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高中数学重难点突破
专题十三 复数
知识归纳
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋biINCLUDEPICTURE"366A.TIF" INCLUDEPICTURE "366A.TIF" \* MERGEFORMAT 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)INCLUDEPICTURE"366A.TIF" INCLUDEPICTURE "366A.TIF" \* MERGEFORMAT 平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
[微点提醒]
1.i的乘方具有周期性：in＝(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
2.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
3.复数的共轭复数是( )
A.2－i B.2＋i C.3－4i D.3＋4i
4.＝( )
A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i
5.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝________.
典例分析
考点一 复数的相关概念
【例1】 (1)已知z＝，则复数z的虚部为( )
A.－i B.2 C.－2i D.－2
(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝( )
A.2－i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i
(3)若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.0 C.－ D.－1
【训练1】 (1)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A.－i B.＋i C.－i D.＋i
(2)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝( )
A.2 B.1 C.0 D.－1
考点二 复数的几何意义
【例2】 (1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( )
A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i
【训练2】 (1)设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
INCLUDEPICTURE"4S383.TIF" INCLUDEPICTURE "4S383.TIF" \* MERGEFORMAT
A.1＋3i B.－3－i C.3－i D.3＋i
考点三 复数的运算
【例3】 (1)(1＋i)(2－i)＝( )
A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i
(2)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A.0 B. C.1 D.
(3)设复数z＝1＋2i，则＝( )
A.2i B.－2i C.2 D.－2
(4)＋＝________.
【训练3】 (1)i(2＋3i)＝( )
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
(2)已知i为虚数单位，则＝( )
A. B.
C. D.
(3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝( )
A.1＋3i B.1－3i
C.－1＋3i D.－1－3i
同步练习
1.已知复数(1＋2i)i＝a＋bi，a∈R，b∈R，则a＋b＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
3.设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A.－i B.＋i C.1 D.－1－2i
4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1＋i)2 B.i2(1－i) C.(1＋i)2 D.i(1＋i)
5.设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A. B. C. D.2
6.若a为实数，且为实数，则a＝( )
A.1 B. C.－ D.－2
7.已知复数＝x＋yi(a，x，y∈R，i是虚数单位)，则x＋2y＝( )
A.1 B. C.－ D.－1
8.若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.i是虚数单位，复数＝________.
10.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.
11.若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.
12.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________.
13.设a，b∈R，a＝(i是虚数单位)，则b＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
14.设x∈R，i是虚数单位，则“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
15.计算＋＝( )
A.－2i B.0 C.2i D.2
16.已知i为虚数单位，复数z＝，则以下为真命题的是( )
A.z的共轭复数为－ B.z的虚部为 C.|z|＝3 D.z在复平面内对应的点在第一象限
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专题十三 复数
知识归纳
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋biINCLUDEPICTURE"366A.TIF" INCLUDEPICTURE "366A.TIF" \* MERGEFORMAT 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)INCLUDEPICTURE"366A.TIF" INCLUDEPICTURE "366A.TIF" \* MERGEFORMAT 平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：＝＝＝(c＋di≠0).
[微点提醒]
1.i的乘方具有周期性：in＝(k∈Z).
2.复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )
1、解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
2、解析 依题意，有解得a＝2，故选B.
答案 B
3.复数的共轭复数是( )
A.2－i B.2＋i C.3－4i D.3＋4i
3、解析 ＝＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i.故选C.
答案 C
4.＝( )
A.1＋2i B.1－2i C.2＋i D.2－i
4、解析 ＝＝2－i.
答案 D
5.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5、解析 ＝＝＋i，其共轭复数为－i，
∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.
答案 D
6.已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝________.
6、解析 ∵z＝－1＋i，
∴＝＝＝＝－1.
答案 －1
典例分析
考点一 复数的相关概念
【例1】 (1)已知z＝，则复数z的虚部为( )
A.－i B.2 C.－2i D.－2
(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝( )
A.2－i B.2＋i
C.1－2i D.1＋2i
(3)若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.0 C.－ D.－1
【例1】解析 (1)∵z＝＝＝－1－2i，则复数z的虚部为－2.故选D.
(2)∵复数z对应的点是Z(1，－2)，∴z＝1－2i，
∴复数z的共轭复数＝1＋2i，故选D.
(3)设z＝bi，b∈R且b≠0，
则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且1＝b，
解得a＝－1，故选D.
答案 (1)D (2)D (3)D
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【训练1】 (1)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A.－i B.＋i
C.－i D.＋i
(2)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝( )
A.2 B.1 C.0 D.－1
【训练1】解析 (1)由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴＝＋i.故选B.
(2)∵1－i＝，∴2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，
解得a＝0.故选C.
答案 (1)B (2)C
考点二 复数的几何意义
【例2】 (1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( )
A.1＋i B.－1－i
C.－1＋i D.1－i
【例2】解析 (1)由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．
(2)∵复数z对应的点与＝＝1＋i对应的点关于实轴对称，∴z＝1－i.故选D.
答案 (1)D (2)D
规律方法 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【训练2】 (1)设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【训练2】(2)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
INCLUDEPICTURE"4S383.TIF" INCLUDEPICTURE "4S383.TIF" \* MERGEFORMAT
A.1＋3i B.－3－i
C.3－i D.3＋i
解析 (1)＝＝－i，则复数z对应的点为，在第四象限，故选D.
(2)由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.
答案 (1)D (2)D
考点三 复数的运算
【例3】 (1)(1＋i)(2－i)＝( )
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
(2)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A.0 B. C.1 D.
(3)设复数z＝1＋2i，则＝( )
A.2i B.－2i C.2 D.－2
(4)＋＝________.
【例3】解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.
(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝|i|＝1.故选C.
(3)＝＝＝＝2.故选C.
(4)原式＝＋
＝i6＋＝－1＋i.
答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i
规律方法 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
【训练3】 (1)i(2＋3i)＝( )
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
(2)已知i为虚数单位，则＝( )
A. B.
C. D.
(3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝( )
A.1＋3i B.1－3i
C.－1＋3i D.－1－3i
【训练3】解析 (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
(2)＝＝.
(3)因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝＝＝＝1－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.
答案 (1)D (2)D (3)C
同步练习
1.已知复数(1＋2i)i＝a＋bi，a∈R，b∈R，则a＋b＝( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
1、解析 因为(1＋2i)i＝－2＋i，所以a＝－2，b＝1，则a＋b＝－1，选B.
答案 B
2.复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
2、解析 因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.
答案 B
3.设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A.－i B.＋i
C.1 D.－1－2i
3、解析 复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i，故选A.
答案 A
4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)
C.(1＋i)2 D.i(1＋i)
4、解析 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数．故选C.
答案 C
5.设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A. B. C. D.2
5、解析 因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝.
答案 B
6.若a为实数，且为实数，则a＝( )
A.1 B. C.－ D.－2
6、解析 因为＝＝是一个实数，所以2a－1＝0，∴a＝.故选B.
答案 B
7.已知复数＝x＋yi(a，x，y∈R，i是虚数单位)，则x＋2y＝( )
A.1 B. C.－ D.－1
7、解析 由题意得a＋i＝(x＋yi)(2＋i)＝2x－y＋(x＋2y)i，∴x＋2y＝1，故选A.
答案 A
8.若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8、解析 由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.
答案 A
9.i是虚数单位，复数＝________.
9、解析 ＝＝＝4－i.
答案 4－i
10.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.
10、解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.
答案 5
11.若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________.
11、解析 ∵＝＝b－ai，(2－i)2＝4－4i－1＝3－4i，(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，∴b＝3，a＝－4，则a－b＝－7，故答案为－7.
答案 －7
12.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________.
12、解析 因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，所以向量对应的复数为－2＋i.
答案 －2＋i
13.设a，b∈R，a＝(i是虚数单位)，则b＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析 因为a＝＝＝＋，a∈R，所以＝0 b＝－2，故选A.
答案 A
14.设x∈R，i是虚数单位，则“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
14、解析 由复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数，
得解得x＝2，
所以“x＝2”是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的充要条件，故选B.
答案 B
15.计算＋＝( )
A.－2i B.0 C.2i D.2
15、解析 ∵＝＝＝i，＝－i，
∴＋＝(i4)504·i3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i＋i＝0.
答案 B
16.已知i为虚数单位，复数z＝，则以下为真命题的是( )
A.z的共轭复数为－
B.z的虚部为
C.|z|＝3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
16、解析 ∵z＝＝＝＋，∴z的共轭复数为－，z的虚部为，|z|＝＝，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选D.
答案 D
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