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一元二次方程——传播与循环问题
知识回顾
一、传播问题
病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x） 人患了流感。
树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x 个枝。
二、循环问题
双方参与问题有以下几种常见类型:
(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.
(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.
(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;
②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.
典例精练
1.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
2.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．5 B．6 C．7 D．8
3.某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 6 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
4.在学校文化艺术节中，围棋比赛进行了单循环赛，若每两个学生之间都只比赛一场，共比赛了45场，求参加围棋比赛的学生人数．
5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？
6.阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N
3 3＝2+1
4 6＝3+2+1
5 10＝4+3+2+1
6 15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
同步练习
1.（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36
3.（2023春·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
4.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
5．（2022 大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
针对练习
1.有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14 B．15 C．16 D．25
2.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3.一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
4.襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有 个队参加比赛．
5.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
6.（2020 晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
7.（2023春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
8.（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
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一元二次方程-传播与循环问题
知识回顾
一、传播问题
病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x） 人患了流感。
树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x 个枝。
二、循环问题
双方参与问题有以下几种常见类型:
(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.
(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.
(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;
②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.
典例精练
1.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A．7队 B．6队 C．5队 D．4队
【分析】设参加比赛的球队有x队，根据共21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设参加比赛的球队有x队，
依题意，得：x（x﹣1）＝21，
整理，得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7．
故选：A．
2.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=x（x﹣1），即可列方程求解．
【解析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）＝21，
解得x＝7或﹣6（舍去）．
故应邀请7支队伍参加比赛．
故选：C．
3.某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行 场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
【分析】（1）根据参加比赛球队的数量及赛制，即可求出结论；
（2）设有x支球队参加比赛，根据全校一共进行36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）×4×3＝6（场）．
故答案为：6．
（2）设有x支球队参加比赛，
依题意，得：x（x﹣1）＝36，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．
4.在学校文化艺术节中，围棋比赛进行了单循环赛，若每两个学生之间都只比赛一场，共比赛了45场，求参加围棋比赛的学生人数．
【分析】设参加围棋比赛的学生人数为x人，每两个学生之间都只比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．
【解析】设参加围棋比赛的学生人数为x人，依题意得：
x（x﹣1）＝45
整理，得x2﹣x﹣90＝0
解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：参加围棋比赛的学生人数是10人．
5.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？
【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．
【解析】设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1＝21，
即，
∴x2﹣x﹣42＝0，
∴x＝7或x＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：应邀请7个球队参加比赛．
6.阅读下表：解答下列问题：
线段AB上的点数n（包括A、B两点） 图例 线段总条数N
3 3＝2+1
4 6＝3+2+1
5 10＝4+3+2+1
6 15＝5+4+3+2+1
（1）根据表中规律猜测线段总条数N与线段上点数n（包括线段的两个端点）的关系，用含n的代数式表示N，则N＝ ．
（2）2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？
（3）2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？
【分析】（1）线段的总条数N与线段上的点数n的关系式N；
（2）先将n＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．
【解析】（1）由题意，得
故答案为；
（2）每小组4个队单循环赛一共比赛（场），
共6个组，6×6＝36（场）．
答：第一轮共要进行36场比赛；
（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得
x（x﹣1）＝240，
解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．
答：共有16支球队参加比赛．
同步练习
1.（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ）
A．11 B．12 C．22 D．33
【答案】B
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解．
【详解】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
，
，
则参加这次会议的有12人．
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为．
2．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A．x＋（x＋1）x＝36 B．（x＋1）2＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋（x＋1）2＝36
【答案】B
【解答】解：设1人每次能教会x名同学，根据题意可得：
1＋x＋x（1＋x）＝36，
即（x＋1）2＝36，
故答案为：B
3.（2023春·黑龙江七台河·九年级统考期末）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．
【答案】10
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是111，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得（1+x）2＝144，
解得x1＝11，x2＝﹣13（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染11个人．
5．（2022 大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
依题意得：x（x﹣1）＝45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：共有10个队参加比赛．
针对练习
1.有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14 B．15 C．16 D．25
【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．
【解析】设平均每天一人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，
（1+x）2＝225，
解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．
答：平均每天一人传染了14人．
故选：A．
2.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】依题意，得：1+n+n2＝111，
解得：n1＝10，n2＝﹣11．
故选：B．
3.一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有
A．7个 B．49个 C．121个 D．512个
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其正值代入中即可求出结论．
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选：．
4.襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有 个队参加比赛．
【分析】设共有个队参加比赛，利用比赛的总场数参加比赛的队伍数（参加比赛的队伍数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】解：设共有个队参加比赛，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
共有10个队参加比赛．
故答案为：10．
5.某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．
（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有81个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数＝2轮感染后被感染的人数×（1+8），即可求出3轮感染后被感染的人数，再将其与700进行比较后即可得出结论．
【解析】（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．
（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．
6.（2020 晋安区一模）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？写出过程．
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有169人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【解析】（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x） x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
∵12＞10，
∴最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，
（2）169×（1+12）＝2197（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有2197人成为新冠肺炎病毒的携带者．
7.（2023春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．
(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？
(2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式；
(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？
【答案】(1)6；
(2)
(3)8
【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场；
（2）直接根据题意列出函数关系式即可；
（3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打：
=6场；
（2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：；
（3）设比赛组织者应邀请x个队参赛，
，
，
这次比赛共有8个队参加．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8.（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设小齐每分钟跑x米，则小明每分钟跑1.2x米，
，
，
经检验，x=400既是所列分式方程的解也符合题意，
，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
，
，
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
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