黑龙江省大庆市肇源县向阳学校等三校联考2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题（含答案）

初三数学学科试题
考生注意：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考号填写清楚，将准考证号填写在相应区域并填涂。
2．答题时用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效。
3．考试时间120分钟。全卷共三道大题，总分120分。
一、单选题（每题3分，共30分）
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角． D．四边相等
2．下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ）
①，②，③，④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，下图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
7．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为等腰的斜边上的一动点，连接，，，垂足分别为点、，已知，以下结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若时，
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．在比例尺是1：1000的地图上，幸福路的长度约为，该路段实际长度约为__________．
12．已知一个反比例函数的图像经过点，若该反比例函数的图像也经过点，则的值为__________．
13．如图所示是由一些相同的小立方体搭成的几何体从正面、左面和上面看到的图形，则所搭这个几何体的小方体有__________个．
从正面看 从左面看 从上面看
14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是__________．
15．如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为__________．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
16．若实数，分别满足，，且，则的值为__________．
17．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为4，则的值为__________．
18．如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．则下列结论：①；②若，，则；③；④当是的中点时，．其中正确的结论是__________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
19．（9分）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
20．（5分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）请画出关于轴对称的点，，的对应点分别为，，；
（2）请以原点为位似中心，在第四象限内画一个，使它与的相似比为2：1．
21．（5分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150平方米；
（2）能否围成矩形花园面积为220平方米，为什么？
22．（5分）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（6分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
24．（6分）如图：在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
25．（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，河源市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有__________人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为__________度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从校园安全知识达到“了解”程度的2个女生和1个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
26．（7分）如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，求的长．
27．（7分）如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
28．（9分）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
初三数学参考答案：
一、选择题
1．A 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．B
二、填空题
11．1000 12． 13．5 14．且
15． 16．8 17．4 18．①②④
三、简答题
19．（1）， （2）, （3）,
20．【详解】（1）解：如图所示，
，图形关于轴对称的中，，
∴根据对称的性质可知，即为所求图形．
（2）解：如图所示，
，，，
∴连接，
∴，，，
∴，，，
且，，，
∴，，，符合题意，
∴即为所求图形．
21．【详解】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
22．【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．【详解】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得且
（2）假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为．则
∴
即，且
解得
又∵
∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
24．【详解】（1）在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
25．【详解】（1）∵了解很少的有30人，占50%
∴接受问卷调查的学生共有：（人）
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：60，90．
（2）补充条形统计图如图所示
了解的人数有：（人）
（3）列表法如图所示
第一人 第二人 女1 女2 男
女1 （女1，女2） （女1，男）
女2 （女2，女1） （女2，男）
男 （男，女1） （男，女2）
则所有等可能性的结果有6种，其中恰好是一个男生一个女生的情况有4种，
所以
26．【详解】如图，连接PC，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
≌，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，，
四边形PFCE是矩形，
，
，
在中，，
，
．
27．【详解】（1）解：把点代入直线得：
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
（2）解：由（1）得：点A的坐标为：，
同理可求，点B的坐标为：，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
28．【详解】（1）当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．