12.2.2运用“边角边”证三角形全等 同步练习（含答案）

12.2 三角形全等的判定
第2课时 运用“边角边”证三角形全等
【知识重点】
知识点 利用“SAS”判定三角形全等
1. 基本事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
2. 书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中 ，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
要点提醒
1. 相等的元素：两边及这两边的夹角.
2. 书写顺序：边→角→边.
特别解读
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
【经典例题】
【例】如图，点C是AB的中点，AD＝CE， 且AD∥ CE. 求证：△ACD≌△CBE.
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等.
【同步练习】
一、选择题
1．下列三角形与△ABC全等的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，补充下列哪一个条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF？(　　)
A．BF＝EC B．∠ACB＝∠DFE C．AC＝DF D．∠A＝∠D
　 　
第2题图　 第3题图 第4题图
3．如图，AD⊥BC于D，BD＝DC，点E在AD上，则图中全等三角形共有 (　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　　)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
5．如图，AB＝CD，EC＝FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的(　　)
A．AE∥DF B．CE∥BF C．∠A＝∠D D．∠E＝∠F
　 　
第5题图　 第6题图 第7题图
6．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，若∠B＝30°，则∠D的度数为(　　)
A．20°　　B．30°　　C．40°　　D．无法确定
7．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有(　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.下列结论不正确的是(　　)
A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD ≌△ACE
C．AB＝BC D．BD＝CE
　 　
第8题图　 第9题图 第10题图
9．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于(　　)
A．150° B．180° C．210° D．225°
10．在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.
证明：如图，作______.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C.
其中，横线上应补充的条件是(　　)
A．BC边上的高AD B．BC边上的中线AD
C．∠A的平分线AD D．以上都不对
二、填空题
11．【2021·济宁】如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件______________________，使△ABC≌△ADC.
　 　
第11题图　 第12题图 第13题图
12．如图，已知AB⊥BD，垂足为点B，ED⊥BD，垂足为点D，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE＝ .
13．如图，有一块三角形的镜子，马虎不小心将其打破成了1,2两块，现在需要配成同样大小的一块，为了方便起见，只要带上第___块，其理由是_______________ _____________________的两个三角形全等．
14．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)离地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降30 cm时，这时小明离地面的高度是_____________.
15．观察下列结论：
(1)如图①，在正三角形ABC中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___CM，∠NOC＝______°；
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___DM，∠NOD＝______°；
(3)如图③，在正五边形ABCDE中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___EM，∠NOE＝_____°；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于点O，也会有类似的结论，你的结论是________________________________.
　
第14题图　 第15题图
三、解答题
16．【2021·大连】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.求证：BC＝EF.
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACD.
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD.
19．如图，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2.
(1)求证：BC＝ED；
(2)若∠B＝50°，求∠E的度数．
20．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于点F.
(1)求证：AE＝BD；
(2)试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．
21．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线．
求证：(AB－AC)＜AD<(AB＋AC)．
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参考答案
【经典例题】
【例】如图，点C是AB的中点，AD＝CE， 且AD∥ CE. 求证：△ACD≌△CBE.
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形全等.
证明：∵点C是AB的中点，∴ AC＝CB.
∵ AD∥CE，∴∠CAD＝∠BCE.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SAS).
【同步练习】
一、选择题
1．下列三角形与△ABC全等的是(　B　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，补充下列哪一个条件后，能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF？(　A　)
A．BF＝EC B．∠ACB＝∠DFE C．AC＝DF D．∠A＝∠D
　 　
第2题图　 第3题图 第4题图
3．如图，AD⊥BC于D，BD＝DC，点E在AD上，则图中全等三角形共有 (　C　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　B　)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
5．如图，AB＝CD，EC＝FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的(　B　)
A．AE∥DF B．CE∥BF C．∠A＝∠D D．∠E＝∠F
　 　
第5题图　 第6题图 第7题图
6．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，若∠B＝30°，则∠D的度数为(　B　)
A．20°　　B．30°　　C．40°　　D．无法确定
7．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有(　C　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.下列结论不正确的是(　C　)
A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD ≌△ACE
C．AB＝BC D．BD＝CE
　 　
第8题图　 第9题图 第10题图
9．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于(　B　)
A．150° B．180° C．210° D．225°
10．在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.
证明：如图，作______.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C.
其中，横线上应补充的条件是(　C　)
A．BC边上的高AD B．BC边上的中线AD C．∠A的平分线AD D．以上都不对
二、填空题
11．【2021·济宁】如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件______________________，使△ABC≌△ADC.
【答案】AD＝AB(答案不唯一)
　 　
第11题图　 第12题图 第13题图
12．如图，已知AB⊥BD，垂足为点B，ED⊥BD，垂足为点D，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE＝ .
【答案】90°
13．如图，有一块三角形的镜子，马虎不小心将其打破成了1,2两块，现在需要配成同样大小的一块，为了方便起见，只要带上第___块，其理由是_______________ _____________________的两个三角形全等．
【答案】1 两边和它们的夹角对应相等
14．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)离地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降30 cm时，这时小明离地面的高度是_____________.
【答案】80cm
　
第14题图　 第15题图
15．观察下列结论：
(1)如图①，在正三角形ABC中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___CM，∠NOC＝______°；
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___DM，∠NOD＝______°；
(3)如图③，在正五边形ABCDE中，M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN___EM，∠NOE＝_____°；
…
【答案】＝ 60 ＝ 90 ＝ 108
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于点O，也会有类似的结论，你的结论是________________________________.
【答案】A1N＝AnM，∠NOAn＝
三、解答题
16．【2021·大连】如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF.求证：BC＝EF.
证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.
∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴BC＝EF.
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
18．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD.
证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，
即∠COD＝∠AOB.
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(SAS)．
19．如图，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2.
(1)求证：BC＝ED；
(2)若∠B＝50°，求∠E的度数．
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD.即∠CAB＝∠DAE.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)．∴BC＝ED.
(2)由(1)，得△ABC≌△AED，∴∠B＝∠E.
∵∠B＝50°，∴∠E＝50°.
20．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于点F.
(1)求证：AE＝BD；
(2)试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD.
(2)AE⊥BD.证明如下：
∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠FBE.
∵∠AEC＝∠BEF，∴∠BFE＝∠ACE＝90°.
∴AE⊥BD.
21．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线．
求证：(AB－AC)＜AD<(AB＋AC)．
【解析】本题可以运用倍长中线法构造全等三角形，利用全等三角形的性质，将三条线段转化到一个三角形中，然后利用三角形的三边关系来解决．涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，可以将分居中线两旁的两条边集中于同一个三角形中，以利于问题的解决.
证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
则AE＝2AD.
∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD.
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD(SAS)．　∴AC＝EB.
在△ABE中，AB－BE＜AE即AB－AC＜2AD