《平面向量的坐标及其运算》教学设计
第一课时
1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．培养数学抽象的核心素养．
2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．提升数学运算的核心素养．
教学重点：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
教学难点：平面向量的正交分解的理解．
PPT课件．
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．
预设的答案：（1）本节主要研究平面向量的坐标及运算的第一课时平面向量的坐标平面上向量的运算与坐标的关系．（2）这一小节的内容从结构上来说，与上一小节完全一样，只是研究对象变成了平面上的向量．教学过程中要注意维数的渗透．因为教材在此之前还没有讨论两个向量夹角的问题，但是向量的坐标需要利用向量垂直，因此教材首先介绍了向量垂直的概念向量的垂直也可以借助表示向量的有向线段来定义，教学时还可直接通过作图来向学生介绍．在讲解正交分解时，也可以从两个互相垂直的力来引入，进而强化学生对概念的理解．
设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1、形成定义
教师讲解：平面上的两个非零向量与，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量与垂直，记作⊥．为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．我们已经从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示如果平面向量的基底{}中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
问题2：如图6－2－10所示，已知是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量与都用表示？
师生活动：学生自己运算得出结果，教师给出答案．
预设的答案：．
设计意图：利用正交分解的知识表示向量，强化知识理解及巩固知识．
教师讲解：一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称（x，y）为向量的坐标，记作（x，y）
因此，图6－2－10中的坐标为（2，2），的坐标为（3，－2）．
问题3：平面向量的坐标是如何统一确定的，如何求平面上向量的坐标？
师生活动：学生通过阅读课文，尝试找出答案，教师根据学生情况作出解答．
预设的答案：如图6－2－11所示，
在平面上指定一点O作为原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，以（或）的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的坐标就是向量的坐标．
图6－2－11中，＝（4，2），＝（－3，－1），特别地，为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量，并建立了平面直角坐标系；同时，谈到平面直角坐标系时，默认为已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时：
如果平面上一点A的坐标为（x，y）（通常记为A（x，y）），那么向量OA对应的坐标也为（x，y），即OA＝（x，y）；反之，这一结论也成立．
因此，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：
（1）将向量用单位向量表示出来；
（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．
设计意图：明确平面直角坐标的书写标准及方法．
三、初步应用
例1 如图所示，求出向量的坐标．
师生活动：引导学生表示向量，学生自己尝试解答问题．
预设的答案：因为的始点在原点，因此由的终点坐标可知＝（5，－1），又因为，所以的坐标为（－4，1）．
设计意图：通过实际例子让学生理解平面向量的坐标的求法．从而对平面向量有新的理解．
问题4：平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？
师生活动：学生同桌之间商量问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：假设直线上两个向量满足，即，当时，有，由是相互垂直的单位向量可知且；反之，结论也成立．这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等．
另外，因为，所以＝．同样，．
设计意图：强化平面向量坐标的运算．培养学生自主学习的能力．
例2 已知平面向量＝（－2，3），＝（3，－3），求下列向量的坐标．
（1） （2） （3）
师生活动：学生根据学习，自己进行运算．
预设的答案：（1）＝
；
（3）．
设计意图：利用平面向量坐标表示求坐标，巩固所学的知识．
问题5：利用上述平面向量的运算与坐标之间的关系，是否可以求出它们之间的距离？
师生活动：学生同桌之间商量问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：如果向量＝（x，y），当与都不共线时，若的始点在原点，则过的终点分别作x轴与y轴的垂线，可以构造出一个边长分别为|x|与|y|的矩形，而||正好等于矩形的对角线长，因此||＝，当与共线时，上述结论显然也成立．
例3 已知＝（3，1），＝（－23，2），求||、||．
师生活动：学生利用公式求得问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：由已知可得||＝
设计意图：利用两点之间的距离公式求解具体题目，强化公式应用．
四、归纳小结，布置作业
问题6：（1）什么事实正交基底，正交分解？平面向量的坐标是什么？
（2）两向量间的距离公式是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设的答案：（1）给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示如果平面向量的基底{}中，，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，则称（x，y）为向量的坐标，记作（x，y）
（2）||＝
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解本节内容．
布置作业：教科书第166页练习A，2，3题
五、目标检测设计
1．已知点A（1，－3），的坐标为（3，7），则点B的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（－2，4）
C．（2，10） D．（－2，－10）
设计意图：考查学生对平面向量坐标的理解和应用．
2．已知a＝（1，－1），b＝（3，0），则3a－2b等于（ ）
A．（5，3） B．（4，－1）
C．（－2，－1） D．（－3，－3）
设计意图：考查学生对平面向量坐标的加减运算．
3．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与相等，其中A（1，2），B（3，2），则x＝________．
设计意图：考查学生对平面向量坐标相等的计算．
参考答案：
1．A
解析：设点B的坐标为（x，y），由＝（3，7）＝（x，y）－（1，－3）＝（x－1，y＋3）＝（3，7），得B（4，4）．
2．D
解析：3a－2b＝3（1，－1）－2（3，0）＝（3，－3）－（6，0）＝（－3，－3）．
3．－1
解析：易得＝（2，0），
由a＝（x＋3，x2－3x－4）与相等得解得x＝－1．《平面向量的坐标及其运算》教学设计
第二课时
1．会用坐标表示平面向量共线的条件及两点间的距离公式和中点公式．培养数学抽象的核心素养．
2．能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．提升数学运算的核心素养．
教学重点：能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．
教学难点：能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．
PPT课件．
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．
预设的答案：（1）本节主要研究平面向量的坐标及运算的第二课时平面直角坐标系内两点的之间的距离公式与中点坐标公式以及向量平行的坐标表示．（2）这一小节的内容从结构上来说，与上一小节完全一样，只是研究对象变成了平面上的向量．教学过程中要注意维数的渗透．因为教材在此之前还没有讨论两个向量夹角的问题，但是向量的坐标需要利用向量垂直，因此教材首先介绍了向量垂直的概念向量的垂直也可以借助表示向量的有向线段来定义，教学时还可直接通过作图来向学生介绍．在讲解正交分解时，也可以从两个互相垂直的力来引入，进而强化学生对概念的理解．
设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1、形成定义
问题2：利用平面向量坐标的知识，是否可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式？
师生活动：学生自己类比直线上两点间的距离公式推导平面向量的两点间的距离公式，教师给出答案．
预设的答案：设A（），为平面直角坐标系中的两点，则，，所以，因此平面直角坐标系内两点之间的距离公式为．设线段AB的中点为，则
因此，x＝，这是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
设计意图：类比直线上两点的距离公式及中点公式得到平面向量在平面直角坐标系中的公式，增强学生自学的能力．
三、初步应用
例1 如图所示，已知A（－2，1），B（1，3），求线段AB的中点M与三等分点P，Q的坐标．
师生活动：引导学生表示向量，学生自己尝试解答问题．
预设的答案：显然，因为，又因为因此，
类似地，有，因此，
设计意图：通过实际例子让学生理解平面向量的坐标的求法．从而对平面向量有新的理解．
例2 已知平行四边形ABCD的三个顶点A（－2，1），B（2，2），C（3，4），而且A，B，C，D按照逆时针方向排列，求：
AB，AD；（2）D点的坐标．
师生活动：学生根据学习，自己进行运算．
预设的答案：（1），又因为AD＝BC，所以，
（2）由题意知所以因此，，从而D（－1，3）
设计意图：利用平面向量坐标表示求长度及坐标，巩固所学的知识．
问题3：设如果这两个向量平行，它们的坐标应该满足什么条件？
师生活动：学生同桌之间商量问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：
问题4：能否证明上述结论？
师生活动：教师给出证明过程．
预设的答案：当时，如果，由平面向量基本定理可知存在，使得，即因此所以如果，即＝（0，0），成立．
反过来当时，如果则有设这个比值为，则有，从而即，因此，．如果则有，设同样有，即，因此，．类似的，如果则有，因此，．从而，不管那种情况都有．
设计意图：通过证明巩固向量平行的坐标表示，有利于学生建立知识之间的联系，加深对公式本身的理解．
例3 已知，＝（1，y），，求y的值．
师生活动：学生利用公式求得问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：因为，所以，解得
设计意图：利用平面向量的平行关系求解题目，强化公式应用．
例4 在平面直角坐标系中，已知A（－2，－3），B（0，1），C（2，5）求证：A，B，C三点共线．
师生活动：学生利用公式求得问题的答案，教师给出解答．
预设的答案：由已知得，因为，所以，因此A，B，C三点共线．
设计意图：利用平面向量的平行关系求解题目，强化公式应用．
四、归纳小结，布置作业
问题5：（1）平面直角坐标系中两点之间的距离公式和中点公式分别是什么？
（2）向量平行的坐标表示是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．
预设的答案：（1）；x＝，这是平面直角坐标系内的中点坐标公式．
（2）
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解本节内容．
五、目标检测设计
1．已知点A（1，3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．
设计意图：考查学生对平面向量的单位向量的坐标的理解和应用．
2．已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
设计意图：考查学生对平面向量共线的运算．
3．（1）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）．若A＝A＋λA（λ∈R），试求λ为何值时，
①点P在一、三象限角平分线上；
②点P在第三象限内．
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），若（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值．
设计意图：考查学生对平面向量利用坐标进行计算的综合应用．
参考答案：
1．
解析：＝（3，－4），则与同方向的单位向量为＝（3，－4）＝．
2．解：由已知得，ka＋b＝（k－3，2k＋2），a－3b＝（10，－4），
∵ka＋b与a－3b平行，∴（k－3）×（－4）－10（2k＋2）＝0，解得k＝－．
此时ka＋b＝＝＝－（a－3b），
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
3．（1）设点P的坐标为（x，y），
则A＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
A＋λA＝[（5，4）－（2，3）]＋λ[（7，10）－（2，3）]
＝（3，1）＋λ（5，7）＝（3＋5λ，1＋7λ）．
∵A＝A＋λA，
∴则
①若P在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，
即λ＝时，点P在一、三象限角平分线上．
②若点P在第三象限内，则∴λ＜－1．
即λ＜－1时，点P在第三象限内．
（2）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），
2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝．
