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一元二次方程
知识回顾
几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
典例精练
1.用一条长60cm的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（ ）
A．4m或10m B．4m C．10m D．8m
3.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为（ ）
A．8或24 B．16 C．12 D．16或12
4.如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．
5.如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
同步练习
1．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，正确的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
2．如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
3．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边，若丝绸花边的面积为650cm2，设花边的宽度为xcm.根据题意得方程 .
4．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽AB．
5.某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
针对练习
如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，可列方程为
A． B．
C． D．
2.如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
B． C．或 D．
4．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
5．（2022春 庐阳区校级期中）如图，把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
（1）用含x的代数式表示EF、FG；
（2）当长方体纸盒的底面EFGH的面积等于300cm2，求小正方形的边长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一元二次方程
知识回顾
几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
典例精练
1.用一条长60cm的绳子围成一个面积为的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为，
根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：
故答案为：A．
2.如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（ ）
A．4m或10m B．4m C．10m D．8m
【分析】由与墙垂直的边为xm，可得出与墙平行的边为（28﹣2x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合28﹣2x不超过12即可得出结论．
【解析】∵与墙垂直的边为xm，
∴与墙平行的边为（28﹣2x）m．
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
整理，得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8．
故选：C．
3.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为（ ）
A．8或24 B．16 C．12 D．16或12
【分析】设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，根据矩形的面积公式结合矩形花园ABCD的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，
依题意，得：x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16．
∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，
∴x2＝16不合题意，舍去，
∴x＝12．
故选：C．
4.如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60m的篱笆围成，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为28m．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成500平方米的矩形花园？若能求出BC长；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设矩形花园BC的长为x米，则矩形花园AB的长为（60﹣x+2）米，
依题意得：（60﹣x+2）x＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
（2）不能，理由如下：
设矩形花园BC的长为y米，则矩形花园AB的长为（60﹣y+2）米，
依题意得：（60﹣y+2）y＝500，
整理得：y2﹣62y+1000＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣62）2﹣4×1×1000＝﹣156＜0，
∴该方程无实数根，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
5.如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米2．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
【解答】解：（1）设小路的宽为x米，
根据题意，得（50﹣x）（30﹣x）＝924，
解得x＝8或x＝72（不合题意，舍去），
答：小路的宽为8米；
（2）200×（50×30﹣924）＝115200（元），
答：修建两条小路的总费用为115200元．
同步练习
1．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另外三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，正确的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【答案】C
【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55-2x米，
根据题意可得，x(55-2x)=375，
故答案为：C．
2．如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50 B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50 D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【答案】C
【解答】解：∵篱笆的总长为20m，且AB＝xm，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依题意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故选：C．
3．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边，若丝绸花边的面积为650cm2，设花边的宽度为xcm.根据题意得方程 .
【答案】
【解答】解：设花边的宽度为xcm，根据题意得方程
故答案为：
4．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的宽AB．
【解答】解：设这个茶园的宽AB为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的宽AB为20m．
5.某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
【解答】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40﹣2x）米，宽为（28﹣x）米的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（28﹣x）＝128×6，
整理得：x2﹣48x+176＝0，
解得：x1＝4，x2＝44（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
针对练习
如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为18米、11米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为600平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：A．
如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为
A． B． C． D．
【解析】解：由题意可得：，即．
故选：．
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】设小路宽为x，则种植花草部分的面积等于长为（100-2x）m，宽为(50-2x)m的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为（100-2x）m，宽为(50-2x)m的矩形的面积，
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
4．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
【解答】（1）解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，
依题意得：（x-4）（x-5）=650，
整理得：x2-9x-630=0，
解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）解：设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，
依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，
整理得：y2-59y+58=0，
解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
5．（2022春 庐阳区校级期中）如图，把长40cm．宽30cm的长方形ABCD纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）．
（1）用含x的代数式表示EF、FG；
（2）当长方体纸盒的底面EFGH的面积等于300cm2，求小正方形的边长．
【解答】解：（1）EF＝（30﹣2x）cm，FG＝20﹣x＝（20﹣x）（cm）；
（2）根据题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，
解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去），
答：小正方形的边长为5cm．
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