江西省乐安县2023-2024学年高二上学期入学检测数学试题（含解析）

乐安县2023-2024学年高二上学期入学检测
数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z的共轭复数是，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知空间中的两个不同的平面，，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设，则有（ ）
A． B． C． D．
7．在平面四边形ABCD中，，若P为边BC上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线、的长分别为、，水深为.则玻璃容器里面水的体积是（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．若函数是偶函数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（ ）

A． B．是等腰直角三角形
C． D．的面积为
11．已知,则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增
12．已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（ ）
A．直线平面APD
B．异面直线EF、PD所成角的大小为
C．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为
D．存在点M使得平面MEF
三、填空题（共20分）
13．若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 .
14．设向量，向量b上的单位向量为，则向量在向量上的投影向量为 ．
15．在中，，则的取值范围 .
16．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且∥平面EFG，则P点的轨迹长度为

四、解答题（共70分）
17．已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
18．已知复数，．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，，求三角形的面积.
20．已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为．
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)求函数在上的单调递增区间．
21．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．

(1)求挖掉的正三棱柱的体积；
(2)求该几何体的表面积．
22．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.
1．C
由解得，故.
又，所以.
故选C.
2．B
设复数，，则，因，即，
即，则，解得，因此，，
所以.
故选：B
3．B
两个不同的平面，，直线平面，
当时，或，不充分；当时，，必要.
故选：B.
4．C
由可得 ，
故，
而，
故，
即，
故选：C
5．D
由题意得，，
由余弦定理得，，
所以.
故选：D
6．A
，即；
，，
，即，
所以.
故选：A
7．B
因为三角形中，，
所以是边长为2的等边三角形，则
以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，

则，设，则，
故，
显然当时，取得最小值，
故选：B.
8．A
设水面（上底面）的所在正方形的边长为，
由题意可知，正方形的边长为，正方形的边长为，
将正四棱台的各侧棱延长交于点，
设正四棱锥的为，则，解得，
因为，解得，
因此，水的体积为.

故选：A.
9．ABD
由函数是偶函数，可得，即，
则，解得，
当时，可得，无论取何值，都不可能等于或或．
故选：ABD．
10．ABC
画出原图如下图所示，
根据斜二测画法的知识可知：，
三角形是等腰直角三角形，面积为.
所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC

11．ABC
因为,定义域为,
,所以是偶函数,故A正确;
的最小正周期为,故B正确;
,所以是图象的一个对称中心,故C正确;
令,
解得,
即的单调递增区间为,故D错误.
故选:ABC.
12．AC
对于选项A，取PD中点N，连接EN，AN，
因为E是PC的中点，所以且，
又因为四边形是正方形，F是AB的中点，
所以且，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于选项B，因为，所以就是异面直线EF、PD所成的角（或其补角）.
因为是边长为的正三角形，点N是PD中点，所以，
所以异面直线EF、PD所成角的大小为，故B错误；
对于选项C，连接交于点，连接，
则为四棱锥的高，取中点，
连接.又因为点N是PD中点，所以,且，
即平面，又因为，
所以就是直线EF与平面ABCD所成的角，，
所以，在中，，
所以.又，
所以在中，，
即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为，故C正确；
对于选项D，要使存在点M使得平面MEF，需满足，
但与不垂直，所以不存在点M使得平面MEF，
下面用反证法证明与不垂直.假设，则，
又因为，，，平面，
所以平面.又平面，所以，
又，平面，所以平面.
又平面，所以，
而在中，点分别是的中点，所以，矛盾，
所以假设不成立，故D错误.
故选：AC.
13．
因为，又扇形的圆心角为，半径为，
所以它的弧长为，
故答案为：
14．
由题意可得：，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
15．
在中，因为，可得，所以，
则，
因为，可得，则，所以，
可得，所以.
故答案为：.
16．2
因为∥，则四点共面，
连接，
因为E，F分别为所在棱的中点，则∥，
且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，
因为F，G分别为所在棱的中点，则∥，
且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，
，平面，
所以平面FGE∥平面，且平面平面，
可得当且仅当点P在棱BC上时，即平面，满足∥平面EFG，
所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.
故答案为：2.

17．(1)
(2)
（1），
由，得，
所以；
（2）由，得，
则.
18．(1)；
(2)
（1）是纯虚数，
故，解得
（2）因为在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
19．(1)
(2)
（1）依题意，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以为锐角，所以.
（2）.
20．(1)，理由见解析
(2)
（1）若满足②，则由，可得
这与矛盾，故②不能成立，则选①③④，
由③得，由④得，则，
则，
又由，可得，则，
所以，故
（2）由（1）知，
当时，．
又欲求函数，的单调递增区间
则，即
∴函数在上的单调递增区间为．
21．(1)
(2)．
（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，
则，
所以正三棱柱的体积．
（2）在正三棱柱中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，
有，即，
令的中点为，连接，则，
且，，，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
.

22．(1)
(2)
(3)
（1）
，
所以.
（2）依题意，
由得，
，所以，
所以.
（3）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，
再把整个图象向右平移个单位长度，得，
所以，
若，则，所以
令，则可化为，
即，
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，
所以，
又当时，；当时，，
所以；
因为存在，使成立，
所以存在使成立，
因此只需. -