数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算（共18张ppt）

(共18张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
1．了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点）
3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）
学习目标
O
A
B
∠AOB
[0，π]
1.空间向量夹角
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
　 ②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
2.空间两个向量的数量积
注：性质①是证明两向量垂直的依据； 性质②是求向量的长度（模）的依据.
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b ＝ ______；若反向，则a·b ＝ ________.
特别地，a·a ＝____或 |a| ＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b| ≤ |a|·|b|
a·b＝0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
两个向量数量积的性质
如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，
BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
例题
D
阶段检测（一）
1、空间四边形OABC中，OB=OC,=,
则COS值是（ ）
A、 B、 C、 - D、 0
D
A. 12　　 B．8
C．4 D．13
阶段检测（一）
(2)
(1)
如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c = |a|cos，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线 l 投影 (图1.1-11 (2))
空间向量的投影
如图1.1-11（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
(3)
注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.
空间向量的运算律
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！
例1
已知:如图，PO，PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，，且.
求证：.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
逆命题成立吗
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
m
n
g
取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件 要证的目标可以转化为向量的什么目标 怎样建立向量的条件与向量的目标的联系
例2
m
n
g
以上命题中的真命题是 （ ）
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
阶段检测（二）
___________
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直.
2.求两点之间的距离或线段长度.
3.证明线面垂直.
4.求两直线所成角的余弦值等.
课堂小结