12.2.1 运用“边边边”证三角形全等 同步练习（含答案）

12.2 三角形全等的判定
第1课时 运用“边边边”证三角形全等
【知识重点】
知识点1 利用“SSS”判定三角形全等
1.基本事实 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
2.书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
特别提醒
在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列(一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧)，并用大括号将其括起来.
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
作一个角等于已知角 已知∠AOB(如图①)，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图②).
特别解读
作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是“SSS”，然后利用全等三角形的性质——对应角相等，说明作出的角等于已知角.
【经典例题】
【例1】如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB. 求证：△ABC≌△FDE.
解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.
方法点拨：运用“SSS”证明两个三角形全等主要就是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中. 常见的隐含的等边有：①公共边相等；②等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；③由中线的定义得出线段相等.
【例2】如图①，过点C作直线DE，使DE∥AB.
解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，那么下列结论正确的是(　　)
A．△ABC≌△A′B′C′ B．△ABC≌△C′A′B′
C．△ABC≌△B′C′A′ D．这两个三角形不全等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则直接由“SSS”可以判定(　　)
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．以上均不对
　　
第2题图　 第3题图 第4题图
3．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面的4个条件：
①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.
其中可利用的是(　　)
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
4．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于(　　)
A．120° B．125° C．130° D．135°
5．如图，已知AB＝CD，BC＝DA，下列结论：
①∠BAC＝∠DCA；②∠ACB＝∠CAD；③AB∥CD，BC∥DA.
其中正确的结论有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
　　
第5题图　 第6题图 第7题图
6．如图，已知AB＝6，AC＝9，DC＝6，要使△ABD≌△DCA，还需添加的条件是(　　)
A．DA＝5 B．DA＝6 C．DB＝9 D．DB＝6
7．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠A＝60°，∠E＝30°，则∠EBC的度数为(　　)
A．30° B．45° C.60° D．90°
8．如图，已知AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：
①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.
其中正确的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　
第8题图　 第9题图 第10题图
9．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是(　　)
A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30° D．∠1＝70°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F是BC边的四等分点，AE＝AF，则图中全等三角形共有(　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题
11．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是___.
12．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是_________.
13．如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE.若∠B＝40°，则∠C＝ .
　 　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．如图，△ACD与△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，若∠ACE＝80°，∠BCD＝160°，AD与BE相交于P点，则∠ACB的度数为 ，∠APB的度数为 .
15．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，直线BC与AD，DE分别交于点F，G，且∠DGB＝65°，∠EAB＝120°，则∠CAD的度数为_________.
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连接AC. 求证：△ABC≌△CDA.
17．如图，AC＝BD，BC＝AD.求证：△ABC≌△BAD.
18．如图，在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AC＝DC.若∠A＝25°，∠BCD＝35°，求∠ABD的度数．
19．如图，BE＝CD，BD＝CE.
(1)求证：∠ABD＝∠ACE；
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
20．已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点在一条直线上．
(1)如图①，点B在线段DE上，求证：∠DAE＝∠BAC；
(2)如图②，点B在线段ED的延长线上，请直接写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系为____________________________________.
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是边AB上一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE＝BF，AE＝EF＋BF.
(1)求证：∠ACE＝∠CBF.
(2)判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
【经典例题】
【例1】如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB. 求证：△ABC≌△FDE.
解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.
证明：∵ AD＝FB，∴ AD＋DB＝FB＋DB，即AB＝FD.
在△ABC和△FDE中，
∴△ABC≌△FDE(SSS).
方法点拨：运用“SSS”证明两个三角形全等主要就是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等以外，还有些相等的边隐含在题设或图形中. 常见的隐含的等边有：①公共边相等；②等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；③由中线的定义得出线段相等.
【例2】如图①，过点C作直线DE，使DE∥AB.
解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线.
解：作法如下：
(1)过点C作直线MN与AB相交，交点为F；
(2)在直线MN的右侧作∠FCE，使∠FCE＝∠AFC；
(3)反向延长CE，则直线DE即为所求(如图②).
【同步练习】
一、选择题
1．如图，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，那么下列结论正确的是(　A　)
A．△ABC≌△A′B′C′ B．△ABC≌△C′A′B′
C．△ABC≌△B′C′A′ D．这两个三角形不全等
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则直接由“SSS”可以判定(　B　)
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．以上均不对
　　
第2题图　 第3题图 第4题图
3．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC≌△FED时，下面的4个条件：
①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.
其中可利用的是(　A　)
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
4．如图，AC＝BD，AO＝BO，CO＝DO，∠D＝30°，∠A＝95°，则∠AOB等于(　B　)
A．120° B．125° C．130° D．135°
5．如图，已知AB＝CD，BC＝DA，下列结论：
①∠BAC＝∠DCA；②∠ACB＝∠CAD；③AB∥CD，BC∥DA.
其中正确的结论有(　D　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
　　
第5题图　 第6题图 第7题图
6．如图，已知AB＝6，AC＝9，DC＝6，要使△ABD≌△DCA，还需添加的条件是(　C　)
A．DA＝5 B．DA＝6 C．DB＝9 D．DB＝6
7．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠A＝60°，∠E＝30°，则∠EBC的度数为(　D　)
A．30° B．45° C.60° D．90°
8．如图，已知AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：
①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.
其中正确的个数为(　D　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　
第8题图　 第9题图 第10题图
9．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是(　C　)
A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE
C．∠ACE＝30° D．∠1＝70°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F是BC边的四等分点，AE＝AF，则图中全等三角形共有(　C　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题
11．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是___.
【答案】③
12．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是_________.
【答案】SSS
13．如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE.若∠B＝40°，则∠C＝ .
【答案】40°
　 　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．如图，△ACD与△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，若∠ACE＝80°，∠BCD＝160°，AD与BE相交于P点，则∠ACB的度数为 ，∠APB的度数为 .
【答案】40° 40°
15．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，直线BC与AD，DE分别交于点F，G，且∠DGB＝65°，∠EAB＝120°，则∠CAD的度数为_________.
【答案】10°
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连接AC. 求证：△ABC≌△CDA.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS)．
17．如图，AC＝BD，BC＝AD.
求证：△ABC≌△BAD.
证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SSS)．
18．如图，在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AC＝DC.若∠A＝25°，∠BCD＝35°，求∠ABD的度数．
解：在△ABC和△DBC中，
∴△ABC≌△DBC(SSS)．
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCB，∠ABC＝∠DBC.
∴∠ABE＝∠DBE.
∵∠A＝25°，∠BCD＝∠ACB＝35°，
∴∠ABE＝∠A＋∠ACB＝25°＋35°＝60°.
∴∠ABD＝2∠ABE＝120°.
19．如图，BE＝CD，BD＝CE.
(1)求证：∠ABD＝∠ACE；
(2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
解：(1)证明：连接BC，可用SSS证明△BEC≌△CDB，
可得∠EBC＝∠DCB，
∠1＝∠2，
∴∠EBC－∠2＝∠DCB－∠1，
∴∠ABD＝∠ACE.
(2)构造全等三角形．
20．已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点在一条直线上．
(1)如图①，点B在线段DE上，求证：∠DAE＝∠BAC；
(2)如图②，点B在线段ED的延长线上，请直接写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系为____________________________________.
解：(1)证明：在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC.∴∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC.
(2)【答案】∠ADE＋∠AEC＝180°
21．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是边AB上一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，若CE＝BF，AE＝EF＋BF.
(1)求证：∠ACE＝∠CBF.
证明：∵AE＝EF＋BF，CE＝BF，
∴AE＝EF＋CE＝CF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF(SSS)，∴∠ACE＝∠CBF.
(2)判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
解：AC⊥BC.理由如下：
由(1)知△ACE≌△CBF，∴∠CAE＝∠BCF.
∵AE⊥CF，∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠BCF＋∠ACE＝90°，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.