数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（共15张ppt）

(共15张PPT)
1.4.1用空间向量研究
直线、平面的位置关系
求法向量的方法
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
l1
l2
u1
u2
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，
则l∥α u⊥n u·n＝0．
α
u
n
l
2.线面平行的向量表示
3.面面平行的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
α
β
n1
n2
类比平行的向量表示，线线垂直，线面垂直，面面垂直时直线方向向量和平面法向量有什么关系
1.线线垂直的向量表示
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，
则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
l1
u1
l2
u2
2.线面垂直的向量表示
设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，
l⊥α u∥n λ∈R，u＝λn
α
n
l
u
3.面面垂直的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0．
n1
n2
例1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
B
A
C
D
P
E
F
方法1：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
x
y
z
设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a,1,0)，
∵E在BC上，∴设E(m,1,0)，
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．
一、证明线线垂直问题
B
A
C
D
P
E
F
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
变式：如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
A
B
C
D
E
F
由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
x
y
z
例2：如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
A
B
C
A1
B1
C1
D
O
x
y
z
O1
即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
二、证明线面垂直问题
A
B
C
A1
B1
C1
D
O
x
O1
y
z
方法二：设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
三、证明面面垂直问题