2023年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★4.2.2 等差数列的前n项和公式（1） 课件（共21张PPT）

(共22张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (1)
2023年年人教A版高中数学选择性必修第二册教学课件★★
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下 面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题.
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋ ＋100=？
高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:
(1+ 100)+(2+99)+ + (50+51)=101×50= 5050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3， ，n， ①
前100项的和的问题.
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗 你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗
高斯的算法:
(1+ 100)+(2+99)+ + (50+51)=101×50= 5050.
对于数列1，2，3， ，n， ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系.
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
思考 你能用高斯的方法求1+2+ +100+101吗
(1+ 101)+(1+100)+ + (50+52)+51=102×50+51= 5151.
或(0+ 101)+(1+100)+ + (50+51)=101×51= 5151.
将上述方法推广到一般，可以得到:
于是有
当n是偶数时，有
当n是奇数时，有
∴对任意正整数n，都有
思考 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论
这种求和方法叫倒序求和法
把这种倒序求和的方法推广到求等差数列{an}的前n项和, 可得
∴等差数列{an}的前n项和公式为
∴等差数列{an}的前n项和公式还可写成
(1)
(2)
思考 不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？
∴等差数列{an}的前n项和公式为
等差数列{an}的相关公式及性质：
1.等差数列{an}的通项公式：
2.等差数列{an}的前n项和公式：
3.等差数列{an}的重要性质：
例6 已知数列{an}是等差数列.
例7 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
2. 等差数列－1, －3, －5, 的前多少项的 和是－100
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
课本P23
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
课本P23
5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数.
课本P23
小结：
2．等差数列的前n项和公式的应用
(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
(2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”．