第二十二章 二次函数专题卷A——核心考点归纳一点通（含答案）

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7.九年级数学（上）第22章《二次函数》专题卷A——核心考点归纳一点通
核心考点1 一个概念——二次函数的定义
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A.y＝ax2＋bx＋c B.y＝x2＋3x C．y＝(x＋1)2－x2 D.y＝＋x2
核心考点2 二次函数的两种常见形式
形式1 一般式y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数且a≠0）
2．二次函数y＝x2＋2x－3的二次项系数，一次项系数，常数项分别是： .
形式2 顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中顶点为（h，k）
3．关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标是（1，－2） B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．开口向上
核心考点3 抛物线的三要素
要素1 开口方向（及开口大小）
4已知抛物线y＝(3－m)x2的开口向上，抛物线y＝（2m－4）x2的开口向下，则m的取值范围是 .
要素2 对称轴
5．抛物线y＝（x＋1）2的对称轴是 .
要素3 顶点坐标
6．抛物线y＝2x2－4的顶点坐标是 .
核心考点4 二次函数的两种重要性质
性质1增减性：a＞0时，左减右增；a＜0时，左增右减
7．在二次函数y＝3（x＋2）2－4中，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大.
8．设点A（－3，y1），B（1，y2）C（2，y3）是地物线y＝（x＋2）2＋m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y2＞y1＞y3
性质2 最大（小）值，a＞0时有最小值，a＜0时有最大值，最值为抛物线顶点纵坐标
9．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当-3≤x≤0时，y的最大值为3，最小值是 .
核心考点5 抛物线与三种图形变换
图形变换1 平移（上加下减，左加右减）
10．将抛物线y＝－2x2＋3向右平移3个单位，再向下平移4个单位后所得到的抛物线为 .
图形变换2 轴对称
11．与抛物线y＝(x－2)2－1关于y轴对称的抛物线是 .
图形变换3 中心对称（或旋转180°）
12．将抛物线y＝－3(x＋1)2＋4绕原点旋转180°后，得到的新抛物线是 .
核心考点6 抛物线y＝ax2＋bx＋c上的几种特征点
特征点1 与x轴的交点
13．若方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－4，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标是 .
特征点2 与y轴的变点
14．如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致是（ ）
特证点3 （1，a＋b＋c），（－1，a－b＋c），（2，4a＋2b＋c）等
15，二次函数y＝x2－bx＋c，若b－c＝0，则它的图象一定过点（ ）
A.(－1，1) B.(1，1) C.(－1，1) D.(1，1)
核心考点7 二次函数与两种常用方法
方法1 待定系数法求二次函数的解析式
16.物线多y＝ax2＋bx＋c过（0，4），（1，3）、（－1，4）三点，求抛物线的解析式.
17．已知：二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x＝2，且过点（1，2），求此函数的解析式.
方法2 用配方法将二次函数的－式化成顶点式
18．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，求b，c的值。
核心考点8 与二次函数相联系的两种常见数学模型
模型1 二次函数与一元二次方程
19．若方程立ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为 ，对称轴为 .
20.已知二次函数y＝kx2－2x－1的图象和x轴有交点，则k的取值范是（ ）
A. k＞－1 B. k≥－1且k≠0 C. k≥－1 D．k＞－1且k≠0
模型2 二次函数与不等式
21．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）
A.x＜－1 B.x＞2 C.－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
第21题图 第22题图
22.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜O）如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集
是（ ）
A.x＜2 B.x＞－3 C.－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
核心考点9 二次函数的实际应用
应用1 图形的面积问题
23．如图，用一块长为50cm，宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm.
（1）底面的长AB＝_________cm，宽BC＝________cm（用含x的代数式表示）；
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积；
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大值？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由.
应用2 利润问题
24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为非负整数）
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某目，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人，问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
应用3 建立适当的坐标系
25．如图，排球运动员站在点O处练习发球；将球从点O正上方2米A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距（米）满足关系式y＝a（x－6）2＋h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米.
（1）当h＝2.6时，求y与x的函数关系式
（2）当h＝2.6时，球能否过球网？球会不会出界？说明理由；
（3）若球一定能越过球网，但又不出边界，则h的取值范围是多少？
应用4 分段函数问题
科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园，如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数，图中曲线对应的函数解析式为：
，10：00之后来的游客较少可忽略不计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式;
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外体息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入，请问馆外游客最多等待多少分钟？
7.九年级数学（上）第22章《二次函数》专题卷A——核心考点归纳一点通
核心考点1 一个概念——二次函数的定义
1．下列函数中是二次函数的是（ B ）
A . y＝ax2＋bx＋c B. y＝x2＋3x C．y＝(x＋1)2－x2 D. y＝＋x2
核心考点2 二次函数的两种常见形式
形式1 一般式y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数且a≠0）
2．二次函数y＝x2＋2x－3的二次项系数，一次项系数，常数项分别是：，2，－3
形式2 顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中顶点为（h，k）
3．关于抛物线y＝(x－1)2－2，下列说法错误的是（C）
A．顶点坐标是（1，－2） B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．开口向上
核心考点3 抛物线的三要素
要素1 开口方向（及开口大小）
4已知抛物线y＝(3－m)x2的开口向上，抛物线y＝（2m－4）x2的开口向下，则m的取值范围是m≤2
要素2 对称轴
5．抛物线y＝（x＋1）2的对称轴是直线x＝－1
要素3 顶点坐标
6．抛物线y＝2x2－4的顶点坐标是（0，－4）
核心考点4 二次函数的两种重要性质
性质1增减性：a＞0时，左减右增；a＜0时，左增右减
7．在二次函数y＝3（x＋2）2－4中，当x＜－2时，y随x的增大而减小，当x＞－2时，y随x的增大而增大.
8．设点A（－3，y1），B（1，y2）C（2，y3）是地物线y＝（x＋2）2＋m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（C）
A. y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3
性质2 最大（小）值，a＞0时有最小值，a＜0时有最大值，最值为抛物线顶点纵坐标
9．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当一3≤x≤0时，y的最大值为3，最小值是－5
核心考点5 抛物线与三种图形变换
图形变换1 平移（上加下减，左加右减）
10．将抛物线y＝－2x2＋3向右平移3个单位，再向下平移4个单位后所得到的抛物线为y＝－2(x＝3)2－1
图形变换2 轴对称
11．与抛物线y＝(x－2)2－1关于y轴对称的抛物线是y＝(x＋2)2－1
图形变换3 中心对称（或旋转180°）
12．将抛物线y＝－3(x＋1)2＋4绕原点旋转180°后，得到的新抛物线是y＝3(x－1)2－4
核心考点6 抛物线y＝ax2＋bx＋c上的几种特征点
特征点1 与x轴的交点
13．若方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－4，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标是（－4，0）
特征点2 与y轴的变点
14．如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致是（ D ）
特证点3 （1，a＋b＋c），（－1，a－b＋c），（2，4a＋2b＋c）等
15，二次函数y＝x2－bx＋c，若b－c＝0，则它的图象一定过点（ B ）
(－1，1) B. (1，1) C. (－1，1) D. (1，1)
核心考点7 二次函数与两种常用方法
方法1 待定系数法求二次函数的解析式
物线多y＝ax2＋bx＋c过（0，4），（1，3）、（－1，4）三点，求抛物线的解析式.
解：由题意知，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2x＋c
17．已知：二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x＝2，且过点（1，2），求此函数的解析式.
解：抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋4，则12＝a(1－2)2＋4，解得a＝－2
∴抛物线的解析式为y＝－2(x－2)2＋4.
方法2 用配方法将二次函数的－式化成顶点式
18．将抛物线y＝x2＋bx＋c先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，求b，c的值。
解：∵y＝2－2x＋1＝（x－1）2，原抛物线成为y＝（x－2）2＋2＝x2－4x＋6，
b＝－4，c＝6
核心考点8 与二次函数相联系的两种常见数学模型
模型1 二次函数与一元二次方程
19．若方程立ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为（－2，0），（4，0），对称轴为直线x＝1.
已知二次函数y＝kx2－2x－1的图象和x轴有交点，则k的取值范是（B）
A. k＞－1 B. k≥－1且k≠0 C. k≥－1 D．k＞－1且k≠0
模型2 二次函数与不等式
21．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（C）
A. x＜－1 B. x＞2 C. －1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
第21题图 第22题图
22.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜O）如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（ C ）
A.x＜2 B.x＞－3 C.－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
核心考点9 二次函数的实际应用
应用1 图形的面积问题
23．如图，用一块长为50cm，宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm.
（1）底面的长AB＝___________cm，宽BC＝__________cm（用含x的代数式表示）；
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积；
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大值？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由.
解：（1）（50－2x），（30－2x）
（2）依题意，得：（50－2x）（30－2x）＝300，
整理得：x2－40x＋300＝0，解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去），
当x1＝10时，盒子容积＝（50－20）（30－20）×10＝3000（cm3）；
（3）盒子的侧面积为：
S＝2x（50－2x）＋2x（30－2x）
＝100x－4x2＋60x－4x2＝－8(x－10)2＋800，
∵－8（x－10）≤0，∴－8（x－10）2＋800≤800，，当＝10时，S有最大值，最大值为800.
应用2 利润问题
24．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为非负整数）
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某目，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人，问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
解：（1）y＝－x＋50
（2）W＝（－x＋50）（120＋10x－20）＝（－x＋50）（10x＋100）＝－10（x－20）2
＋9000，所以当x＝20，即每间房价定价为10×20＋120＝320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.
（3）由－10（x－20）2＋9000＞5000且20（－x＋50）≤600得20≤x≤40，
当x＝40时，这天宾馆入住的游害人数最少有：2y＝2（－x＋50）＝2（－40＋50）＝20（人）
应用3 建立适当的坐标系
25．如图，排球运动员站在点O处练习发球；将球从点O正上方2米A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距（米）满足关系式y＝a（x－6）2＋h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米.
（1）当h＝2.6时，求y与x的函数关系式
（2）当h＝2.6时，球能否过球网？球会不会出界？说明理由；
（3）若球一定能越过球网，但又不出边界，则h的取值范围是多少？
解：（1）∵h＝2.6，球从O正上方2m的A处发出，∴抛物线y＝a（x－6）2＋h
过（0，2），∴2＝a（x－6）2＋2.6，解得a＝，∴y与x的关系式为y＝(x－6)2＋2.6
（2）当x＝9时，y＝（x－6）2＋2.6＝2.45＞2.43，球能过网，
当y＝0时，（x－6）2＋2.6＝0，解得：x＝6＋2＞18，x＝6－2（舍去），故会出界.
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x－6）2十h还过点（0，2），
代入解析式解得：，∴h≥.
应用4 分段函数问题
科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园，如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数，图中曲线对应的函数解析式为：
，10：00之后来的游客较少可忽略不计.
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式;
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外体息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入，请问馆外游客最多等待多少分钟？
解：（1）由围可如，30＝a×302，解a＝，n＝700，b×（30－90）2＋700＝300解得b＝，
y＝ ；（2）由题意知：57分钟.
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