古典概型
第1课时
(
教学目标
)
1．结合具体实例，理解古典概型的意义；提升学生的数学抽象、数学建模素养．
2．掌握古典概型的概率公式，并会求事件的概率；提升学生的数学运算素养．
(
教学重难点
)
教学重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率．
教学难点：如何判定一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中样本点的总数和某随机事件包含的样本点的个数．
(
课前准备
)
PPT课件．
(
教学过程
)
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容．
预设的答案：（1）《古典概型》是高中数学人教B版第五章概率部分5.3.3节的内容，教学安排是2课时，本课时是第一课时，是在事件之间的关系与运算的学习之后，尚未学习排列组合的情况下教学的。（2）古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到了概率的精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，它有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有重要的地位。
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1、问题导入
试验1：抛一枚均匀的硬币，观察落地后哪一面朝上．
试验2：掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
问题1：（1）记事件A 正面向上，你认为P（A）应该是多少？理由是什么？
（2）记事件B 出现的点数不超过4，你认为P（B）应该是多少？理由是什么？
师生活动：学生自主阅读课本第102页的两段话，并且总结出已经学过的概率的性质；
预设的答案：（1）抛硬币试验中，因为样本空间包含2各样本点，而且因为硬币是均匀的，所以可以认为每个样本带你出现的可能性相等，又因为事件A包含1个样本点，因此：；
掷骰子试验中，因为样本空间共有6个样本点，而且因为骰子是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件B包含6个样本点，因此．
设计意图：学生通过初中已有的比例计算概率的方法容易得到答案，但是之前只是通过直观计算，并没有给出可以这样计算的原理，通过问题1，问题2引出这种计算方法的合理解释，增强了学生的理性认识，总结这些试验的共同特点，得出古典概型的概念，让学生体会这种常见的、简单的求概率的模型．
2、形成定义
（1）一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点的个数是有限的（简称有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（基本事件）发生的可能性大小都相等（简称等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
问题3：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
（3）某班级男生30人，女生20人，随机地抽取一位学生代表，出现50个不同的结果，你认为这是古典概型吗？为什么？
（4）某班级男生30人，女生20人，随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果：“男同学代表”，“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什么？
（5）某班级男生30人，女生30人，随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果：“男同学代表”，“女同学代表”，你认为这是古典概型吗？为什么？
师生活动：学生独立思考后交换意见，学生代表发言，其他同学评价补充．
预设的答案：（1）不是，样本点的个数是无限的；（2）不是，命中某一环的概率不相同；（3）是。满足古典概型的条件；（4）不是，出现某一个结果的不等可能性；（5）是，出现某一个结果等可能性。
设计意图：通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型两个重要特征的例子，以突破古典概型识别的难点．
问题4：结合尝试与发现的二个试验案例，试说明古典概型下基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？
师生活动：学生独立思考后交换意见，学生代表发言，其他同学评价补充．
预设的答案：掷均匀硬币试验，出现正面朝上与反面朝上的概率相等，即P（正面朝上）＝P（反面朝上），由概率加法公式，得P（正面朝上）＋P（反面朝上）＝P（必然事件）＝１，因此有P（正面朝上）＝P（反面朝上）＝．
对于掷一个均匀的骰子试验，出现各个点数的概率相等，即P（出现1点）＝P（出现2点）＝P（出现3点）＝P（出现4点）＝P（出现5点）＝P（出现6点），反复利用概率的加法公式，我们有P（出现1点）＋P（出现2点）＋P（出现3点）＋P（出现4点）＋P（出现5点）＋P（出现6点）＝P（必然事件）＝１，所以P（出现1点）＝P（出现2点）＝P（出现3点）＝P（出现4点）＝P（出现5点）＝P（出现6点）＝． 因此，利用加法公式可得P（出现的点数不超过4）＝P（出现1点）＋P（出现2点）＋P（出现3点）＋P（出现4点）＝＝．我们发现掷一个均匀的骰子有６个基本事件，其中“出现的点数不超过4”这一随机事件含有4个基本事件，所以P（出现的点数不超过4）＝＝．
教师讲解：
古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间包含n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为，因此互斥事件的概率加法公式可知每个基本世家按发生的概率为，此时，如果事件C包含m个样本点，则再又互斥事件的概率加法公式可知： ．
三．初步应用
例1 某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（1）班先抽，求他们抽到的出场序号小于4的概率．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：考虑高一（1）班从10个出场序号签中抽一个签的试验，其样本空间可记为：
共包含10个样本点．
记A：抽到的出场序号小于4，则不难看出：
A包含的样本点个数为3，则
设计意图：通过例题熟悉古典概型的公式的用法。
例2 按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：这个试验的样本空间可记为：
共包含4个样本点．
记A：至少出现一个正面，则
A包含3个样本点，所以
设计意图：通过例题熟悉古典概型的公式的用法。
教师讲解：
古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质：
（1）由与可知：；
（2）因为中包含的样本点个数为，所以，，即；
（3）若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道包含个样本点，从而．
例2也可用如下方法求解：因为，所以，从而
设计意图：通过特殊到一般，对古典概型概率公式进行推导，完善学生认知结构，对可用“比例”的方式求概率进行理性认识，发展学生的逻辑思维能力．
例3 从含有两件正品和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品恰有一件次品的概率．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：按题意，取产品的过程可以用如图树形图直观表示：
因此样本空间可记为：
共包含6个样本点．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则
A包含的样本点个数为4，所以
设计意图：利用树形图来帮助学生列举样本空间，一是为了教会学生怎样不重不漏的列举所有情况；二是为了培养学生借助直观图理解数学知识的能力。
四、归纳小结，布置作业
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
什么是古典概型？
古典概型的特点是什么？
古典概型中的概率具有哪些性质？
预设的答案：（1）一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点的个数是有限的（简称有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（基本事件）发生的可能性大小都相等（简称等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
（2）古典概型的共同特点是：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
（3）①由与可知：；
②因为中包含的样本点个数为，所以，，即；
③若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道包含个样本点，从而．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确古典概型的有关知识．
五、目标检测设计
1．下列试验是古典概型的是（ ）
A．种下一粒大豆观察它是否发芽
B．从规格直径为（2500.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径
C．抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况
D．某人射击中靶或不中靶
设计意图：考查学生对古典概型的概念的理解。
2．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率．
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
设计意图：考查学生对古典概型的特点的理解。
3．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为（ ）
A． B．
C． D．
设计意图：考查学生对古典概型的计算。
4．从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．
设计意图：考查学生对古典概型中的样本点的理解。
参考答案：
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
【解析】8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为．
4．【答案】2
【解析】（甲，乙），（甲，丙），共2个．古典概型
第2课时
(
教学目标
)
1．理解并进一步掌握古典概型的概念、概率计算公式，提升学生的数学抽象、数学运算素养．
2．会用古典概型的概率计算公式解决实际的概率问题。提升学生的数学建模、数学运算素养．
(
教学重难点
)
教学重点：古典概型的应用．
教学难点：对古典概型的模型归纳与识别．
(
课前准备
)
PPT课件．
(
教学过程
)
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容．
预设的答案：（1）本课时是古典概型的第2课时，在第1课时学习的古典概型的概念及概率计算公式的基础上，进一步拓展，研究较为复杂的古典概型的概率计算问题。（2）因而本课的重点把握在如何将复杂的概率计算问题转化为较为简单的古典概型，进而进行概率计算。本课开始以回顾古典概型的概念及概率计算公式作为课前导入，结合一个自我检测，引导学生加深理解古典概型的概念及判断方法。接着通过对更复杂的古典概型概率计算、古典概型在决策问题中的应用以及古典概型与统计综合，分析讨论解决复杂古典概型计数问题和概率问题的一些方法，包括列表法、列举法以及树形图法等等。
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、复习巩固
问题1：课前练习．
（1）抛掷一枚均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数大于1}，则P（）＝__________．
（2）抛掷一枚均匀的硬币，设事件A＝{正面朝上}，B＝{反面朝上}，则P（A＋B）＝__________．
师生活动：学生自主做题，并给出答案，教师根据学生做的情况讲解。
预设的答案：（1）；（2）．
问题2：在使用古典概型的概率公式时，我们需要注意哪些问题？古典概型中的概率具有的性质有哪些？
师生活动：学生思考总结，教师给出答案。
预设的答案：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；
（2）要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则任何随机事件A的概率为：．并且古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质：
（1）；
（2）；
（3）若事件与互斥，则．
设计意图：复习古典概型的两个特征点及古典概型的概率公式，为古典概型的模型归纳与识别及古典概型的应用奠定知识基础．
初步应用
例1 甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）甲不输的概率．
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解，注意过程步骤的书写。
预设的答案：因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，因此一次出拳共有种不同的可能．
因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，样本空间可以用下图直观表示．
因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，B为“甲赢”，则
（1）事件A包含3个样本点（图中的△），
因此；
（2）事件B包含3个样本点（图中的⊙），
因此；
（3）因为表示“甲不输”，且与互斥，
因此所求概率为．
另解：（3）．
设计意图：引导学生根据古典概型的特征，用列举法（数对）和画数形图的方法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率，培养学生运用数形结合、分类讨论的思想．
例2 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：点数之和为7，：至少出现一个3点，求，，，．
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解，注意过程步骤的书写。
预设的答案：用数对来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω＝，则样本空间中共包含36个样本点．
A＝，A包含6个样本点．
B＝，B包含11个样本点．
所以；
；
；
．
变式1：点数之和为偶数的概率为多少？
变式2：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？
变式3：小华和小红玩掷骰子游戏，他们约定：先后掷一枚骰子，如果朝上的两个数的和是5，那么小华获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么小红获胜．这样的游戏公平吗？
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解。
预设的答案：变式1：；变式2：点数之和为7时，概率最大且概率是；变式3：不公平．小华获胜的概率为，小红获胜的概率为．
设计意图：用列举法（数对）和画数形图的方法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率，培养学生运用数形结合、分类讨论的思想．通过变式练习进一步深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，增强学生数学思维情趣，逐渐养成自主探究能力．
例3 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的．生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮（也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”）；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的．
有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率．
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解。
预设的答案：我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因，则样本空间中共含有4个样本点，即
Ω＝{BB，bB，Bb，bb}．
孩子如果是单眼皮，成对的基因只能是bb，因此所求概率为．
设计意图：为了加强数学与其他学科知识的联系，让学生了解数学知识在其他学科中的应用．另外例3给出了比较长的背景知识，这是为了培养学生的数学阅读能力．
练习：
单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他能答对的概率是多少？
变式1：假设考试有12道单选题，如果有一名考生答对了11道题，他是随机选择的可能性大？还是他掌握了一定的知识的可能性大？
变式2：若考试中试题有四个选项A，B，C，D，是不定项选择题，随机写一个答案，恰好正确的概率是多少？试比较一下，在随机选答案的情况下，是单选题容易猜对还是不定项选择题容易猜对？
师生活动：学生小组讨论，得出结论，教师讲解。
预设的答案：；变式1：掌握了一定的知识的可能性大；变式2：；单选题容易猜对．
设计意图：通过求概率并解释现实问题，体会用数据“说话”的魅力，培养学生的理性精神．
四、归纳小结，布置作业
问题3：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
古典概型中基本事件的探求方法？
计算古典概型事件的概率的步骤是什么？
预设的答案：（1）古典概型中基本事件的探求方法：
（1）列举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的．如（1，2）与（2，1）不同．有时也可以看成是无序的．如（1，2）与（2，1）相同．
（2）计算古典概型事件的概率可分三步：
①算出基本事件的总个数n；
②求出事件A所包含的基本事件个数m；
③代入公式求出概率P．
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确古典概型的有关知识．
五、目标检测设计
1．下列说法正确的是（ ）
A．一枚骰子掷一次得到2点的概率为，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点
B．某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70%，这说明明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨
C．某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法
D．在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的
设计意图：考查学生对古典概型的性质的理解。
2．在数字1，2，3，4，中任取两个数相加，和是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
设计意图：考查学生对古典概型的计算问题。
3．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为________．
设计意图：考查学生对古典概型的计算。
4．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A，B，C，田忌的三匹马分别为a，b，c，三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马的优劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c．
（1）正常情况下，求田忌获胜的概率；
（2）为了得到更大的获胜机会，田忌打探到齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
设计意图：考查学生对古典概型的计算等综合应用。
参考答案：
1．【答案】D
【解析】
选项A，出现2点的概率为，指的是出现概率，不是掷6次会出现一次2点，A错．
选项B降水概率为70%，这说明明天本地有70%可能性降水，不是降水区域面积．
选项C两枚骰子的和，每个数字出现的概率不相等，所以不公平．
选项D硬币两面出现正反的概率相等，因此是公平的．
所以选D
2．【答案】C
【解析】
从数字1，2，3，4，5中任取两个数的所有可能有从数字1，2，3，4，5中任取两个数的所有可能有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）故所有情况数n＝10，
其中两个相加其和是偶数的有（1，3），（1，5），（3，5），（2，4）四种，即m＝4，和为偶数的概率为，应选答案C。
3．【答案】
【解析】由方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a2－8＞0，故a＝3，4，5，6．根据古典概型的概率计算公式有P＝＝．
4．【解析】
（1）比赛配对的所有情况共有6种：
（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca）．
经分析：仅有配对为（Ac，Ba，Cb）时，田忌获胜，则田忌获胜的概率为．
（2）田忌的策略是首场安排出赛，此时比赛配对的所有情况有2种：（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca），配对为（Ac，Ba，Cb）时田忌获胜，则田忌获胜的概率为．
