辽宁省部分学校2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题（含解析）

辽宁省部分学校2023-2024学年高三上学期开学摸底考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：除平面向量、立体几何、圆锥曲线外的高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C.1 D.
2.设集合，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A.1 B.-1 C.0 D.2
4.已知，，且，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.某商家为了吸引顾客，促销商品，推出消费满额砸金蛋的活动.某顾客共获得2次砸金蛋的机会，若该顾客砸金蛋时还剩9个金蛋，其中只有3个金蛋有奖券，则该顾客砸出奖券的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量随时间（单位：年）呈指数函数型变化，当氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，估计臭氧含量减少需要（取）（ ）
A.276年 B.552年 C.414年 D.483年
8.已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. D.对任意，都有
11.已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在上单调递减 B. 的图象关于点对称
C.曲线与轴相切 D. 的值域为
12.在一款色彩三原色（红、黄、青）的颜色传输器中，信道内传输红色、黄色、青色信号，信号的传输相互独立.当发送红色信号时，显示为黄色的概率为，显示为青色的概率为；当发送黄色信号时，显示为青色的概率为，显示为红色的概率为；当发送青色信号时，显示为红色的概率为，显示为黄色的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和两次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，两次传输是指每个信号重复发送2次.显示的颜色信号需要译码，译码规则如下：当单次传输时，译码就是显示的颜色信号；当两次传输时，若两次显示的颜色信号不同，则译码为剩下的颜色信号，若两次显示的颜色信号相同，则译码为显示的颜色.例如：若显示的颜色为（红，黄），则译码为青色，若显示的颜色为（红，红），则译码为红色.下列结论正确的是（ ）
A.采用单次传输方案，若依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的概率为
B.采用两次传输方案，若发送红色信号，则依次显示黄色、黄色的概率为
C.采用两次传输方案，若发送红色信号，则译码为红色的概率为
D.对于任意的，若发送红色信号，则采用两次传输方案译码为青色的概率小于采用单次传输方案译码为青色的概率
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.在中，，，，则_____________.
14.函数在区间上的最大值为_____________，
15.已知，则______________.
16.某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有_______________条.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
第31届世界大学生夏季运动会，是中国西部第一次举办世界性综合运动会，共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项、269个小项.该届赛事约有来自170个国家和地区的1万余名运动员及官员赴蓉参加，该届赛事于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行.为了了解关注该赛事是否与性别有关，某体育台随机抽取2000名观众进行统计，得到如下2×2列联表.
男 女 合计
关注该赛事 600 300 900
不关注该赛事 400 700 1100
合计 1000 1000 2000
（1）在所有女观众中，试估计她们关注该赛事的概率（结果用百分数表示）；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注该赛事与性别有关联
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（12分）
在中，内角，，的对边分别为，，，若，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
19.（12分）
定义在上的函数对任意，都有，当时，.
（1）求的值；
（2）试判断在上的单调性，并说明理由；
（3）解不等式.
20.（12分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，证明：.
21.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）证明：.
22.（12分）
踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.
（1）记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；
（2）证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.
高三数学试卷参考答案
1.A ，故的虚部是.
2.B ，又，所以.
3.C由题意可得，则，可得.
4.C ，解得，当且仅当，时，等号成立.
5.D根据等比数列性质可得成等比数列.设，则，，，，.
6.D所求概率为.
7.B由题意可得，，，，，.估计臭氧含量减少需要552年.
8.A当时，.因为在上单调递增，所以，解得.
当时，，因为，所以.
因为在上单调递减，所以且，解得，又，所以的取值范围是.
9.AB因为，所以.当时，，A符合.当时，，B符合.
10.ABD设的公差为，，所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确. ，所以是以为首项，为公差的等差数列，B正确. ，即，C错误.因为，，所以当时，取得最大值，故对任意，恒有，D正确.
11.BCD .令，解得或，令，解得或，所以在，上单调递减，在，上单调递增，A错误. ，，曲线在处的切线方程为，即曲线与轴相切，C正确. ，，的值域为，D正确. ，所以的图象关于点对称，B正确.
12.BD对于A，依次发送红色、黄色、青色信号，则依次显示青色、青色、红色的事件是发送红色信号显示青色、发送黄色信号显示青色、发送青色信号显示红色的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A错误；对于B，两次传输，发送红色信号，相当于依次发送红色、红色信号，则依次显示黄色、黄色的事件是发送红色信号接收黄色信号、发送红色信号接收黄色信号的2个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，两次传输，发送红色信号，则译码为红色的事件是依次显示黄色、青色或青色、黄色的事件的和，它们互斥，所以所求的概率为，故C错误；对于D，若采用两次传输，发送红色信号，则译码为青色的概率，若单次传输发送红色信号，则译码为青色的概率，因此，即，D正确.
13. .
14. ，当时，，单调递减，.
15. 因为，所以.
，所以.
.因为，所以，，所以，故.
16.120 小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条，再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.
17.解：（1）女观众关注该赛事的概率约为：.
（2）零假设为：是否关注该赛事与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为是否关注该赛事与性别有关联.
18.解：（1）因为，，所以.
因为，所以，
则，即，
所以.
（2），，.
由，，可得，.
.
19.解：（1）令，可得.
（2）在上单调递增.
设，则，
.
因为当时，，所以，
则，即.
故在上单调递增.
（3），
即，
所以，解得.
故原不等式的解集为.
20.（1）解：当时，，解得.
当时，，相减得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故
（2）证明：.
，①
.②
①-②得.
所以.
.
因为函数在上单调递增，
所以.
21.（1）解：，，.
曲线在点处的切线方程为，即.
切线与两坐标轴的交点分别为，.
所求三角形面积为.
（2）证明：.
令函数，则，所以在上单调递减.
，，所以在上有且只有一个零点，使得.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
.
因为，所以，，
即.
.
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，即.
故.
注：也可表示为因为是增函数，
所以.
故.
22.解：（1）的所有可能取值为0，1，
，
，
所以的分布列为
0 1
（2）当时，.
当时，，，，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，所以.
所以是首项为，公比的等比数列，
所以，即，
所以，
故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于.