12.2.3运用“角边角”和“角角边”证三角形全等 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 12.2.3运用“角边角”和“角角边”证三角形全等 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-11 11:42:01 | ||
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文档简介
12.2 三角形全等的判定
第3课时 运用“角边角”和“角角边”证三角形全等
【知识重点】
知识点1 利用“ASA”判定三角形全等
1. 基本事实 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
2. 书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
特别解读
1. 相等的元素：两角及两角的夹边.
2. 书写顺序：角→边→角.
3. 夹边即两个角的公共边.
知识点2 利用“AAS”判定三角形全等
1. 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
2. 书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
3. “ASA”和“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS” 可由“ASA”推导得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
特别解读
1. 判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2. 在两个三角形的六个元素(三条边和三个角) 中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4 个：“SSS”“SAS” “ASA” 和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”(“ASS”).
【经典例题】
【例1】如图，已知AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE，且点B，E，C，F在一条直线上. 求证：△ABC≌△DFE.
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：△BOD≌△COE.
解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，其中最省事的办法是( )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．∠BAD＝∠CAD B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，能够判定全等的两个三角形是( )
A．①和② B．②和④ C．①和③ D．③和④
4．【2021·重庆】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得能直接利用“ASA”判定△AOB≌△DOC，你补充的条件是( )
A．OA＝OD B．OB＝OC C．AB＝CD D．OA＝OC
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．如图，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE为 ( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论不正确的是( )
A．CD＝DN B．∠1＝∠2 C．BE＝CF D．△ACN≌△ABM
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则此图中共有全等三角形的组数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
11．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN ≌△ABM.其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
13．______分别相等且其中一组______的______相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
14．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____________________.
15．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB ≌△AEC，根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是： .
16．如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，若BC＝4，△AOB的周长为10，则△DCB的周长为 .
第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则C点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，AB＝AE， ∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC≌△AED.
19．如图，在△ABE和△CDF中，点C，E，F，B在同一直线上，BF＝CE.若AE∥FD，∠A＝∠D.求证：AB＝DC.
20．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
21．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D.
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
22．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝BC，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线C，D上，请解答下面的两个问题：
(1)如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE___CF，EF___|BE－AF|(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件：______________________，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在BC边上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是___.
23．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系是______________；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，已知AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE，且点B，E，C，F在一条直线上. 求证：△ABC≌△DFE.
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
证明：∵ AB∥DF，且点B，E，C，F在一条直线上，
∴∠B＝∠F.
∵ AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(ASA).
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：△BOD≌△COE.
解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴∠B＝∠C.
∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ BD＝CE.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD ≌△COE(AAS).
【同步练习】
一、选择题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，其中最省事的办法是( C )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( A )
A．∠BAD＝∠CAD B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，能够判定全等的两个三角形是( D )
A．①和② B．②和④ C．①和③ D．③和④
4．【2021·重庆】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得能直接利用“ASA”判定△AOB≌△DOC，你补充的条件是( A )
A．OA＝OD B．OB＝OC C．AB＝CD D．OA＝OC
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( B )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．如图，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE为 ( C )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论不正确的是( A )
A．CD＝DN B．∠1＝∠2 C．BE＝CF D．△ACN≌△ABM
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则此图中共有全等三角形的组数为( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( D )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
11．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN ≌△ABM.其中正确的有 ( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
【答案】夹角 ASA 角边角
13．______分别相等且其中一组______的______相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
【答案】两角 等角 对边 角角边 AAS
14．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____________________.
【答案】AC＝BC(答案不唯一)
15．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB ≌△AEC，根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是： .
【答案】ASA或AAS CDE SAS
16．如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，若BC＝4，△AOB的周长为10，则△DCB的周长为 .
【答案】14
第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则C点的坐标为 ．
【答案】(1，3)
三、解答题
18．如图，AB＝AE， ∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(AAS)．
19．如图，在△ABE和△CDF中，点C，E，F，B在同一直线上，BF＝CE.若AE∥FD，∠A＝∠D.求证：AB＝DC.
证明：∵AE∥FD，
∴∠AEB＝∠DFC.
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
∴BE＝CF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB＝DC.
20．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(米)．
21．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D.
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
解：(1)证明：∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠BCA＝∠ECF.
在△ABC和△FEC中，
∴△ABC≌△FEC.∴AB＝FE.
(2)∵AB∥CE，∴∠B＝∠ECF.
∴∠B＝∠E＝∠BCA＝∠ECF.
∵ED⊥AC，∴∠E＋∠BCA＋∠ECF＝90°.
∴∠B＝∠E＝∠BCA＝∠ECF＝30°.
∴∠A＝180°－∠B－∠BCA＝120°.
22．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝BC，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线C，D上，请解答下面的两个问题：
(1)如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE___CF，EF___|BE－AF|(填“＞”“＜”或“＝”)；
【答案】＝ ＝
(2)如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件：______________________，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
【答案】∠α＋∠BCA＝180°
解：(2)在图②中，∵∠CFA＋∠BCA＝180°，
∴∠CFA＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
∵∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF.
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF－CE|＝|BE－AF|.
(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在BC边上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是___.
【答案】6
23．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系是______________；
【答案】AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论．
【解析】延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”说明△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，再利用平行线的性质与角平分线的定义可得∠FAG＝∠G，进而可得结论．
解：AB＝CF＋AF.
如图，延长AE交DF的延长线于点G.
∵E是BC的中点，∴CE＝BE.
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.
又∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC(AAS)．∴AB＝GC.
∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.
∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.
过点F作AG的垂线，垂足为H，则∠FHA＝∠FHG＝90°，
又∵FH＝FH，∠FAG＝∠G，
∴△FHA≌△FHG.∴AF＝GF.
∵CG＝CF＋GF，∴AB＝CF＋AF.
第3课时 运用“角边角”和“角角边”证三角形全等
【知识重点】
知识点1 利用“ASA”判定三角形全等
1. 基本事实 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
2. 书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
特别解读
1. 相等的元素：两角及两角的夹边.
2. 书写顺序：角→边→角.
3. 夹边即两个角的公共边.
知识点2 利用“AAS”判定三角形全等
1. 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
2. 书写格式 如图，
在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
3. “ASA”和“AAS”的区别与联系
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS” 可由“ASA”推导得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
特别解读
1. 判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2. 在两个三角形的六个元素(三条边和三个角) 中，由已知的三个元素可判定两个三角形全等的组合有4 个：“SSS”“SAS” “ASA” 和“AAS”，不能判定两个三角形全等的组合是“AAA”和“SSA”(“ASS”).
【经典例题】
【例1】如图，已知AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE，且点B，E，C，F在一条直线上. 求证：△ABC≌△DFE.
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：△BOD≌△COE.
解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.
【同步练习】
一、选择题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，其中最省事的办法是( )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．∠BAD＝∠CAD B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，能够判定全等的两个三角形是( )
A．①和② B．②和④ C．①和③ D．③和④
4．【2021·重庆】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得能直接利用“ASA”判定△AOB≌△DOC，你补充的条件是( )
A．OA＝OD B．OB＝OC C．AB＝CD D．OA＝OC
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．如图，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE为 ( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论不正确的是( )
A．CD＝DN B．∠1＝∠2 C．BE＝CF D．△ACN≌△ABM
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则此图中共有全等三角形的组数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
11．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN ≌△ABM.其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
13．______分别相等且其中一组______的______相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
14．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____________________.
15．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB ≌△AEC，根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是： .
16．如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，若BC＝4，△AOB的周长为10，则△DCB的周长为 .
第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则C点的坐标为 ．
三、解答题
18．如图，AB＝AE， ∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC≌△AED.
19．如图，在△ABE和△CDF中，点C，E，F，B在同一直线上，BF＝CE.若AE∥FD，∠A＝∠D.求证：AB＝DC.
20．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
21．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D.
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
22．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝BC，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线C，D上，请解答下面的两个问题：
(1)如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE___CF，EF___|BE－AF|(填“＞”“＜”或“＝”)；
(2)如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件：______________________，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在BC边上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是___.
23．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系是______________；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，已知AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE，且点B，E，C，F在一条直线上. 求证：△ABC≌△DFE.
解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.
证明：∵ AB∥DF，且点B，E，C，F在一条直线上，
∴∠B＝∠F.
∵ AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(ASA).
【例2】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：△BOD≌△COE.
解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴∠B＝∠C.
∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ BD＝CE.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD ≌△COE(AAS).
【同步练习】
一、选择题
1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，其中最省事的办法是( C )
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去
第1题图 第2题图 第4题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( A )
A．∠BAD＝∠CAD B．∠BAC＝90° C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，能够判定全等的两个三角形是( D )
A．①和② B．②和④ C．①和③ D．③和④
4．【2021·重庆】如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD
5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得能直接利用“ASA”判定△AOB≌△DOC，你补充的条件是( A )
A．OA＝OD B．OB＝OC C．AB＝CD D．OA＝OC
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是( B )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．如图，BE＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE为 ( C )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论不正确的是( A )
A．CD＝DN B．∠1＝∠2 C．BE＝CF D．△ACN≌△ABM
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则此图中共有全等三角形的组数为( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上的两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( D )
A．a＋c B．b＋c C．a－b＋c D．a＋b－c
11．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN ≌△ABM.其中正确的有 ( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
【答案】夹角 ASA 角边角
13．______分别相等且其中一组______的______相等的两个三角形全等，简写成“________”或“________”．
【答案】两角 等角 对边 角角边 AAS
14．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____________________.
【答案】AC＝BC(答案不唯一)
15．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，可先证△AEB ≌△AEC，根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是： .
【答案】ASA或AAS CDE SAS
16．如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，若BC＝4，△AOB的周长为10，则△DCB的周长为 .
【答案】14
第16题图 第17题图
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则C点的坐标为 ．
【答案】(1，3)
三、解答题
18．如图，AB＝AE， ∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(AAS)．
19．如图，在△ABE和△CDF中，点C，E，F，B在同一直线上，BF＝CE.若AE∥FD，∠A＝∠D.求证：AB＝DC.
证明：∵AE∥FD，
∴∠AEB＝∠DFC.
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
∴BE＝CF.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB＝DC.
20．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD＝AB＝20(米)．
21．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC交于点D.
(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
解：(1)证明：∵CB为∠ACE的平分线，
∴∠BCA＝∠ECF.
在△ABC和△FEC中，
∴△ABC≌△FEC.∴AB＝FE.
(2)∵AB∥CE，∴∠B＝∠ECF.
∴∠B＝∠E＝∠BCA＝∠ECF.
∵ED⊥AC，∴∠E＋∠BCA＋∠ECF＝90°.
∴∠B＝∠E＝∠BCA＝∠ECF＝30°.
∴∠A＝180°－∠B－∠BCA＝120°.
22．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝BC，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α，若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线C，D上，请解答下面的两个问题：
(1)如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE___CF，EF___|BE－AF|(填“＞”“＜”或“＝”)；
【答案】＝ ＝
(2)如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件：______________________，使(1)中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
【答案】∠α＋∠BCA＝180°
解：(2)在图②中，∵∠CFA＋∠BCA＝180°，
∴∠CFA＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
∵∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF.
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF，CE＝AF，
∴EF＝|CF－CE|＝|BE－AF|.
(3)拓展应用：如图③，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在BC边上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为18，则△ACF与△BDE的面积之和是___.
【答案】6
23．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系是______________；
【答案】AD＝AB＋DC
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论．
【解析】延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”说明△AEB≌△GEC，可得AB＝CG，再利用平行线的性质与角平分线的定义可得∠FAG＝∠G，进而可得结论．
解：AB＝CF＋AF.
如图，延长AE交DF的延长线于点G.
∵E是BC的中点，∴CE＝BE.
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.
又∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC(AAS)．∴AB＝GC.
∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.
∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.
过点F作AG的垂线，垂足为H，则∠FHA＝∠FHG＝90°，
又∵FH＝FH，∠FAG＝∠G，
∴△FHA≌△FHG.∴AF＝GF.
∵CG＝CF＋GF，∴AB＝CF＋AF.