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一元二次方程的运用-动点问题
知识回顾
动点问题经常会与三角形及四边形的面积关系有关，主要要熟悉动点与各边的关系与面积公式。
典例精练
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解答】解：设当运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2，
依题意得：×（8﹣t）×2t＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
又∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t＝3．
故选：B．
2.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，（ ）s后P、Q之间的距离等于cm．
A． B．2 C． D．或2
【分析】设经过x秒，P、Q之间的距离等于cm．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可．
【解析】设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于cm，
∵AP＝1 x＝x，BQ＝2x，
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣x，
∴BP2+BQ2＝PQ2，
即（6﹣x）2+（2x）2＝（）2，
解得：x1=，x2＝2（不合题意，舍去）．
答：点P、Q分别从点A、B同时出发，s后P、Q之间的距离等于cm．
故选：A．
3．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据 PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝45°，
∵PRBC，
∴∠APR＝90°，
∴PR＝PA＝xcm，
∵ PQCR的面积为△ABC面积的一半，
∴，
解得：，
∴点P移动的路程为4cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．
4.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
【答案】10
【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，
解得，x1＝10，x2＝0（舍去），
则10秒后P、Q两点相距25cm．
故答案是：10．
5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）根据PQ＝2利用勾股定理BP2+BQ2＝PQ2，求出即可；
（2）由（1）得，当△PQB的面积等于7cm2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；
【解答】（1）设x秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQBBP×QB＝7
（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2．
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；
（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．
【解析】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×622，
解得，此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，
∵△APQ的面积能否等于22cm2，
∴12×622，
解得，b1＝1，b2＝14（舍去），
即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2
同步练习
1.如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即有S△PCQS△ABC．
【解析】∵△ABC中，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理，得BC6．
设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，
则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．
根据题意，知S△PCQS△ABC，
∴CQ×PCAC×BC，
即（6﹣t）（8﹣2t）8×6，
解得t＝2或t＝8（舍去）．
故选：A．
在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后,△PCQ的面积等于450cm 若设t秒后,△PCQ的面积等于450cm ，则t的值为
【解答】解：由题意得：AP=2t PC=50-2t CQ=3t
解得：t1=10 t2=15
因为当t=15时，3t=45＞BC,所以不合题意，舍去
所以：t=10
3.（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，
当t= s时，的面积为．
【答案】或
【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．
【详解】解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．
∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案是：（12﹣2t）；4t；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵∠B＝90°，即AB⊥BC．
∴AB∥DH．
又∵D是AC的中点，
∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．
∴DH＝AB＝6cm．
根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，
整理，得t2﹣6t+8＝0．
解得：t1＝2，t2＝4，
即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
针对练习
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解析】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
2.如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？
【解答】解：设经过t秒后，P，Q两点的距离是4cm，
根据题意，得（2t）2+（6﹣t）2＝（4）2，
整理，得（5t﹣2）（t﹣2）＝0，
解得t1＝，t2＝2．
当t＝2时，2t＝4＜8，符合题意，
答：秒或2秒后，P，Q两点间的距离等于4cm
3.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝ PB QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， （6﹣t） t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
当点Q到达C点时，此时t＝，
S△PQB＝××（6﹣t）＝4
∴t＝＞，
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：
（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；
（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；
（3）几秒时PQ⊥DQ．
【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；
（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；
（3）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出，再设AP＝x，QB＝2x，得出，求出x即可．
【解析】
（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．
则AP＝x，QB＝2x．
∴PB＝6﹣x．
∴（6﹣x）2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；
（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28cm2．
∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ
∴12×612x2x（6﹣x）6×（12﹣2x）＝28，
化简整理得 x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
答：2秒或4秒后△PDQ的面积等于28cm2；
（3）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴，
设AP＝x，QB＝2x．
∴，
∴2x2﹣15x+18＝0，
解得：x或6，
经检验x是原分式方程的根，x＝6不是原分式方程的根，
当x＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．
答：秒或6秒后PQ⊥DQ．
5．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为ts，解答下列问题：
(1)当t为何值时，是以为直角的直角三角形？
(2)是否存在t，使四边形的面积是面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）当时，利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；
（2）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：，
，
为等边三角形，
，
当点到达点时，，
则，
∵，
，
，即，
解得，符合题意；
（2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：
假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，
由（1）得：，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
整理得：，
此方程根的判别式为，方程无解，
所以假设不成立，
即不存在，使四边形的面积是面积的．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，正确建立关于时间的方程是解题关键．
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一元二次方程的运用-动点问题
知识回顾
动点问题经常会与三角形及四边形的面积关系有关，主要要熟悉动点与各边的关系与面积公式。
典例精练
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
2.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，（ ）s后P、Q之间的距离等于cm．
A． B．2 C． D．或2
3．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
同步练习
1.如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（ ）秒后四边形APQB是△ABC面积的．
A．2 B．4.5 C．8 D．7
在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后,△PCQ的面积等于450cm 若设t秒后,△PCQ的面积等于450cm ，则t的值为
3.（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，
当t= s时，的面积为．
4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
针对练习
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
2.如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是4cm？
3.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：
（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；
（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；
（3）几秒时PQ⊥DQ．
5．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为ts，解答下列问题：
(1)当t为何值时，是以为直角的直角三角形？
(2)是否存在t，使四边形的面积是面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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