2023年春期高二期中考试数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用实虚部相等列式求解
【详解】复数. 实部与虚部相等，则.
故选：B.
2. 已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若“{an}是等比数列”，则am an＝a12qm+n﹣2，ap aq＝a12qp+q﹣2，
∵m+n＝p+q，∴am an＝ap aq成立，即必要性成立，
若an＝0，则{an}等差数列，当m+n＝p+q时，由“am an＝ap aq”成立，但“{an}是等比数列”不成立，即充分性不成立，
则“am an＝ap aq”是“{an}是等比数列”的成立的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3. 已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
1 2 3 4
3.2 4.8 7.5
A 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】求出样本数据中心点坐标，代入回归直线方程求解.
【详解】，
，
因为关于的线性回归方程为，
所以，
解得，
故选：D
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算各循环得周期进而得到结果
【详解】输入
不满足，
不满足，
不满足，
观察规律可得：的取值周期为，由可得
不满足，
不满足，
满足，退出循环，输出
故选:B
5. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案.
【详解】由题意进行数据分析，可得：
，解得：；
，解得：；
所以.
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以得到：.
故选：A
6. 若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求解即可.
【详解】根据题意得：，所以，解得.
故选：A.
7. 已知函数的导函数是，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 12 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】对求导并令求得，即有，进而求.
【详解】由题设，，故，可得，
所以，故.
故选：D
8. 甲 乙 丙 丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙、丁获奖，验证是否符合题意,即可判断出答案.
【详解】若甲获奖，则四人中有且只有甲说了假话，符合题意；
若乙获奖，则四人中丙丁说了假话，不符合题意；
若丙获奖，则四人中乙丙说了假话，不符合题意；
若丁获奖，则四人中甲乙丙说了假话，不符合题意；
故选:A
9. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，且其正视图为如图所示的等腰三角形，则该四棱锥的表面积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】还原几何体利用正四棱锥性质计算各面面积相加即可
【详解】由题意画出原几何体如图，该几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，高 ,则斜高 .
∴该四棱锥的表面积为 .
故选:A
10. 如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算点CD坐标，得阴影和空白面积得概率
【详解】由题意，，，，阴影部分面积为，空白部分面积为，所求概率为．
故选：A
11. 已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，先由椭圆的定义得，然后由余弦定理算出，即可得出，然后算出离心率即可.
【详解】设，则
由椭圆的定义得，即
由余弦定理得：
即
所以，所以
所以椭圆的离心率为：
故选：B
【点睛】本题考查的是椭圆中的焦点三角形，解决此类问题时一般要用到椭圆的定义和余弦定理，比较典型.
12. 已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用，把问题转化为与在有交点，利用数形结合进行分析，即可求解
【详解】
，所以，，即与在有交点，
分情况讨论：
①直线过点，即，得；
②直线与相切，设切点为，得
，切点为，
故实数a的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图像在处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先计算，得到切点为，求导将代入得到，再利用点斜式写出切线方程即可.
【详解】，所以切点为
，则
所以切线方程为：即
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于简单题.
14. 某学校为了了解学生的学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是___________.
【答案】376
【解析】
【分析】根据系统抽样中等距抽样的方法，计算出抽样间隔，结合第2组抽取号码确定第8组的号码.
【详解】由题设，抽取间隔为，
所以第8组抽到的号码是.
故答案为：376
15. 已知命题：：不等式的解集为；：不等式的解集为，若命题与命题中至少有一个为假命题，则的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得均为真命题时的取值范围，再求得至少有一个为假命题时的取值范围.
【详解】当为真命题时，，解得.当为真命题时，，解得.故均为真命题时的取值范围是，所以命题与命题中至少有一个为假命题，则的取值范围为.
故填：.
【点睛】本小题主要考查命题真假性，考查不等式的解集恒成立问题，属于基础题.
16. 已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围．
【详解】函数的定义域为，，
依题意，方程有两个不等的正根、（其中），
则，由韦达定理得，，
所以，
令，则，，
当时，，则函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，所以，.
因此，的取值范围是.
故答案：.
【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
（1），，的值；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1），，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；
（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.
【小问1详解】
由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，
所以有；
【小问2详解】
由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.
参考公式附：其中.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
（2）.
【解析】
分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；
（2）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.
【小问1详解】
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数 40 15 55
女性司机人数 20 25 45
合计 60 40 100
所以，
故有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.
【小问2详解】
由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，
所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）在中，计算出，可得，所以，
又因为平面平面，平面可得答案；
（2）计算出，由平面可得答案．
【详解】（1）在中，
因为，，所以，
所以在中，，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又∵平面，所以．
（2）因为，，
∴，
又由（1）知，平面，
∴．
20. 设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
（1）求点G运动的曲线C的方程；
（2）直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
【答案】（1）
（2），1
【解析】
【分析】（1）设三点坐标，利用平面向量的坐标表示及向量模的坐标表示即可求解曲线的方程；
（2）设交点坐标，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得出，的表达式，求解的表达式，为定值即与参数无关，可求得的值，然后利用弦长公式及点到直线的距离公式即可求解面积的最大值.
【小问1详解】
解：设，，，则有，，，
整理可得.
【小问2详解】
（2）设，，联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点O到直线l的距离，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．
21. 已知函数 (其中为常数且)在处取得极值.
（1）当时，求的单调区间;
（2）若在上的最大值为，求的值.
【答案】（1）递增区间为，没有减区间
（2）或
【解析】
【分析】（1）对求导，利用导函数的正负求解单调区间即可；
（2）对函数进行求导，根据的不同取值分情况讨论求解函数最大值即可得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，
因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，即，
当时，，故，
所以的递增区间为，没有减区间.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
令解得，
因为在处取得极值，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，令，解得，
当时，，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值可能在或处取得，
而，
所以，解得;
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值可能在或处取得，
而，
所以，解得，与矛盾;
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值可能在处取得，而矛盾.
综上，或.
【点睛】在解决最值问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4 极坐标与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线的参数方程和极坐标方程；
(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】(Ⅰ) 直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为() (Ⅱ)
【解析】
【分析】(Ⅰ) 直线的普通方程为，可以确定直线过原点，且倾斜角为，这样可以直接写出参数方程和极坐标方程；
(Ⅱ)利用，把曲线的参数方程化为普通方程，然后把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，化简，利用根与系数的关系和参数的意义，可以求出的值.
【详解】解:(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数)
极坐标方程为()
(Ⅱ)曲线的普通方程为
将直线的参数方程代入曲线中，得，
设点对应的参数分别是，则，
【点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程和极坐标方程问题，同时也考查了直线与圆的位置关系，以及直线参数方程的几何意义.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数，．
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意零点分段求解不等式可得不等式的解集为．
（2）令，由绝对值三角不等式和二次函数的性质可知当时，取到最小值为，则的取值范围是．
【详解】（1）由题意可知，，
①当时，原式可化为，即或，∴；
②当时，原式可化为，即或，∴无解；
③当时，原式可化为，即或，∴；
综上所述，．
（2）由题意可知，，
当时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
令，当时，取到最小值为，
由题意可知，故．
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；2023年春期高二期中考试数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
2. 已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
1 2 3 4
3.2 4.8 7.5
A. 1 B. 0.85 C. 0.7 D. 0.5
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的为
A. B. C. D.
5. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 若曲线在点处的切线的斜率为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的导函数是，且，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 12 D. 24
8. 甲 乙 丙 丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（ ）
A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 一个四棱锥侧棱长都相等，底面是正方形，且其正视图为如图所示的等腰三角形，则该四棱锥的表面积是
A B. C. D.
10. 如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于
A. B. C. D.
11. 已知点P是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图像在处的切线方程为_____.
14. 某学校为了了解学生学习情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是___________.
15. 已知命题：：不等式的解集为；：不等式的解集为，若命题与命题中至少有一个为假命题，则的取值范围为_______________.
16. 已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
（1），，的值；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
开车时使用手机 开车时不使用手机 合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.
参考公式附：其中.
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7879
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证；
（2）求四面体的体积．
20. 设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
（1）求点G运动的曲线C的方程；
（2）直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
21. 已知函数 (其中为常数且)在处取得极值.
（1）当时，求的单调区间;
（2）若在上的最大值为，求的值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4 极坐标与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线的参数方程和极坐标方程；
(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数，．
（1）求不等式的解集；
