四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（PDF版无答案）

东部新区养马高级中学 2022 级数学开学考试 2023.9
一、选择题（本题共 8道小题，每小题 5分，共 40分）
1
1.若 = ， 则 2 =（ ）
3
2 7 4 2 7
A. B. C. √± D. ±
3 9 9 9
2.已知向量 = (1,1), = ( 2,3)，那么| 2 | =（ ）
A. 5 B. 5√2 C. 8 D. √74
1 2
3.复数 = （i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
1+
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知 , 是两条不重合的直线， , , 是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ∥ , ∥ ，则 ∥ B. 若 ⊥ , ⊥ ，则 ∥
C. 若 ⊥ , ⊥ ，则 ∥ D. 若 ∥ , ⊥ ，则 ⊥
5.在四边形 中， ∥ ,∠ = 120°, = 4, = 2, = 3， , 分别为 ,
的中点，则 =（ ）
9 5 7
A． B．﹣3 C． D．
2 2 2
+
6.在△ 中， = ，则△ 是（ ）

A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知空间四边形 中， , 分别是 , 的中点，若 = 2, = 4, ⊥ ，则
与 所成的角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8.在三棱锥 中，SA ⊥ 平面 ABC,∠ABC = 90°，且 = 3, = 4, = 5，若球 在
三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内切球），则球 的
表面积为（）
16 4 32 16
A. B. C. D.
9 9 27 81
1
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二、多选题（本题共 4道小题，每小题 5分，共 20分）
9.在锐角三角形 中， , , 为三个内角， , , 分别为 , , 所对的三边，则下列结论成
立的是（ ）

A. 若 > ，则 > B. 若 = ，则 的取值范围是(0, )
3 2
C. + > + D. > 1
10.如图，在正方体 ﹣ 1 1 1 1中，点 是棱 1上的一个动点，给出以下结论，其中
正确的有（ ）
（第 10 题图） （第 11 题图）
A. 与 1所成的角为45° B. 1 ∥ 平面 1
C. 平面 1 ⊥平面 1 1 D. 对于任意的点 ，四棱锥 1 1的体积均不变
11.如图，正六边形的边长为 2，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边
形的边上运动，动点 , 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的值可能为（ ）
3 5 7
A. B. C. 3 D.
2 2 2
3
12.函数 = 3 (2 )的图象，可由 = ( + )的图象经过下列哪项变换而得
3 2
（ ）

A. 向右平移 个单位长度，横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标伸长到原来的 3 倍
3
1
B. 向右平移 个单位长度，横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 3 倍
3 2
1
C. 横坐标缩短到原来的 ，向右平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的 3 倍
2 6
1
D. 横坐标缩短到原来的 ，向右平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的 3 倍
2 3
2
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三、填空题（本题共 4道小题，每小题 5分，共 20分）
13. 在平行四边形 中， + + =_________．
14. 74° 14°﹣ 74° 14°的值为 ___________．
15. 设 m为实数，复数 m(3＋i)﹣(2＋i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则 m的取值
范围为__________．
16. 已知三棱锥P ABC的四个顶点在球 的表面上， ⊥平面 , = 6, =
2√3, = 2, = 4，则球 的表面积为______；若 是 的中点，过 作球的截面，则截
面面积的最小值是_______.
四、解答题（本题共 6道小题,第 1题 10分,第 2题 12分,第 3题 12分,第 4题 12分,
第 5题 12分,第 6题 12分,共 70分）
17. 已知向量 = (2 + , 1), = (2, 2), = (3 , 1), = (1, )( ∈ , ∈ )
（1）若 ∈ [0,2 )，且 ∥ ( )，求 的值；
（2）是否存在实数 ，使得( + ) ⊥ ( )？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
18. 如图，在棱长为 6 的正方体 ﹣ 1 1 1 1中，点 是 1 的中点， 与 交于点 .
（1）求证： 1 ∥ 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
3
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19. 已知向量 = ( , ), = ( , √3 )，函数 ( ) = 2 √3．
（1）求 ( )的最小正周期T；
（2）当0 ≤ ≤ 时，求 ( )的零点和单调递增区间．
20. 四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形，∠ = 60°， 是 的中点， =
√3, ⊥平面 .
（1）求直线 与平面 所成角;
（2）求证: 平面 ⊥平面 .
21. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 B与小岛 A、小岛 C相距都为
3
5km，与小岛 D相距为3√5km.∠ 为钝角，且 = .
5
（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记∠ 为 ，∠ 为 ，求 (2 + )的值.
22.已知向量 = (2√3, ), = ( 2 , 2 )，函数 ( ) = √3 ( > 0)，

( )相邻对称轴之间的距离为 .
2
（1）求 ( )的单调递减区间；
1
（2）将函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位得 ( )的图
2 12

象，若关于 x的方程 ( ) = 在[ , ]上只有一个解，求实数 m的取值范围.
12 6
4
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