人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 同步练习题 （含解析）

人教版九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步练习题
一、单选题
1．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位后解析式是（　　）
A． B． C． D．
3．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当时，随的增大而减小 D．与轴只有一个交点
4．与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为( )
A．-2 B．-1 C．0 D．3
6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ）
A． B．
C． D．
8．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④．正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知二次函数在时，y取得的最大值为15，则a的值为 ．
10．函数化为顶点式是 ．
11．如果将抛物线平移到抛物线的位置，那么平移的方向和距离分别是 ．
12．已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
13．抛物线和抛物线关于原点对称，则抛物线解析式是 ．
14．已知，是二次函数图象上两个不同的点．
（1）若，，则实数a的值是 ；
（2）若，当时，恒有，则实数a的取值范围是 ．
15．抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，且．下列4个结论：
①；
②抛物线过点；
③；
④抛物线上有，，当时，．
其中结论正确的是 ．（填写序号）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为 ．

三、解答题
17．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
(1)试确定的值；
(2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．已知某抛物线的对称轴为直线，且过和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①当时，值所对应的范围是___________；
②若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是___________．
19．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求拋物线的解析式；
(2)当时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
20．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、．
①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标；
②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标．
22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与轴交于点，交抛物线于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，点是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(3)如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
参考答案
1．解：∵，，是抛物线上的三点，
∴当时，，
当时，，
当时，，
则，，的大小关系为：，
故选：A．
2．解：，
该抛物线的顶点坐标是，
抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，
那么得到的抛物线的解析式为：，即．
故选：B．
3．解：
是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
4．解：∵，
∴顶点坐标为，
∵关于x轴对称点的坐标为
∴对称后抛物线解析式为
故选A．
5．解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选：A．
6．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
，
的最小值是，
故选：．
7．解：∵直线不经过第三象限，
∴，，
∴的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于，
∴D符合．
故选：D．
8．解：∵对称轴为直线
∴，①正确；
∵抛物线开口向上，与 轴的交点在轴下方
由题意可知时，
②正确；
由题意可知时，
若则
时，二次函数取得最小值
，③正确；
由题意可知时，
，④正确；
正确的是：①②③④
故选：D
9．解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为，顶点，当时，，
∵，开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵当时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当时，，
∴，
解得：或（舍去），
故a的值为4．
故答案为：4．
10．解：
故答案为：．
11．解：抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线变形为：，
将抛物线平移到抛物线，
∴平移方向为：向右平移2个单位长度，
故答案为：向右；2个单位长度．
12．解：∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
故答案为：3．
13．解：设是则抛物线图象上的一点，则关于原点对称的点的坐标为，
∵抛物线和抛物线关于原点对称，
∴点在抛物线的函数图象上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式是，
故答案为：．
14．解：（1）∵，是二次函数图象上两个不同的点，且
∴，关于抛物线的对称轴对称
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：．
（2）由题意知，抛物线的对称轴是直线
∵当，时，恒有
∴，均位于抛物线对称轴的右侧
∴
解得
即实数a的取值范围为
故答案为：．
15．解：∵，
∴，则，
∵，
∴，
则①不正确，不符合题意；
∵该抛物线交x轴于点，对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴另一个交点为，
故②正确，符合题意；
∵该抛物线经过点，，
∴，
得：，
∵，
∴，则，
∴，
故③不正确，不符合题意；
④∵该抛物线经过点，，且，
∴由图可知：，
∴，
∴，故④正确，符合题意；

综上：正确的有②④，
故答案为：②④．
16．解：，
则抛物线的顶点坐标为，
当点在抛物线的顶点时，最小，最小值为，
四边形是矩形，
，
对角线的最小值为，
故答案为：．
17．（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为，
∴原二次函数的解析式为，
∴，，．
（2）解：由（1）可知，二次函数，即，
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
18．（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，且过和两点
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）①∵ ，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，
∴当时，取得最大值
当时，取得最小值
∴当时，值所对应的范围是；
故答案为：．

②∵顶点坐标为
∴若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是
故答案为：．
19．解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为.
抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为：；
（2），
顶点，
，
当时，，
当时，；当时，.
；
（3）设直线交抛物线的另一点于，

，点的坐标为，
的解析式：.
当时，
解得（舍去），.
.
设直线交抛物线的另一点于，
同理可求的解析式：，
当时，
解得（舍去），，
，
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
不与重合，
．
综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．
20．（1）解: 将，，代入，
得，
解得，
故此二次函数的解析式为.
（2）解：由知，.
∵，，
，
，
，
∴.
∴是直角三角形，且.
∴，
即的面积是3.
（3）解：存在，点的坐标为或.
由（2），知，对称轴为直线，
①若以为底边，则，
设点的坐标为，
根据勾股定理，得，
∴，
又∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，.
∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线，
∴，
∴，
即点的坐标为；
②若以为一腰，
∵点在其对称轴右侧的抛物线上，
∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为或.
21．（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴该抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：①过点作轴，交于点，设， ，则， ，
，

∵抛物线与直线相交于、两点，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴，，，，
∵，的面积为，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴，或，；
②设， ，
由①得，，，，
∴，，，
∵轴轴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴是锐角，
∵点是抛物线上的动点且位于直线下方，
∴在的内部，即,
∴是锐角，即是不存在的情形，

当时，，
∴，
∴，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）或（舍去），
当时，，
∴，
∴
∴（舍去）或，
综上，点的横坐标为或．
22．（1）解：当时，，
解得：， ，
∴；，
当时：，
∴，；
联立二次函数和一次函数解析式，
得：，
整理得：，
解得：， ，
当时，，
∴；
（2）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∴ ，
当时，有最大值为；
（3）解：①当点在轴上方时，如图，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
则，，
由对称性得到，即，故，
∴，；
②当点在轴下方时，如图：
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
∵以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴（），
∴，，
将代入抛物线解析式得：，
解得：或，
∴或，
∴，．
符合条件的点有：，，，．