2023-2024学年甘肃省张掖市某重点校高二（上）暑期开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省张掖市某重点校高二（上）暑期开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
2. 的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在中，为线段上的一点，，且，( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4. 某校举办文艺汇演，高二班的大合唱“保卫黄河”的位评委的打分如下：，，，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 众数为
C. 分位数为 D. 第三四分位数为
5. 的值等于( )
A. B. C. D.
6. 已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. ，，则 B. ，，则
C. ，，则 D. ，，则
8. 在中，：：：：，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 不共线的三点确定一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
10. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，则下列叙述正确的是( )
A. 取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件
B. 至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件
C. 事件“两个球同色”，则
D. 事件“至少有一个红球”，则
11. 已知函数其中的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 在上的值域为
12. 已知平面四边形，是四边形所在平面内任意一点，则下列命题正确的是( )
A. 若，则四边形是平行四边形
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 是虚数单位，已知写出一个满足条件的复数 ______ ．
14. 已知向量，，若，则 ______ ．
15. 已知球的体积为，球的表面积是______．
16. 若函数在内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，满足，且，．
求；
若与的夹角为，求的值．
18. 本小题分
某学校派甲、乙两人组成“少年队”参加射击比赛，每轮比赛由甲、乙各射击一次，已知甲每轮射中的概率为，乙每轮射中的概率为在每轮比赛中，甲和乙射中与否互不影响，各轮比赛结果也互不影响．
求“少年队”在一轮比赛中恰好射中次的概率；
求“少年队”在三轮比赛中恰好射中次的概率．
19. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的面积．
20. 本小题分
如图，在正三棱柱中，已知，是的中点．
求直线与所成角的正切值；
求证：平面平面，并求点到平面的距离．
21. 本小题分
为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：
求出频率分布直方图中的值和这人的年龄的中位数及平均数；
从第，组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率．
22. 本小题分
如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点．
证明：平面平面；
在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值及直线与平面所成角的大小；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及特殊角，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在中，为线段上的一点，，且，
则：，
整理得：，
由于：，
所以：，．
故选：．
直接利用向量的共线的充要条件和向量的减法求出结果．
本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，向量的线性运算，属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：将这组数据按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，
对于，因为极差为，所以不正确；
对于，因为和出现的次数最多，都是次，所以众数为和，所以不正确；
对于，因为，所以分位数为，所以不正确；
对于，因为，所以第三四分位数为，所以D正确．
故选：．
将这组数据按照从小到大进行排列，再根据极差、众数和百分数的定义求解．
本题主要考查了极差、众数和百分数的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
代数式化简，再由两角和的余弦公式可得它的值．
本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：随机事件，，中，与互斥，与对立，
，，
，
．
故选：．
利用对立事件概率公式先求出，再由互斥事件概率加法公式能求出的值．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是对空间中的线与线、线与面，面与面的位置关系有着较强的空间感知能力，能运用相关的定理与条件对线面位置关系作出准确判断．
【解答】解：对于，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；
对于，，，则或，故B不正确；
对于，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；
对于，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：因为：：：：，
所以由正弦定理知：：：：：，
令，，，
由余弦定理有：．
故选：．
由正弦定理及已知设，，，再用余弦定理求即可．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确；
对于，由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确；
对于，由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知选项正确；
对于，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误；
故选：．
根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案．
本题考查平面的基本性质，涉及空间直线平行的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，A正确；
对于，至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误；
对于，事件发生的结果数为，实验的总结果数为，
所以，C正确；
对于，事件的对立事件结果数为，所以，所以，D正确．
故选：．
结合互斥事件和对立事件的概念进行分析即可．
本题主要考查互斥事件和独立事件的概念和计算方法，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象知，，，解得，
因为，所以，选项A正确；
因为，所以，解得；
又因为，所以，当时，，选项B错误；
因为，所以令，解得，
所以的图象关于直线对称，选项C正确；
因为当时，，所以，
所以在上的值域为，选项D正确．
故选：．
根据函数的部分图象求出、和的值，写出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，且故ABCD是平行四边形，所以A正确；
由，
可得，
即，
因此，所以为直角三角形，所以B正确；
由，平方可得，
即，但不一定是矩形，所以C错误；
作于，由于，
所以，
即，
故的轨迹一定通过的重心，所以D正确．
故选：．
由向量相等可判断；
由数量积的性质结合模的运算可判断和；
由向量的线性运算结合向量共线可判断．
本题主要考查平面向量的数量积和运算，属于中档题．
13.【答案】答案不唯一，满足均可
【解析】解：设，因为，
所以，即，
整理得，取得．
故答案为：答案不唯一，满足均可．
设，根据已知得，关系，然后可得答案．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
直接利用向量平行的坐标运算求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】
解：因为球的体积为，
所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题结合三角恒等变换和三角函数的图象及性质考查，考查数形结合思想，属于难题．
利用二倍角公式化简，再结合正弦函数的图象构建的不等式．
【解答】
解：．
如图，因为，所以在区间有且仅有一个最大值点等价于，解得故取值范围为．
17.【答案】解：因为，
又，，
所以；
因为，又，
所以．
【解析】按照数量积运算律展开条件式，代入模长即可求解；
根据向量的夹角公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得出．
本题考查平面向量数量积及其夹角的运算，属基础题．
18.【答案】解：设，分别表示甲、乙在第轮射中，
则，．
设表示“少年队”在一轮比赛中恰好射中次，
则，
所以“少年队”在一轮比赛中恰好射中次的概率为．
设，，，分别表示甲在三轮比赛中射中次，次，次，次，
，，，分别表示乙在三轮比赛中射中次，次，次，次，
表示“少年队”在三轮比赛中恰好射中次．
，，
，，
，，
，，
所以，
故“少年队”在三轮比赛中恰好射中次的概率为．
【解析】根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算即可；
根据二项分布算出甲和乙在三轮比赛中，射中次，次，次，次的概率，然后利用独立事件的乘法公式和概率的加法即可．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
19.【答案】解：已知，
由正弦定理可得，
整理得，
因为，所以，因为，所以．
由余弦定理可得，即，
即，解得或舍，
所以的面积为．
【解析】根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；
根据余弦定理可得，再根据面积公式求解即可．
本题考查解三角形，正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由正三棱柱的结构特征可知：，平面，为等边三角形；
直线与所成角即为，
平面，平面，，
因为是的中点，所以，
所以在中，，
即直线与所成角的正切值为．
证明：因为是的中点，为等边三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
在平面内作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，点到平面的距离即为的长，
由知：，，
，即，
点到平面的距离为．
【解析】通过平行线转化，从而找到直线与直线所成角，然后通过解三角形知识即可求解；
利用平面与平面垂直的判定定理即可证明；再作出点到平面的垂线段，然后利用等面积法即可求解．
本题考查求异面直线所成的角，以及面面垂直的判定和点到面的距离的求法，属于中档题．
21.【答案】解：根据频率分布直方图的性质可得：
，
解得，
设年龄的中位数为，
则，
解得，
平均数；
根据题意及分层抽样的概念可得：在第一组抽人，在第二组抽人，
再从这人中随机抽取人进行电话回访，
则这两人恰好属于同一组别的概率．
【解析】根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，平均数的概念，方程思想，即可分别求解；
根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质，中位数的概念，平均数的概念，分层抽样的概念，古典概型的概率公式，方程思想，属中档题．
22.【答案】解：证明：设与相交于点，连接，
四边形为菱形，，
，，
又，，平面，
则平面，
平面，
平面平面．
存在点满足题意，假设在上存在点，使得平面，
在线段上作点，过点作，交于，连接，，
，，则，故E，，，四点共面，
平面，平面，平面平面，
，故四边形为平行四边形，则，
点是靠近点的三等分点，
，，
∽，，
即在上存在点，使得平面，此时，
在中，，，
在知，又，，平面，平面，
过作，交于点，
故∽且，，则，则，
在中，，
，
连接，在中，，
平面，则为直线与平面所成的角，
在中，，，
直线与平面所成角的大小为．
【解析】根据菱形性质得，利用三线合一有，最后利用面面垂直的判定即可；
假设在上存在点，使得平面，通过线面平行的性质得，再利用∽即可得，过作，交于点，利用余弦定理求出，最后利用线面角的定义即可．
本题考查线面平行的性质的应用，属于中档题．
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