2023年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★4.2.1 等差数列的概念 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
2023年年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★
在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面， 我们从一类取值规律比较简单的数列人手.
请看下面几个问题中的数列：
1. 北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2. S, M, L, XL, XXL, XXXL型号的女装上对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48 ②
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单位°C)依次为 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b( =a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④
思考 上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？
从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列.
1. 等差数列的概念　
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
[练一练]
判断对错：
1. 常数列是等差数列. ( )
2. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( )
差都是同一个常数.
3. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( )
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
√
×
×
2. 等差中项　
由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b .
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
2. 求下列各组数的等差中项:
课本P15
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
等差数列的递推公式
所以 a2－a1 = d，
a3－a2 = d，
a4－a3 = d，
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，

an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则
f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为________，公差为____.
(k＋b)
k
(1) 等差数列通项公式的一般形式：
3. 通项公式　
首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为
an= a1＋(n－1)d.
an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
③等差数列{an}的单调性与公差d有关.
当d>0时，等差数列{an}为递增数列；
当d＝0时，等差数列{an}为常数列；
当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
例1 (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;
(2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项.
解: (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n.
于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3.
∴{an}公差为－2，首项为3.
(2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8.
∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11.
∴a20 ＝－3×20＋11＝－49.
例2 －401是不是等差数列－5，－9，－13， ···的项？如果是，是第几项？
解: 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得数列{an}的通项公式为
an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
设 －4n－1＝－401，解得 n＝100.
∴－401是这个数列第100项.
变式 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
a1 a3 a5 a7 d
－7 8
2 －6.5
0.5
15.5
3.75
15
－11
－24
课本P15
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课本P15
例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围.
解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}.
由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)，
∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d .
∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11，
例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项 若是, 它是{an}的第几项 若不是, 请说明理由.
例5 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at .
思考 例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗
n
an
O




s
p
q
t
as
ap
aq
at
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗 第10排有多少个座位
n
an
O

1
5
6
9
12
15
18

2




3
4
6
3
课本P17
3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n .
课本P17
4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn .
(1) 数列{cn}是否是等差数列 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由.
(2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式.
课本P17
5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d.
(1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗 如果是, 它的首项和公差分别是多少
(2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗 如果是, 它的首项和公差分别是多少
(3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗 你能根据得到的结论作出一个猜想吗
课本P17
2．由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
d
cd
2d
pd＋qd′
总结：
课堂检测：
1. 在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　)
A．9　　　 B．12 C．15 D．18
A
C
3. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37 C．100 D．－37
C
2. 如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．12 C．28 D．36
4. 我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　)
A．11.5 B．12.5
C．13.5 D．14.5
C
解：设冬至的日影长为a1，公差为d，则
a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,两式相减得
－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C.
小结：
1. 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.
2. 等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.
3. 等差数列{an}，p, q, s, t∈N*，若p+q=s+t，则ap+aq= as+at .