸检测在新冠疫情防控过程中起到了重要作用.核酸检测是用荧光定量 法进行
的，即通过化学物质的荧光信号，对在 扩增过程中的靶标 进行实时检测.已知
被标靶的 在 扩增期间，每扩增一次， 的数量就增加 .若被测标本
扩增5次后，数量变为原来的10倍，则 的值约为( ) （参考数据：
， ）
C
A.36.9 B.41.5 C.58.5 D.63.1
[解析] 设 没有扩增前数量为 .由题意可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以
.故选C.
3.函数 的图象大致是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由 可得 ，所以 是偶
函数，故排除B选项.
因为 ，故排除D选项.令 ，解得
，故 只有两个零点，故排除A选项.故选C.
4.（多选题）已知函数 是奇函数，下列选项正确的是( )
ACD
A.
B.函数 在 上的值域为
C. , ，且 ，恒有
D.若 ，恒有 充分不必要条件为
[解析] 因为函数 是奇函数，且定义域为 ，所以 ，
解得 .经验证， 符合题意，故A正确；因为 在 上
单调递增，且 , ，所以函数 在 上的值域为 , ，
故B错误；因为 单调递增，所以 , ，且 ，恒有
，故C正确；因为 单调递增，所以
可转化为 ，即 对于
恒成立.当 时， 不恒成立，不符合题意；当 时，可得
解得 ，故 ，恒有 的充要条
件为 .
因为 ，所以 ，恒有 充分不必
要条件为 ，故D正确.故选 .
5.写出一个满足“对任意实数 ， ， ”的增函数
_ __________________.
（答案不唯一）
[解析] 由指数幂运算性质 知，
满足条件的增函数可以为 （答案不唯一）.
6.函数 且 的图象恒过定点 ，则点 坐标为_ _____.
[解析] 令 ，即 ，则 ，所以定点 为 .
7.已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围
是_ ______.
[解析] 要使 在 上是增函数，则 解得 .
8.我们知道，设函数 的定义域为 ，如果对任意 ，都有 , ，
且 ，那么函数 的图象关于点 成中心对称.若
函数 的图象关于点 成中心对称，则实数 的值为___；若
，则实数 的取值范围是_ __________________.
2
[解析] 因为函数 的图象关于点 成中心对称，所以
，即 ，即 ，所以 .
令 .
因为函数 的图象关于点 成中心对称，所以 的图象关于 对称，且
在 上单调递减. ，即
，即 ，也即
，所以 ,即 ，解得 或
，故实数 的取值范围是 .
9.已知函数 为定义域内的奇函数.
（1）求 的值；
解 因为 ， 是奇函数，所以 ，解得 .
此时 ，是奇函数.故 .
（2）设函数 ,若对任意 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围.
解 当 时， ，
故 , ，
则 .
又因为 恒成立，故当 时， 恒成立，符合条件.
当 时， .
当 时，根据复合函数单调性可得 在 上单调递增，所以
，
所以 .
令 .
因为 , 都在 上单调递增，
故 在 上单调递增.
又 ，所以由 得 .
当 时，根据复合函数单调性可得 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
故 ，
所以 .
因为 , 都是区间 上的单调增函数，故 也是区间
上的单调增函数.
又当 时， ，故 在区间 上恒成立，
故 在区间 上无解，即 不满足条件.
综上所述， 或 .(共15张PPT)
01
午练22 对数函数
1.若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为( )
C
A. , B. C. D.
[解析] 因为函数
的定义域为 ，所以 在 上恒成立.当 时， ，得
，不合题意.当 时，由 解得 .综上,实数 的取值范
围为 .故选C.
2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 .又 ，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 .故选D.
3.已知函数 ，则函数 的大致图象为( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数的定义域是 ， ，
，所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除
； .当 时，
， ，所以 ，故排除B. 故选A.
4.已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，则不等式
的解集为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 当 时， ，所以 在 上单调递减.
因为函数 是 上的奇函数，所以 在 上也单调递减.
，可转化为 ,即 .
令 ，可得 ,故 .故由 ，
可得 或 ,解得 或 ，故不等式
的解集为 .故选D.
5.（多选题）已知函数 ， ，则( )
BCD
A.函数 为偶函数
B.函数 为奇函数
C.函数 在区间 上的最大值与最小值之和为0
D.设 ，则 的解集为
[解析] 对于A， ，定义域为 ， ，故
为奇函数，故A错误；对于B， ，定义域为 ，
，则 为奇函数，故B正确；对于C，
，因为 ， 都为奇函数，所以 为奇函
数，所以 在区间 上的最大值与最小值互为相反数，即必有
在区间 上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D，
，则 在 上为减函数.
，则 在 上为减函数.所以
在 上为减函数. ,即 ，
故 ，解得 ，即 的解集为 ，故D正确.
故选 .
6.[2023淮安月考] 若点 在函数 的图象上，点 在 的反
函数图象上，则 ____.
16
[解析] 因为点 在函数 的图象上,所以 ,即得 .因为 ,所以 的反函数为 .又因为点 在 的反函数图象上,所以 .因为 ,所以 ,即得 .
7.函数 恒过定点 ，则点 的坐标是_ _____.
[解析] 由 ，令 ，得 ，此时 ，所以函数 恒过定点 .
8.若 是奇函数，则 ____， ___.
2
[解析] 因为 ，所以
.
因为函数 为奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，所以 ，
解得 .
9.已知函数 , .若对任意 ，存在
，使得 恒成立，则实数 的取值范围为_ ___________.
[解析] 由题可知 为对数底数且 ，所以 或 .当
时，由复合函数单调性可知 在 上单调递减， 在 上单调
递减，所以 ， .由
得 ，即 ，解得
.当 时，由复合函数单调性可知 在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 ，
.由 得
，即 ，解得 .综上， .
10.[2023扬州检测] 已知函数 且 , 是偶函
数，函数 且 .
（1）求实数 的值；
解 由题设， ，即 .
因为 ,
所以 ，所以 ，解得 .
（2）当 时，若 , ，使得 恒
成立，求实数 的取值范围.
解 由（1）及 知 ， ，
所以 在 , 上恒成立.
令 .由 在 上递增， 在
上递减， 上递增， 在定义域上递增，
所以 在 上递减，在 上递增，故当 时， .
由题意知 在 上恒成立.令 ，
则 在 上恒成立，而 ，故 解得
.(共14张PPT)
01
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1.[2023镇江月考] 设 ， ， ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .故选A.
2.已知函数 的图象过点 .若 , 的反函数为 ，则
的值域为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数 的图象过点 ，则 ，解得 .
所以 ，由 的反函数为 ，得 .
由 ，得 的定义域为 .当 时，有 ，即
的值域为 .故选D.
3.已知函数 满足 （其中 ），则函数
的图象可能为( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数 的图象开口向上.令 ，解得 或
.因为 ，所以1在两根之间.又 ，所以 ，所以
为减函数.又 ，则 ，显然C符合.故选C.
4.已知函数 ，则使不等式 成立的 的取
值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 易知 是 上的偶函数.设 .任取
，则 .因为 ，所以 , ,
,所以 ，即 ，所以 在 上是
增函数，且 在 上是增函数，所以 在 上是增函数.
由 得 ，所以 所以
解得 或 ，即 的取值范围是 .故
选D.
5.（多选题）给出下列四个命题：
其中为真的命题是( )
CD
①函数 的图象过定点 ；
②已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,若 ，
则实数 或2；
③若 ，则 的取值范围是 ；
④对于函数 ，其定义域内任意 都满足 .
A.① B.② C.③ D.④
[解析] 对于①，令 ，得 ，此时 ，
所以函数 的图象过定点 ，故①错误.对于②，当 时，
，所以 ,若 ，则实数 不能取2，故②错误.对于③，
若 ，则 ，故③正确.对于④，对于函数 ，则 ，
对其定义域内任意 ， ，
故④正确.故选 .
6.函数 的单调递减区间为_ _________.
[解析] 要使函数有意义，则 ，解得 或 ，即函数的定义域为 .设 ， ，根据复合函数的单调性可知，要求函数 的减区间，即求函数 在定义域内的单调递减区间.又函数定义域为 ，结合二次函数的性质可知， 在定义域内的减区间为 ，所以函数 的单调递减区间为 .
7.若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为
_ ______.
[解析] 因为 在区间 上递增，
则 在区间 上递增，且 在区间 上恒成立，
所以 解得 .
8.已知函数 ，其定义域为 ，值域为 ，则 的最大值
为___.
3
[解析] 因为 ，令 ，因为 ，
所以 .所以原函数等价为 .
因为函数的值域为 ，且当 时， .由 ，解得 （舍
去）或 .当 时，得 ，解得 .当 时，得 ，即 .
所以函数的定义域为 ，
所以当 ， 时， 最大为3.
9.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，函数
.如果对于任意的 ，总存在 ，使得
，则实数 的取值范围是_ _________.
[解析] 因为 是定义在 上的奇函数，所以 .当 时，
，则当 时， .
若对于 ， ，使得 ，则 .
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 .
10.已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
解 当 时， ，其定义域为 .
因为 ，
所以当 时， .
（2）当 时，函数 有意义，求实数 的取值范围.
解 由题知 对一切 恒成立.
所以 对一切 恒成立.
令 ，则 ,
令 ，
可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， ，
所以 ，所以 .(共14张PPT)
01
午练24 任意角与三角函数的概念
1.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，它的终边经过点 ，则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 在平面直角坐标系 中，因为角 以 为始边，它的终边经过点 ，
所以 .故选B.
2.若角 的终边在如图所示的阴影部分，则角 的取值范围是( )
B
A.
B.
C.
D.
[解析] 易知阴影部分的两条边界分别是 和 的终边，所以 的取值范围是
, .故选B.
3.[2023常州月考] 已知角 的终边经过点 ，则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边经过点 ，所以 ，
，
，
所以 .故选D.
4.已知点 在第一象限，则在 内 的取值范围是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为 点在第一象限，
所以
所以 所以由 知， 为第一或第三象限角，
又 ，当 为第一象限角时，
因为 ,所以 ，当 为第三象限角时， .
所以 的取值范围为 .故选B.
5.（多选题）下列结论正确的是( )
BD
A. 是第三象限角
B.若角 的终边过点 ，则
C.若角 为锐角，那么 是第一或第二象限角
D.若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为
[解析] 对于A： 是第四象限角，所以A不正确；
对于B：若角 的终边过点 ，则 ，所以B正确；
对于C：若角 为锐角，所以 ，所以 ,所以C不正确；
对于D：若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为： ,所以D
正确.
故选 .
6.与 角的终边相同的最小正角是_ _____，绝对值最小的角是_______.
[解析] 与 角终边相同的角为 .当 时， 为最小正角；当 时， 为绝对值最小的角.
7.若角 的终边上一点 ，则 _ ___.
[解析] 由题意可得 ， ， .因为 ，所以 ，所以 .故答案为 .
8.设角 是第三象限角，且 ，则角 是第____象限角.
四
[解析] 由 是第三象限角，知 ，
，知 是第二或第四象限角，再由
知 ，所以 只能是第四象限角.
9.若 为第二象限角，则 的值为____.
[解析] 因为 为第二象限角，所以 , ，则
.故答案为 .
10.（1）已知角 的终边经过点 ，求 的值；
解 因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 .
（2）已知角 终边上一点 与 轴的距离与 轴的距离之比为 ，求
的值.
解 因为角 终边上一点 与 轴的距离与 轴的距离之比为 ，
所以 ，
当角 终边在第一象限时， ， ， ；
当角 终边在第二象限时， ， ， ；
当角 终边在第三象限时， ， ， ；
当角 终边在第四象限时， ， ， .(共12张PPT)
01
午练25 同角三角函数的关系与诱导公式
1.[2023无锡测试] ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
2.若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 可知 ，
所以 ，解得 ，
故
.
故选C.
3.[2022南京月考] 已知 ， ，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] ，
所以 ，所以 .
又 ，
所以 ，所以 .故选A.
4.若 ，则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以
.故选D.
5.（多选题）已知 ， ，则下列结论正确的是 ( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，两边平方得： ，所以
.
所以 与 异号，又因为 ，所以 ,所以 ，
所以 ,
所以 ，又因为 ，所以 , ,
.故选 .
6.若 ，且 是第四象限角，则 __.
[解析] 由题意得 ,
所以 .
7.已知 ，则 _ _.
[解析] 由 ，得 ，
则
.
故答案为 .
8.已知 ，则 ___.
2
[解析] 因为 ，
所以 ，
所以原式
.
9.已知 ，若 ，则 ______.
[解析] 由 知 ，
则 得 ，
又因为 ，
则 ， ，
.故答案为 .
10.已知 .
（1）化简 ；
解 .
（2）若 ，求 的值.
解 因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .(共16张PPT)
01
午练26 三角函数的图象和性质
1.[2023连云港月考] 下列函数中，最小正周期为 的函数是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 根据公式 可知函数 的最小正周期是 .故
选D.
2.在 上，函数 的定义域是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 依题意得 ，即 .
作出 在 上的图象及直线 ，
如图所示.由图象可知，满足 的 的取值范围是 ，
故选B.
3.函数 的单调递增区间是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由 ， ，
可得 ， ，即 ， ，
所以 的单调递增区间是 ，故选A.
4.正割 及余割 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔·威发首先引入
的，定义正割 ，余割 .已知 为正实数，且
对任意的实数 均成立，则 的最小值为
( )
D
A.1 B.4 C.8 D.9
[解析] 由已知 对任意的实数
均成立，
即 对任意的实数 均成立，
可得 .
因为 ， ，则 ，因为
，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
所以 的最小值为9.故选D.
5.（多选题）已知函数 ，则( )
ABD
A. 的值域为
B.点 是函数 图象的一个对称中心
C. 在区间 上是增函数
D.若 在区间 上是增函数，则 的最大值为
[解析] .
对于A，函数 的值域为： ，A对；
对于B，因为 ，故点 是函数 图象的一个对称中心，
B对；
对于C，当 时，则 ，故函数 在区间 上不单调，
C错；
对于D，由题意可得 且函数 在区间 上是增函数，
当 时， ，且 ,
所以 ，则 解得 ，
故 的最大值为 ，D对.故选 .
6.[2023无锡测试] 若 是奇函数，则 __.
[解析] 解 因为 是奇函数，所以
，所以 .
因为 ，所以 .
7.若方程 有解，则 的取值范围是_________________.
[解析] ，即 ，即
.因为 ,所以 ，即
.
8.设 ，若函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值
是_ _.
[解析] 因为函数 在区间 上的最小值是 ，
，
所以当 时， .
由题意得 ，解得 ；
所以 的最小值等于 .故答案为 .
9.设函数 ，若 对任意的实数 都成立，则
的最小值为_ _.
[解析] 因为 对任意的实数 都成立，
所以在 处函数 取得最大值，所以 ， ，
解得 ， .
又 ，所以 的最小值为 .故答案为 .
10.已知函数 ， .
（1）用五点作图法画出函数 在 上的简图；
解 由“五点作图法”列表如下：
0
0 3 0 0
图象如下：
（2）若 ， ，求 .
解 由 ，得 ，
所以 或 ，
即 或 ， .
又因为 ，
所以 取0，得 或 .(共20张PPT)
01
午练27 三角函数的图象变换及应用
1.[2023常州检测] 要得到函数 的图象，只需将函数 的图
象( )
D
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 要得到函数 的图象，只需将函数
的图象向右平移 个单位长度即可.故选D.
2.将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），
所得图象对应的表达式为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不
变），所得图象对应的表达式为 ，故选C.
3.已知函数 , , 的部分图象如图所示，则下列
说法错误的是( )
D
A.
B.
C. 的图象关于直线 对称
D. 的图象向右平移 个单位长度后的图象关于原点对称
[解析] 根据函数 的部分图象，
可得 ， ，所以 ，故A正确；
因为图象过点 ，可得 ， ，
即 ， .因为 ，
所以 ， ，故B正确；
令 ，求得 ，为最大值，
故 的图象关于直线 对称，故C正确；
把 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，
故所得图象不关于原点对称，故D错误，故选D.
4.已知函数 .给出下列结论：
其中所有正确结论的序号是( )
B
的最小正周期为 ；
是 的最大值；
③把函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的
图象.
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
[解析] 因为 ，
①由周期公式可得， 的最小正周期 ，故①正确；
，不是 的最大值，故②错误；
③根据函数图象的平移法则可得，函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象，故③正确.故选B.
5.（多选题） 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在
农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车
的工作原理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心 距离水面1米，已
知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开
始计时，则( )
BCD
A.点 再次进入水中时用时30秒
B.当水轮转动50秒时，点 处于最低点
C.当水轮转动150秒时，点 距离水面2米
D.点 第二次到达距水面 米时用
时25秒
[解析] 以 为原点，以与水平面平行的直线为 轴建立平面直角坐标系，
设点 距离水面的高度 ,
由 所以
由题意，角速度 弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心 距离水面1米，可知半径 与水面所
成角为 ，
点 再次进入水中用时为 秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径 转动了 弧度，
而 ，点 正好处于最低点，故B正确；又角速度 弧度/秒，
时， ，所以 ，取 ，所以点 距离水面的高度
，当水轮转动150秒时，将 代入，得 ，点 距
离水面2米，故C正确；将 代入 中，得
，或 ，即 ，或
. 所以点 第二次到达距水面 米时用时25秒，故D正确.
故选 .
6.函数 的初相位是__；振幅是___.
2
[解析] 由诱导公式得 ，故所求的初相位为 ，振幅是2.
7.将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象与 轴最近
的对称轴方程是_ ________.
[解析] 因为函数 的图象向右平移 个单位长度可得
，
则 的对称轴为 ， ，
即 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程是 ，故答案为 .
8.[2023南通模拟] 已知函数 为偶函数，
, 是函数 图象上的两点，若 的最小值为3，则
_ ___.
[解析] 因为函数 为偶函数，
故 ,即
，
所以 ，又 不恒等于0，
故 ，而 ，则 ，
点 , 是函数 图象上的两点， 的最小值为3，
则 的最小正周期为6，则 ，
故 ，
所以 ，故答案为 .
9.已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围
是_ _____________.
[解析] 由题意，易知函数 ，
由 ， ，得 ， ，
故 的单调递减区间为 ， .
若函数 在区间 上单调递减，
则 解得 ， ，
又 ，所以 ，所以当 时， ，故答案为
.
10.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式及对称中心；
解 根据函数 的部分图象，
可得 ， ，
所以 .
由于 , ，又 ，所以 ，故有
.
由 , ，可得 , ，
故函数的对称中心为 ， .
（2）先将 的图象纵坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度后得到 的图象，求函数 在 上的单调减区间和最值.
解 先将 的图象纵坐标缩短到原来的 ，可得 的图象，
再向右平移 个单位长度，得到 的
图象，
即 ，
令 ， ，解得 ， ，
可得 的减区间为 ， ，
结合 ,可得 在 上的单调递减区间为 .
又 ,故当 ， 时， 取得最大值，即 ；
当 ， 时， 取得最小值，即 .(共16张PPT)
01
午练29 函数零点与数学模型
1.函数 在下列区间内一定有零点的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 函数 是单调递增函数，且 ， ，由函数零点存在定理可知，函数在区间 上一定存在零点.故选A.
2.在一次试验中，某小组测得一组数据 ，并由试验数据得到下面
的散点图.由此散点图，在区间 上，下列四个函数模型（ , 为待定系数）中，
最能反映 , 关系的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
故选B.
3.[2023无锡月考] 函数 , 的零
点个数是( )
D
A.1 B.5 C.6 D.7
[解析] 令 ，即 ，
所以 ，
当 , , , , 时，
方程可化为 ，
在同一直角坐标系中分别做出 与 的图象，
由图可知：当 , , , , 时，
函数 与 的图象有6个交点，分别为 , , , ,
, ,
又因为 ，满足方程 ，所以 也是函数 的一个零
点.综上，函数 , 的零点个数
是7，故选D.
4.已知函数 ，函数 有4个不同的零点
, , , ,且 ，则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意 ,即 ,作出函数
的图象，如图所示，
因为方程 有四个根 ， ， ， 且
，则 ，
由图象可知 ， ， ，
又 ，可得 ，则 ，
则 ，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
即 ，
即 的取值范围是 .故答案为B.
5.（多选题）函数 的零点个数可能为( )
AB
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 函数 的零点个数等于函数 和
函数 的图象的交点个数，如图所示.
数形结合可得，当 时，函数 的零
点个数为2；
当 时，函数 的零点个数为1.故选 .
6.函数 的零点的乘积为_ ___.
[解析] 由 有 ,因为 恒成立，则 一定有两
个不同的零点，设为 , 则 .
7.函数 与函数 在区间 上增长速度较快的一个是_ ______.
[解析] 因为 ，所以比较 与 的增长速度只
需比较 与 增长速度即可，
由图象可知： 的增长速度快于 ，
所以函数 与函数 在区间 上增长速度较快的是 .故答案为 .
8.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造
成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间
隔 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型
（ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 与入侵时间 （单位：天）
之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 , .
据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为_____天.（结
果保留一位小数.参考数据： , ）
19.5
[解析] 因为 ， ， ，所以 ，解得： .
设初始时间为 ，初始累计繁殖数量为 ，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍
的时间为 ，
则 （天）.故答
案为19.5.
9.已知函数 的两个零点都在区间 内，则实数 的取值
范围为_ ______.
[解析] 因为函数 的两个零点都在区间 内，
所以 即
解得 ，
所以 的取值范围为 .
10.[2023徐州期末] “硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技
术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理
世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技
术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的
科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年
起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1 000万元，每生产 百台高
级设备需要另投成本 万元，且
每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备
年产量最大为10 000台.
（1）求企业获得年利润 （万元）关于年产量 （百台）的函数关系式；
解 当 时，
.
当 时，
，
所以
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
解 当 时，
，
所以当 时， （万元）.
当 时，
（万元），
当且仅当 即 时，等号成立.
因为 ，所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
