2023-2024学年四川省成都市青羊区名校高三（上）开学数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市青羊区名校高三（上）开学数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
5. 若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 已知命题：若，则；命题：在中，是的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象与轴的交点为，且关于直线对称，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
9. 某单位共招聘名应届毕业生，其中男女分别有人，准备平均分配到个部门，其中有一个部门要求必须分配名女生，则不同的安排方法有( )
A. B. C. D.
10. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
11. 已知圆：过双曲线：的左、右焦点、，曲线与曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12. 若直线与函数图象交于不同的两点，，且点，若点满足，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知倾斜角为的直线与直线：垂直，则 ______ ．
14. 设，满足约束条件，则的最大值是______ ．
15. 直线与抛物线交于，两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则______．
16. 已知三棱锥中，，，当三棱锥体积最大时，的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列满足，，数列满足，．
证明：为等比数列；
数列满足，求数列的前项和．
18. 本小题分
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．
求证：平面平面；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19. 本小题分
年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
估计该组数据的中位数、众数；
由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值同一组数据用该区间的中点值作代表，利用该正态分布，求；
在的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
(ⅰ)得分不低于可获赠次随机话费，得分低于则只有次；
(ⅱ)每次赠送的随机话费和对应概率如下：
赠送话费单位：元
概率
现有一位市民要参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望．
附：，
若，则，
20. 本小题分
已知椭圆：左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点，为椭圆上一点．
求椭圆的方程；
已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足．
(ⅰ)若，求直线的斜率；
(ⅱ)若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围．
21. 本小题分
设．
证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；
求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；
设其中由给出，且，，求的最大值．
22. 本小题分
在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为为参数，点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为．
求的值；
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点，，与直线交于点，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当时，分母比分子变化的快，
则函数值无限靠近轴，但与轴不相交，
其此时，只有选项A满足．
故选：．
根据函数值的正负和时函数值变化情况即可判断求解．
本题考查函数的图象，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：实数，满足，
，
A.取，，不成立；
B.取，，不成立
C.取，，不成立；
D.由于在上单调递增，因此正确
故选：．
实数，满足，可得，对于分别举反例即可否定，对于：由于在上单调递增，即可判断出正误．
本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查对数的运算性质，属于基础题．
运用对数的运算性质，可得，即，则，展开运用基本不等式即可求得最小值．
【解答】
解：由，，，
则，
即有，
即，
则
，
当且仅当时，取得等号，
则的最小值为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，命题：若，则，必有，故为真命题；
对于，在中，若，由正弦定理可得，必有，
反之，若，则，由正弦定理可得，
故是的必要充分条件，为假命题；
故命题为真，命题、、为假命题．
故选：．
根据题意，先分析两个命题的真假，结合复合命题真假的判断方法分析可得答案．
本题考查命题真假的判定，注意复合命题真假的判断方法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：四棱锥，是正方体的一部分，
，，
所以四棱锥的体积：．
故选：．
利用三视图画出直观图，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由已知得，得，
的图象关于直线对称，则，，
结合得，代入得，
，
将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数，
时，，故，
故的最大值为．
故选：．
先结合三角函数图象的性质求出解析式，然后结合三角函数的性质求解．
本题考查三角函数的据图求式以及三角函数最值的求法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意单位共招聘名应届毕业生，其中男女分别有人，准备平均分配到个部门，其中有一个部门要求必须分配名女生可知，种．
故选：．
通过先分组，然后安排分配方法，求解即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，所以；
由，在内单调递增函数，得，即，又由，得；
因为，所以；
又因为，，即，所以，即有．
由以上综述得．
故选：．
参考中间值，利用幂函数、的单调性来判断．
本题考查不等式的作差法和函数的单调性，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，
可知圆心为，半径为，
令，则，即，
设，，则，
，，
，，
由为双曲线右支上一点，，
设，，则，，
，，
在中，，
即，即，
故，，，
双曲线的离心率为．
故选：．
由，令，得到，由为双曲线右支上一点，，设，，则，，再利用余弦定理即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了奇函数的性质与平面向量的应用问题，是中档题．
由直线过原点，函数是定义域上的奇函数；知直线与函数图象的交点，关于原点对称，得出，再由向量相等列方程组求出、的值，再求．
【解答】
解：直线，，直线过原点．
又函数，
且，
是定义域上的奇函数；
由直线与函数的图象交于不同的两点，，
则、关于原点对称，，
又点，，
，
即，
，
解得，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由已知，．
故答案为．
由题意可得：再利用倍角公式即可得出．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，满足约束条件的平面区域如下图所示：
平移直线，直线与圆弧相切时目标函数取得最大值，
圆的圆心，半径为，
所以，
目标函数经过时取得最大值为．
故答案为：．
先画出约束条件所表示的平面区域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距，即可求出最大值．
本题主要考查的知识点是简单的线性规划，直线与圆的位置关系的应用，画出满足约束条件的可行域是关键，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，设，，则，
所以，
联立可得，
所以，，
则，，
，
故，
故答案为：．
作图，设，，则，表示出，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，代入计算即可．
本题考查平面向量数量积的运算，考查直线与抛物线的综合，数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：取，的中点，，连接，，
，，，
又，平面，
，，
是的中点，，
，
，
令，则，
则，所以，
令，则，
当，，当，，
当，即时，三棱锥体积取最大值．
故答案为：．
取，的中点，，连接，，可得，利用换元法求最值可得的值．
本题考查空间几何体的体积的计算，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】证明：，，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
解：，
，
，
累加求和得到，
当时，，．
，
．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“累加法”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
由，变形为，即可证明．
由，可得，，利用累加求和方法可得，再利用“裂项求和”方法即可得出．
18.【答案】证明：平面平面，且平面平面，平面，，
平面，而平面，则．
，，，，得．
又，平面．
平面，平面平面；
解：在线段上取点，使，则，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
以为坐标原点，在平面内，过作垂直于的直线为轴，分别以、所在直线为、轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
由，取，得；
设平面的法向量为，
由，取，得．
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
【解析】由平面平面，得，再求解三角形证明，可得平面，进一步得到平面平面；
在线段上取点，使，则，可得平面以为坐标原点，在平面内，过作垂直于的直线为轴，分别以、所在直线为、轴，建立如图所示空间直角坐标系．然后求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
19.【答案】解：由，得，设中位数为，
由，
解得，由频率分布直方图可知众数为．
从这人问卷调查得到的平均值为
因为由于得分服从正态分布，
所以．
设得分不低于分的概率为，则，的取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：


所以．
【解析】由概率和为求得值；通过中位数结合频率分布直方图求解众数即可；
利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表，最后由期望公式求期望．
本题考查了频率分布直方图，随机变量的分布列及期望与正态分布，属于中档题．
20.【答案】解：易知，
所以，，
则，
解得，
又，
解得，
所以椭圆的方程为；
不妨设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，
因为，
所以，
由椭圆的对称性可得，，且四边形为平行四边形，
易知直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
联立，解得，
所以，
又，
所以，
则直线的斜率为；
(ⅱ)联立，消去并整理得，
因为，
解得，
所以，
而点到的距离，
则，
令
此时
故四边形的面积的取值范围为．
【解析】由题意，得到椭圆的左、右焦点坐标，根据椭圆的定义求出的值，结合，即可求出的值，进而可得椭圆的方程；
不妨设直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，利用椭圆的对称性可得，，且四边形为平行四边形，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理进行求解即可；
(ⅱ)将直线的方程与椭圆方程联立，利用根的判别式、弦长公式、点到直线的距离公式以及换元法进行求解即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，
考虑函数，易知在上单调递增，且，．
因此有且只有使得，
即的图象与直线有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为．
解：函数，
可得设是的图象上一点，
则该点处的切线为，
整理得令，解得或因此与与函数的图象相切．因此所求实数的值为或．
设，则．
设，则．
当时，；在上单调递增，
当时，在上单调递减．
从而在上单调递增，上单调递减．
注意到，故当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
所以当时，．
另一方面，注意到，
故必然存在，使得，且当时，，
当时，因此在上单调递减，在上单调递增．
显然，而．
因此当时，．
综上可知当时，，即，当且仅当时等号成立．由于，故当，即时，，当且仅当，即时等号成立．因此，当且仅当时等号成立．因此的最大值为．
【解析】构造函数，利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理，转化求解证明即可．
求出函数的解析式，利用函数的导数，求解切线方程，结合直线与函数的图象相切，转化求解即可．
构造函数，推出导数，设，则判断函数的单调性推出
当时，说明当时，，即，当且仅当时等号成立．推出时，，当且仅当，即时等号成立．可得，推出结果．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
22.【答案】解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，
曲线的直角坐标方程：，
直线的方程为，
点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为．
，解得．
Ⅱ曲线：，直线：，分别代入，
得，，
由知，即，
，即，
，，
故，
解得．
【解析】本题考查实数值和角的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
Ⅰ曲线的直角坐标方程：，从而，由此能求出．
Ⅱ曲线：，直线：，分别代入，得，，由知，由此能求出的值．
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