第二十二章 二次函数专题卷B——核心考点归纳一点通（含答案）

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8.九年级数学（上）第22章《二次函数》专题卷B——核心思想方法归纳一点通
核心考点1 二次函数与面积
方法归纳1 面积→方程→坐标
1．已知抛物线y＝x2－2x＋3经过点B（3，6），与y轴交于点A（0，3），若点M是直线AB：y＝x＋3下方抛物线上的一点，且S△ABM＝3，求点M的坐标.
核心考点2 二次面数与全等
方法归纳2 全等→等线段→方程→坐标
2．如图，抛物线y＝－x2＋4ax－3经过点M（2，1），交x轴于A，B，交y轴负半轴于C，平移CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP＝CM，求点P的坐标.
核心考点3 二次函数与勾股定理
方法归的3 勾股→方程→坐标
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A，B，点A的坐标为（－1，0），交y轴于点C，其对称轴为x＝1.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P为直线x＝1上一点，当PA＝PC时，求y点P的坐标.
方法归纳4 角度→全等（或等腰）→等线段→方程→坐标
4．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD，抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由.
核心考点5 二次函数与平行四边形
方法归纳5 平行四边形→等线段→坐标.
5．如图，抛物线y＝x2－x－1上的三点的坐标分别为：A（－1，0），B（3，0），C（0，－1），点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q，P，A，B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标.
核心考点6 二次函数与根的判别式
方法归纳6 联立消y→判别式→求参数
抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为（4，0），直线∥BC且与该抛物线有唯一公共点M，求点M的坐标.
核心考点7 二次函数与根与系数的关系
方法归纳7 联立消y→根与系数的关系→求参数
7．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），将直线BC向下平移，与抛物线交于点B＇，C＇（B与B＇对应，C与C＇对应），与y轴交于点D，当点D是线段B＇C＇的三等分点时，求点D的坐标.
核心考点8 二次函数与最值
方法归納8 设参数→几何性质→二次函数→最值
8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x＋1过点A，交抛物线于另一点D．在AD上方抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于G，作FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值
核心考点9 二次函数与定值
方法归纳9 设参→几何性质→代数式→消参→定值
9．如图，点P为抛物线y＝－x2＋8在第一象限部分上一动点，y轴上有一点B（0，6），PC⊥x轴于C，试判断：PB＋PC的值是否为定值？说明理由.
核心考点10 二次函数与定点和定直线
方法归纳10 配方（分解因式）→定点→定直线
10．（1）证明：无论m为何实数，二次函数y＝x2－（2－m）x＋m的图象总是经过一定点.
（2）证明无论a取任何实数，抛物线y＝x2＋（a＋1）x＋a2－的顶点都在一条定直线上.
核心考点11 二次函数与公共点
方法归纳11 画图象一设参一联立消y→判别式→求范围
11．若直线y＝2x＋t与函数y＝的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是 .
方法归纳12 特征点→不等式（组）→求范国
12．已知关于x的方程y＝ax2－（a2－2）x－2a的图象与x轴的一个交点为（m，0）．若－2＜m＜－1．求a的取值范围.
8.九年级数学（上）第22章《二次函数》专题卷B——核心思想方法归纳一点通
核心考点1 二次函数与面积
方法归纳1 面积→方程→坐标
1．已知抛物线y＝x2－2x＋3经过点B（3，6），与y轴交于点A（0，3），若点M是直线AB：y＝x＋3下方抛物线上的一点，且S△ABM＝3，求点M的坐标.
解：方法一：设M（m，m2－2m＋3），过M作MN∥y轴交直线AB于点N，则N（m，m＋3），
∴MN＝－m2＋3m，│xB－xA│＝(－m2＋3m)×3＝3，
解得m1＝1，m2＝2，点M的坐标为（1，2）或（2，3）
方法二：过点M作ME∥AB交y轴于E，则S△ABM＝S△ABE＝ AE xB＝3，
∴AE＝2，E（0，1），∴ME：y＝x＋1联立，得M（1，2）或（2，3）
方法三：设M（a，b），则a2－2a＋3＝b，作ME⊥y轴于E，BF⊥y轴于F，
则可用S△ABM＝S梯MEFB－S△AEM－S△ABF＝3列方程求解.
核心考点2 二次面数与全等
方法归纳2 全等→等线段→方程→坐标
2．如图，抛物线y＝－x2＋4ax－3经过点M（2，1），交x轴于A，B，交y轴负半轴于C，平移CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP＝CM，求点P的坐标.
解：易求y＝－x2＋4x－3，C（0、－3），M（2，1），作ME⊥y轴于E，作PF⊥x轴于F，
易证△PDF≌△CME，∴PF＝CE＝4，∴yp＝－4，
由－x2＋4x－3＝－4得xp＝2＋，∴P（2＋，－4）.
核心考点3 二次函数与勾股定理
方法归的3 勾股→方程→坐标
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A，B，点A的坐标为（－1，0），交y轴于点C，其对称轴为x＝1.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P为直线x＝1上一点，当PA＝PC时，求y点P的坐标.
解：（1）＝－x2＋2x＋3
（2）设直线x＝1与x轴交于点G，过点C作CH⊥PG，垂足为H，HG＝OC＝3，
设P（1，m），在Rt△APG中，AG＝2，PG＝m，AP2＝m2＋4，
在RI△CPH中，PC2＝CH＋PH2＝12＋（3m)2＝m2－6m＋10，
∵PA＝PC，∴4＋m2＝m2－6m＋10，m＝1，∴P（1，1）
方法归纳4 角度→全等（或等腰）→等线段→方程→坐标
4．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC、BD，抛物线上是否存在一点P，使得∠PCB＝∠CBD，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由.
解：（，）点（4，－5），分两种情况：
①作∠BCP1＝∠CBD交第四象限的物线于P1，则CP1∥BD，∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），BD：y＝－2x＋6，易求：CP1：y＝－2x＋3，联立得P1（4，－5）.
②作∠BCP2＝∠CBD交第一象限的抛物线于P2交x轴于E，设直线BD交y轴于F，易证∠∠OBD＝∠OCE，△OCE≌△OBF，∵F（0，6），∴E（6，0），∴CE：y＝－x＋3，联立，得P2（，）
核心考点5 二次函数与平行四边形
方法归纳5 平行四边形→等线段→坐标.
5．如图，抛物线y＝x2－x－1上的三点的坐标分别为：A（－1，0），B（3，0），C（0，－1），点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q，P，A，B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标.
解：①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ＝AB＝4即可，
又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或－4，
这时合条件的点P有两个，分别记为P1，P2，
而当x＝4时，y＝；当x＝－4时，y＝7，此时P1（4，），P2（－4，7）.
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3，
而且当x＝2时y＝－1，此时P（2，－1），
满足条件的P为P1（4，），P2（－4，7），P3（2，－1）.
核心考点6 二次函数与根的判别式
方法归纳6 联立消y→判别式→求参数
抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为（4，0），直线∥BC且与该抛物线有唯一公共点M，求点M的坐标.
解：可得直线BC的解析式为y＝x－2，直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为y＝x＋b。当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程x＋b＝x2－x－2，由△＝0，知b＝－4．联立方程组可求交点M（2，－3）.
核心考点7 二次函数与根与系数的关系
方法归纳7 联立消y→根与系数的关系→求参数
7．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），将直线BC向下平移，与抛物线交于点B＇，C＇（B与B＇对应，C与C＇对应），与y轴交于点D，当点D是线段B＇C＇的三等分点时，求点D的坐标.
解：BC的解析式为y＝－3x＋3，设直线B＇C＇的解析式为y＝－3x＋t ，
则D（0，t）由得x2－x＋t－3＝0，
设B＇（x1，y1），C＇（x2，y2），则x1＋x2＝1，x1x2＝t－3，
∵点D是线段B＇C＇的三等分点，∴x2＝－3x1或x1＝－3x2；
当x2＝3x1时，x1－3x1＝1，求出t＝，D点坐标为（0，）；
当x1＝－3x2时；－3x2＋x2＝1，∴x2＝－（不符合题意，舍去），∴D（0，）
核心考点8 二次函数与最值
方法归納8 设参数→几何性质→二次函数→最值
8．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x＋1过点A，交抛物线于另一点D．在AD上方抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于G，作FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值
解：思路一：∠DAB＝45°，△FGH为等腰直角三角形，FG： HG： FH＝1：1：2，
设F（m，－m2＋m＋3），把y＝－m2＋2m＋3
代入y＝x＋1，xH＝－m2＋2m＋2，FH＝－m2＋2m＋2－m＝－m2＋m＋2，
C△FGH＝FH＋FG＋HG＝（＋1）FH＝－（＋1）（m－）2＋，
当m＝时，△FGH周长的最大值为.
思路二：将直线AD向上平移至与抛物线只有一个公共F时，FG最大，故△FGH周长最大，再用判别式△＝0求解.
核心考点9 二次函数与定值
方法归纳9 设参→几何性质→代数式→消参→定值
9．如图，点P为抛物线y＝－x2＋8在第一象限部分上一动点，y轴上有一点B（0，6），PC⊥x轴于C，试判断：PB＋PC的值是否为定值？说明理由.
解；过点P作PQ⊥y轴于Q．设P（x，x2＋8），
则PQ＝x，PC＝x2＋8，PB＝x2＋2，PB＋PC＝10，故PB＋PC的值为定值.
核心考点10 二次函数与定点和定直线
方法归纳10 配方（分解因式）→定点→定直线
10．（1）证明：无论m为何实数，二次函数y＝x2－（2－m）x＋m的图象总是经过一定点.
（2）证明无论a取任何实数，抛物线y＝x2＋（a＋1）x＋a2－的顶点都在一条定直线上.
证明：（1）可证x＝－1时，y＝3，故图早过定点（－1，3）
（2）可得项点（－，－），故顶点在直线y＝x上.
核心考点11 二次函数与公共点
方法归纳11 画图象一设参一联立消y→判别式→求范围
11．若直线y＝2x＋t与函数y＝的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是t＝－3或t＞－2
解：如图，图象与x交于A（1，0），B（－3，0），与y轴交于C（0，－3），
①当直线y＝2x＋t过点A（1，0）时，t＝－2，此时图象与直y＝2x＋t有3个公点，
②由得：x2－4x＋1－t＝0，△＝16－4（1－t）＝0，t＝－3，由得：x2－3－t＝0，△＝0－4（－3－t）＝0．t＝－3，当t＝－3时，图象与直线y＝2x＋t只有两个公共点：
综上所述，t的取值范围是t＝－3或t＞－2
方法归纳12 特征点→不等式（组）→求范国
12．已知关于x的方程y＝ax2－（a2－2）x－2a的图象与x轴的一个交点为（m，0）．若－2＜m＜－1．求a的取值范围.
解：今y＝0，得－（a2－2）x－2a＝0，得x1＝a，x2＝，
①当a＞0时，－2＜＜－1，得1＜a＜2，
②当a＜0时，－2＜a＜－1．
综上a的范围为1＜a＜2或－2＜a＜－1
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