人教版八年级数学上册试题 11.2.2三角形的外角（含答案）

11.2.2三角形的外角
一．选择题
1．下列图形中，可以求出α度数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
3．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝55°，则∠EAC的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
4．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（　　）
A．27° B．42° C．45° D．70°
5．一副三角板如图摆放，则∠α的值（　　）
A．125° B．100° C．115° D．105°
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（　　）
A．61° B．64° C．71° D．109°
7．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，已知△ABC，点D，F分别在边AB，AC上运动，点E为平面上的一个动点．当∠DEF＝∠A且点E恰在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点处，若∠1+∠2＝140°，则∠BEC为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
9．如图，△ABC中，∠A＝56°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（　　）
A．28° B．56° C．30° D．26°
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
二．填空题
11．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠ADC＝82°，∠B＝46°，则∠BAD的度数为 　 　．
12．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则α﹣β＝　 　度．
13．△ABC的内角关系如图所示，则∠1＝　 　．
14．如图，在△ABC中，△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的角平分线交于点P，已知∠APB＝42°，则∠C的度数为 　 　．
15．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　 　．
16．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝　 　度．
三．解答题
17．如图，∠A＝40°，∠ABD＝38°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
18．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 　 　．
19．（1）阅读并填空：如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝　 　（ 　 　）．
同理：∠2＝　 　．
所以∠1+∠2＝　 　．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（ 　 　），
所以∠D＝　 　（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果
（i）如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 　 　．
（ii）如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是 　 　．
（3）拓展应用
请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
（i）∠A＝80°，则∠F＝　 　；
（ii）∠F＝n°，则∠A＝　 　．
20．如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠ABC﹣∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠A的度数；
（2）若∠ACD的角平分线与∠ABC的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：∠MCP＝90°﹣∠A．
21.如图，已知∠A＝70°，∠B＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，求∠DCE的度数．
22.【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　．
答案
一．选择题
B．B．C．B．D．C．B．B．A．C．
二．填空题
11．36°．
12．45．
13．150°．
14．84°．
15．130°．
16．．
三．解答题
17．解：∵∠A＝40°，∠ABD＝38°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+38°＝78°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝40°，
∴∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝78°+40°＝118°．
18．解：（1）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．
（2）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β）．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣（α+β）﹣（90°﹣α）＝．
故答案为：．
19.解：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠2＝∠ACB．
所以∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），
所以∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
故答案为：ABC，ACB，（∠ABC+∠ACB），三角形的内角和等于180°，180°﹣（∠ABC+∠ACB）．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
即：∠D＝∠A，
故答案为：∠D＝∠A；
（3）（i）由（1）知：∠D＝90°+∠A．
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠CBE+∠BCN＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，
∴∠E＝180°﹣155°＝25°，
由（2）（ii）知∠F＝E＝25°＝12.5°，
故答案为：12.5°；
（ii）由（1）得∠D＝90°+∠A，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴2（∠EBC+∠ECB）+∠DBC+∠DCB＝360°，
∵∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴2（180°﹣∠E）+180°﹣∠D＝360°，
∴∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣（90°+∠A）＝45°﹣∠A，
∴∠F＝90°﹣∠E＝（45°﹣∠A）＝n°，
∴∠A＝180°﹣8n°．
故答案为：180°﹣8n°．
20.（1）解：∵∠ABC+∠A＝∠ACD＝140°，
又∵∠ABC﹣∠A＝20°，
∴∠A＝60°；
（2）证明：∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M＝∠MCD﹣∠MBC，
同理可证：∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，
∴，
∴，
又∵CP⊥BM，
∴．
21.解：∵∠A＝70°，∠B＝50°，∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD＝60°．
22.【解答】【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P﹣∠A＝90°；
故答案为：∠P﹣∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A；
故答案为：∠Q＝90°﹣∠A．