2024 届广西名校开学考试试题
数 学 参考答案
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． A x x 0 ， B { 1,0,1,2,3}，则 A B {1,2,3}，故选：D．
2．由 (1 2i)2 3 4i ，对应点坐标为 ( 3 , 4)，在第二象限．故选：B．
1 1
3．函数 f x a a 1为奇函数， f ( 1) f (1)， 1 1 3 1，解得 a 2 ，选 C．3
4 q a q2a 8 2q2 q 2
a
a 2 1 a1(1 q
4 )
1 (1 2
4)
．设公比为 ， 4 2， ，解得 ， 1 q ，故 S4 15，选 A．1 q 1 2
2k 1
5．设切线 y kx， 1，得 k 0或 k 4 y 0 4x 3y 0 MN
1 k 2 3
，则 ， ；另两条切线与直线 平行且相
b
距为 1，又由 lMN : y
1 x，设切线 y 1 x b
1
2 2 ，则
5
1 ，得 b ，则 y
1 x 5 ，选 C．
1 2 2 24
C1C4C4
6 3 9 8 4． 个种子选手分在同一组的方法有 2 315 种，故选：C．A2
7 1．设母线为 l，展开图 S 2π 1 l 3π2 ，l 3，高
1
SO 2
2 2
32 1 2 2 ，V π×1 2 2 π，选 A.3 3
x x
8 e x 1 2 3．构造 f x e ， x 0,1 ， f x 0， f x 在 0,1 上单调递减，又 5 4 ，x x2
2 3
f (2) f (3) e
5
e
4 3 2 3 3 e 5 2 e 4
5 4 2 3 4 5 ，即 a c，又
2 e4 2 ，故 c b，选 B．
5 5
5 4
二、多选题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对
的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错得 0 分．
9．对于 A，由于 5 80% 4，则 4， 5 6 7 8， ， 7，8的第 50百分位数为 7.52 ，故 A错；对于 B， 若
方程为 y 1.2 0.5x
P(AB)
时，则变量 x与 y负相关，故 B正确；对于 C，若 P(A | B) P A ，则有 P(A)P(B) ，
P AB P A P B A B C D 10 x 5 9 5 7可得 ，则 与 相互独立，故 正确；对于 ， 人的成绩平均 810 ，
10 s2则 人的方差 5 [13 (8 9)2 ] 5 [10 (8 7)2 ] 12.510 10 ，故 D错；选 BC．
2 2
10．抛物线的焦点 F 1,0 ，准线 l : x 1，故 C y y正确；设直线 AB为 x my 1,A( 1 , y1 ) y1 0 ,B ( 2 , y2 )，4 4
x my 1则 A 1, y 21 ,B 1, y2 ，联立方程 y2 4x ，消 y得： y 4my 4 0，则 y1 y2 4m , y1y 4 2
2 2 2
对 A y：∵ AF 1 1 13 ，A y y错；对 B：∵OA ( 1 , y1 ),OB ( 2 ,y )，4 4 4 4 2
∴ y1y2
2
OA OB y y 3 0，∴OA,OB 不互垂直，B错误；
16 1 2
D y1 y对 ：∵ 2 4m, A B y1 y
2 2
2 4y1 y2 4 m 1 ，∴ A B 的中点M 1,2m 到直线 AB的距2
1 2m 1
d 2 m 2 1 1离 A B 2 2 12 ，又∵ MF 4 4m 2 m 1 A B m2 1 2
，故以 A B 为直径的圆
与直线 AB相切于 F，D正确；故选：CD．
第 1 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
11．如图，将四面体 ABCD补全为长方体，因为 AB 平面 BCD，CD 平面 BCD，所以 AB CD ，
又 BC CD，所以CD 平面 ABC，故 A正确；因为 AC 平面 ABC，所以CD AC，
又因为平面 ACD 平面 BCD CD，AC 平面 ACD，BC CD，BC 平面 BCD，
则 ACB即为二面角 A CD B的平面角，因为 ACB为锐角，即二面角 A CD B
为锐二面角，故 B不对；设 BC x,CD y ，V四面体ABCD
1 1 BC CD AB 1 xy 2
3 2 6 3 ，
得 xy 4， AD2 AB2 BD2 12 x2 y2 1 2xy 9，当且仅当 x y 2时等号成
立， AD 3，故 C正确．设四面体 ABCD外接球的半径为 R，则，当且仅当 x y 2时等号成立，所
以 4πR2 9π，即四面体 ABCD外接球的表 4R2 x2 y2 1 2xy 1 9面积的最小值为 9π，故 D正
确．故选：ACD．
12．对于 A，定义域为 (0, )， f (x) x
2 ax a，令 f (x) 0， x2 ax a 0在 (0, )上有两个不等实x
Δ a2 4a 0
根， x x a 0 a 4a 0 ， 1 2 ，得 ，故 A正确；对于 B，由韦达得
x2 x2 (x 21 2 1 x2 ) 2x1x
2
2 a 2a (a 1)
2 1 8，故 B错误；对于 C，由 x1 x2 a, x1x2 a ，C正确；
对于 D， f x1 f x2 1 x 21 x 22 6 a ln a 3 a2 1 a 6，令 h(a) a ln a 3 a2 1 a 6,a 44 4 2 4 2 ，
h (a) ln a 3 a 1 ，令 (a) ln a 3 a 1 ,a 4 (a) 1， 3 0 (a) (4, )2 2 2 2 a 2 ，即函数 在 上单调递减，
h (a) (a) (4) ln 4 11 0 ，则函数 h(a)在 (4, )2 上单调递减，于是
h(a) h(4) 4ln 4 12 2 6 8ln 2 8 0，所以 f (x1) f (x2 )
1 (x 2 x 21 2 ) 64 ，故 D正确；故选：ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 1 3x 5的通项T 3rCr xr ，令 r 3，则T 33C3 x3 270x3；令 r 2，T 32C2 x2r 1 5 4 5 3 5 90，
1 2x 1 3x 5的展开式中 x3的系数为 270 2 90 90 ，答案为 90．
14 2 2． a 32 42 5， (a b) (a b) a b 25 3 22 ，答案 22．
15．化简得 f x sin( x ) π π，又 x 0, π ，得 x [ , π+ π ]( 0) f3 3 3 3 ，因 x 在 0, π 上恰有 2个零
π 5 8
点， 2π π 3π，解得 3 3 3 .
16． F1F2 2c， F1O c
3
，O是 F1F2 的中点，所以 PF1 PF2 2PO，故由 PF1 PF2 3b得 PO b2 ，因
c2 9 b2 1 2
PF PF 2a PF 1 a PF 3 a △PFO cos POF 4 4
a
为 1 2 ， 1 2 ，所以 2 2 ，在 1 中， 1 2 c 32 b
2 9 2 9 2
4c2 9b2
c b a
a
2 2 2 2
，在 PF O中， cos POF 4 4 4c 9b 9a ，
12bc 2 2 2 c 32 b
12bc
4c2 9b2 a2 4c2 9b2 9a2 0，即
12bc 12bc 4c
2 9b2 5a2 0，则 c 2 5 ，离心率为 2 5 ．a 5 5
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）根据题意可得 an 1 an (a2 a1) 4(n 1) 4n 2； ………………………………2分
an (a a ) (a a ) (a a ) a 2(n 1)
2 1 1
n n 1 n 1 n 2 2 1 1 (2n 1)(2n 3),n 22 2 ………………4分
a 1 1又 1 - 2符合上式，所以
an (2n 1)(2n 3)2 …………………………………………………………5分
1 2 1（2）
1
an (2n 1)(2n 3) 2n 3 2n 1
………………………………………………………………7分
S 1 1 1 1 1 1100
200
1 1 1 3 197 199 199 ……………………………………………………………10分
第 2 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
18．（1）由条件得：5 2cos2B 1 ﹣14cosB-7 0………………………………………………………………2分
所以 5cos2B﹣7cosB-6 0 ，即 5cosB+3 cosB-2 =0，解得 cosB 35 …………………………………4分
又 0 B π ，所以 sin B 1- cos2 B 45…………………………………………………………………6分
（2）由 b2 a2 c2 2ac cosB 41，则 b 2 13…………………………………………………………8分
设 ABC 1 1的边 AC上的高为 h． ABC的面积： S ac sinB bh2 2 ，
1 4 1 6
∴ 5 3 2 13h， h 2 5 2 13 ………………………………………………………………………11分
6
∵B是钝角，∴当 BD AC时，垂足在边 AC上，即 BD的最小值是 h 13 ……………………12分
19．（1）四边形 ABCD为菱形，且 AD BD，所以 DG BC．
因为 AD // BC ，所以 DG AD，…………………………………………2分 E z
因为 ED 平面 ABCD，DG 平面 ABCD，所以 DG ED．…………4分 H
又 ED AD D， ED , AD 平面 ADE，
D F C
所以 DG 平面 ADE； ……………………………………………………5分
A O G
（2）设 BD交 AC于点 O，取 EF中点 H，连接 OH，所以OH // ED， B
x y
OH 底面 ABCD．以 O为原点，以OA ,OB ,OH 第 19题分别为 x轴，y轴，
z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为 AD BD ED 2，所以OA OC 3 ，
所以 A( 3 , 0 , 0)，C( 3 , 0 , 0)， B(0 , 1 , 0)， F (0 , 1 , 1)， D(0 , 1 , 0) ， E(0 , 1 , 2)，…………6分
所以 FA ( 3 , 1 , 1)， EA ( 3 , 1 , 2) ，
m (x, y, z) m F A 0
3x y z 0
设平面 EFA的一个法向量为 ，则 ，令m EA 0 3x y 2z 0 x 3
得
所以 m ( 3 , 1 , 2)； ……………………………………………………………………………………8分
BF (0 , 0 , 1)， BC ( 3 , 1 , 0) ，平面 BFC的一个法向量为 n (a , b , c)，
n BF
则
0 c 0 3a b 0 ，令 a 3得 n ( 3 , 3 , 0)； ………………………………………10分 n BC 0
cos m , n 3 3 0所以 0 ，
8 12 ………………………………………………………………………11分
π
所以平面 AFE 与平面 BFC 的夹角的大小为 2 ．………………………………………………………12分
20.（1）填列联表
经常锻炼 不经常锻炼 合计
合格 25 45 70 …………………………………2分
优秀 20 10 30
合计 45 55 100
零假设H0 ：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关
2 100 25 10 45 20
2
8.129 6.635…．…………………………………………………………5分
70 30 45 55
根据小概率值 0.01的独立性检验，推断 H0 不成立，
故成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联 …………………………………………………………6分
（2）根据直方图大于 600分的频率为 0.0125 0.0025 20 0.3，小于 600分的频率为1 0.3 0.7，
故由分层抽样知，抽取的 10人中合格有10 0.7 7 人，优秀的为10 0.3 3人……………………7分
则从这 10人中随机抽取 5人，优秀人数 X 服从超几何分布，由题意 X 的可能值为 0,1,2,3………8分
第 3 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
C
5 C0
P X 0 7 3 1
C4 C1 C
3 C2
5 ， P X 1
7 3 5
5 ， P X 2
7 3 5
C 12 C 12 C5 12
，
10 10 10
2 3
P CX 3 7 C3 21 15 252 12 ………………………………………………………………………11分C10
故分布列为
X 0 1 2 3
P 1 5 5 1 ……………………………………………12分12 12 12 12
| bc |
21．（1）由双曲线得渐近线方程为 bx 2y 0，设 F (c , 0 )，则 d
bc b 2 ，…2分
2 b2 c
∴双曲线C方程为 x2 y2 2； ……………………………………………………………………4分
（2）依题意，直线 l的斜率不为 0，设其方程为 x my 2， 1 m 1，…………………………5分
代入 x2 y2 2得 (m2 1)y2 4my 2 0，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， N ( t , 0 )，
则 y1 y2
4m
2 ， y
2
1y2 2 ，………………………………………………………………7分
m 1 m 1
NA NB ( x1 t )( x2 t ) y1y2 (my1 2 t )(my2 2 t ) y1y2
2 2 (m2 1) 2 m( 2 t ) 4m (m 1)y1y2 m( 2 t )( y1 y2 ) ( 2 t) 2 2 ( 2 t )
2
m 1 m 1
(4t 6)m2 2
22 ( 2 t ) ……………………………………………………………………………9分m 1
若要上式为定值，则必须有 4t 6 2 ，即 t 1， ………………………………………………10分
( 4t 6)m2 2
( 2 t )2 2 1 1，……………………………………………………………11分
m2 1
故存在点 N (1 , 0)满 NA NB 1 …………………………………………………………………12分
22.（1） f (x) sin x 3 x 2， f (x) cos x 3 ………………………………………………………1分
2 2
π x π当 时， f (x) 0 ；当 0 x π6 2 6时，
f (x) 0 …………………………………………3分
故 f (x)在 [0, π] (π , π]6 上单调递增，在 6 2 上单调递减； ………………………………………………4分
（2）设 h(x) ex sin x cos x 2 ax， h (x) ex cos x sin x a；……………………………………5分
设 (x) ex cos x sin x a ，则 (x) ex sin x cos x，令 y ex x 1，则 y ex 1，
当 x 0, y 0, 当 x 0, y 0,故函数 y ex x 1在 0, 单调递增，在 ,0 单调递减，
所以 ex x 1； …………………………………………………………………………7分
令m x x sin x，可得m x 1 cos x 0，故m x 在 x 0单调递增时， x sin x………………8分
当 x 0时， (x) ex sin x cos x x 1 x cos x 1 cos x 0 ，故 (x)在 [0, )上单调递增…．9分
当 x 0时， (x)min (0) 2 a ，且当 x 时， (x) ，若 a 2，则 h (x) (x) 0，
函数 h(x)在 [0, )上单调递增，因此 x [0, )， h(x) h(0) 0 ，符合条件………………………10分
若 a 2，则存在 x0 [0, )，使得 x0 0，即 h x0 0，
当 0 x x0 时， h (x) 0，则 h(x)在 0, x0 上单调递减，此时 h(x) h(0) 0 ，不符合条件．
综上，实数 a的取值范围是 ( , 2] ……………………………………………………………………12分
第 4 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}2024 届广西名校开学考试试题
数 学
（考试时间：150分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A x x 0 ， B 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ，则 A B （ ）
A． 0 ,1 B． 1 , 2 C． 0 ,1 , 2 D． 1 , 2 , 3
2．若复数 z满足 z (1 2i)2 ，则在复平面内复数 z所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3 1．函数 y x a是奇函数，则 a （ ）3 1
A 1 3 1． 2 B． 2 C． 2 D．2
4．已知数列 an 是公比为正数的等比数列， Sn是其前 n项和， a2 2， a4 8，则 S4 （ ）
A．15 B．31 C．63 D．7
5 2 2 2 2．圆M : x 2 y 1 1，圆 N : x 2 y 1 1，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． x 2y 0 B． 4x 3y 0
C． x 2y 5 0 D． x 2y 5 0
6．某中学体育节中，羽毛球单打 12强中有 3个种子选手，将这 12人任意分成 3个组（每组 4个人），则 3个
种子选手恰好被分在同一组的分法种数为（ ）
A．210 B．105 C．315 D．630
7．圆锥 SO的底面圆半径OA 1，侧面的平面展开图的面积为 3π，则此圆锥的体积为（ ）
A． 2 2 π B． 2 3 π C． 4 2 π D． 8 3 π
3 3 3 3
3 2 38．设 a e5
2
， b ， c 25 e
4 ，则（ ）
4 5
A． b a c B． b c a
C． c b a D． c a b
二、多选题：共 4小题，每小题 5分，共 20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5
分，部分选对的得 2分，有选错得 0分．
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据 4， 5， 6，7，8的第80百分位数为 7
B．若经验回归方程为 y 1.2 0.5x 时，则变量 x与 y负相关
C．对于随机事件 A， B，若 P(A | B) P A ，则 A与 B相互独立
D．某学习小组调查 5名男生和 5名女生的成绩，其中男生成绩的平均数为 9，方差为 13；女生成绩的平均数
为 7，方差为 10，则该10人成绩的方差为10.5
数学 第 1 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
10．已知抛物线C： y2 4x的焦点为 F，过 F的直线与 C交于 A、B两点，且 A在 x轴上方，过 A、B分别作C
的准线 l的垂线，垂足分别为 A 、 B ，则（ ）
A．若 A的纵坐标为 3，则 AF 5
B．OA OB
C．准线方程为 x 1
D．以 A B 为直径的圆与直线 AB相切于 F
11．已知四面体 ABCD的四个面均为直角三角形，其中 AB 平面 BCD ,BC CD，且 AB 1．若该四面体的体积
2
为 ，则（ ）
3
A．CD 平面 ABC
B．平面 BCD 平面 ACD
C． AD的最小值为 3
D．四面体 ABCD外接球的表面积的最小值为 9π
12 1 2．函数 f x x ax a ln x2 的两个极值点分别是 x1 , x2，则下列结论正确的是（ ）
A． a 4 B． x2 x21 2 8
C． x1 x2 x1x2 D． f x1 f x 1 x 2 x 22 1 2 64
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13． (1 2x)(1 3x)5的展开式中 x3的系数为 .
14．已知 a (3 , 4) , | b | 3 ，则 (a b) (a b) .
15．函数 f x 1 sin x 3 cos x在 x 0, π 上恰有 2个零点，则 的取值范围是 .2 2
2 2
16 y 1．已知椭圆C：x
2 2 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P在C上，若 | PF1 | a2 ，| PF1 PF2 | 3b，a b
则C的离心率为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题 10分）已知数列 an 满足： a1 1 ， a2 32 2 ，数列 an 1 an 是以 4为公差的等差数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）记数列{ }a 的前 n项和为 Sn，求 S100的值．n
数学 第 2 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
18．（本题 12分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 5cos2B-14cosB=7．
（1）求 sinB 的值；
（2）若 a 5， c 3， D是线段 AC上的一点，求 BD的最小值．
19．（本题 12分）四边形 ABCD为菱形， ED 平面 ABCD， FB // ED， AD BD ED 2， BF 1．
（1）设 BC 中点为G，证明： DG 平面 ADE ； E
（2）求平面 AFE 与平面 BFC 的夹角的大小．
D C
F G
A B
第 19题
20．（本题 12分）某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取 100名学生进
行调查，其中有体育锻炼习惯的有 45人．经调查，得到这 100名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记
分数在 600分以上的为优秀，其余为合格．
（1）请完成下列 2 2列联表．根据小概率值 0.01的独立
性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
经常锻炼 不经常锻炼 合计
合格 25
优秀 10
合计 100
（2）现采取分层抽样的方法，从这 100人中抽取 10人，再从这 10人中随机抽取 5人进行进一步调查，记抽
到 5人中优秀的人数为 X ，求 X 的分布列．
P 2≥k 0.050 0.010 0.001
2 n ad bc
2
附： ，其中 n a b c d .
a b c d a c b d k 3.841 6.635 10.828
数学 第 3 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
2
21 y
2
. （本题 12分）已知双曲线C : x 1 (b 0) 一个焦点 F到渐近线的距离为 ．
2 b2
2
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点 ( 2 , 0)的直线 l与双曲线C的右支交于 A， B两点，在 x轴上是否存在点 N ，使得 NA NB 为定
值？如果存在，求出点 N 的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
22. （本题 12分）已知函数 f ( x ) sin x ax 2 (a R) ．
π
（1）当 a 3 时，讨论 f (x)在区间 [0, ]上的单调性；
2 2
（2）若当 x≥0时， f（x） e x cos x≥0，求 a的取值范围．
数学 第 4 页 共 4 页
{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}
