北师大版数学八年级上册6.4 数据的离散程度 同步练习（含解析）

《4　数据的离散程度》同步练习
一、基础巩固
知识点1 极差
1.若一组数据-1,0,2,4,x的极差为7,则x的值是 (　　)
A.-3 B.6 C.-3或8 D.6或-3
2.[2022山东枣庄薛城区期末]若一组数据1,2,0,-1,x,1的平均数是1,则这组数据的极差为　　　　.
知识点2 方差、标准差
3.某校九年级进行了3次数学模拟考试,甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分,方差分别是=3.6,=4.6,=6.3,=7.3,则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.2020年12月3日23时10分,嫦娥五号上升器月面点火,3 000牛发动机工作约6分钟后,顺利将携带月壤的上升器送到了预定环月轨道,成功实现我国首次地外天体起飞.某校为选拔学生参加市里举办的航天知识竞赛,共组织了三次选拔测试(百分制),学校对总成绩排名前四名的同学的成绩进行了分析,并绘制统计表如下:
甲同学 乙同学 丙同学 丁同学
三次测试的平均成绩/分 95 95 96 96
方差 0.04 0.36 0.28 0.04
根据表中数据,该校想选择成绩好且发挥稳定的同学去参加市里比赛,应选择 (　　)
A.甲同学　　 B.乙同学　　 C.丙同学　　 D.丁同学
5.[2022湖北武汉青山区模拟]在“经典诵读”比赛活动中,某校10名学生参赛成绩如图所示,对于这10名学生的参赛成绩,下列说法正确的是 (　　)
A.众数是90分 B.中位数是95分
C.平均数是95分 D.方差是15
6.已知一组数据97,98,99,100,101,则这组数据的标准差是　　　　.
7.[2022湖南郴州模拟]如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图,甲、乙两人测试成绩的方差分别记作,,则　　　 .(填“>”“=”或“<”)
8.[2022四川巴中模拟]如果一组数据为4,a,5,3,8,其平均数为a,那么这组数据的方差为　　　　.
9.[2022广东东莞一模]某校九年级(3)班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下:
甲:8,8,7,8,9.
乙:5,9,7,10,9.
甲、乙两人引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下:
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 b 8 m
乙 a 9 c 3.2
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中a=　　,b=　　,c=　　,m=　　.(填数值)
(2)该校九年级举行引体向上比赛,根据这5次的成绩,在甲、乙两人中选择一个代表班级参加比赛,若选择甲同学,其理由是什么 若选择乙同学,其理由是什么
二、能力提升
1.[2022四川宜宾模拟]下表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
甲 10 7 7 8 8 8 9 7
乙 10 5 5 8 9 9 8 10
根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为,,甲、乙的方差分别为,,则下列结论正确的是 (　　)
A., B.,
C., D. ,
2.[2022广西玉林中考]在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式:s2=,由公式提供的信息,则下列说法错误的是 (　　)
A.样本的容量是4 B.样本的中位数是3
C.样本的众数是3 D.样本的平均数是3.5
3.[2022北京海淀区月考]某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试,因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是 (　　)
A.平均分不变,方差变大
B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
4.已知一组数据2,x,3,5,6,5,则这组数据的唯一的众数和极差分别可能是 (　　)
A.5和7 B.6和7 C.5和3 D.6和3
5.[2022北京人大附中期末]一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是4,方差是6,则3x1+4,3x2+4,3x3+4,3x4+4,3x5+4的平均数和方差分别是　　　　.
6.要从甲、乙两名同学中选出一名代表班级参加射击比赛.如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩;
(2)观察统计图,比较甲、乙这10次射击成绩的方差,的大小;
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,那么本班选　　　参赛更合适;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,那么本班选　　　　参赛更合适.
7.元旦假期,小明一家游览某公园,公园内有一假山,假山上有条石阶小路,其中甲、乙两段台阶的高度如图所示(图中的数字表示每一级台阶的高度,单位:cm).请你运用所学习的统计知识,解决以下问题:
(1)把每一级台阶的高度作为数据,请从统计知识方面(平均数、中位数)说一下这两段台阶有哪些相同点和不同点.
(2)在甲、乙两段台阶哪段上行走会比较舒服 请说明理由.(方差越小,行走越舒服)
(3)为方便行走,公园决定修整这两段台阶,在不改变台阶数量的前提下,应该怎样修改会比较好 (在下图上填一下)并说明方案的设计思路.
参考答案
一、基础巩固
1.D　【解析】　因为数据-1,0,2,4,x的极差为7,所以x为这组数据的最大值或最小值.当x是最大值时,x-(-1)=7, 解得x=6;当x是最小值时,4-x=7,解得x=-3.综上,x的值为6或-3.故选D.
2.4　【解析】　因为数据1,2,0,-1,x,1的平均数是1,所以×(1+2+0-1+x+1)=1,解得x=3,所以这组数据的最大数为3,最小数为-1,所以极差为3-(-1)=4.
3.A　【解析】　由方差越小,数据越稳定知选A.
4.D　【解析】　根据题表中数据可知丙、丁同学平均成绩较高,故应从这两个同学中选择.因为丁同学成绩的方差比丙同学的小,所以应选择丁同学去参加市里比赛.故选D.
5.A　【解析】　A项,90分的人数最多,所以众数是90分,故A项正确;B项,将这10名学生的参赛成绩按从低到高的顺序排列,易得中位数是90分,故B项错误;C项,平均数是=91(分),故C项错误;D项,方差是×[(85-91)2×2+(90-91)2×5+(100-91) 2+2×(95-91)2]=19,故D项错误.故选A.
6.　【解析】　解法一　×(97+98+99+100+101)=99,s2=×[(97-99)2+(98-99)2+(99-99)2+(100-99)2+(101-99)2]= 2,所以这组数据的标准差是.
解法二　将数据97,98,99,100,101都减去100后,得到一组新数据-3,-2,-1,0,1,新数据的平均数 ×(-3-2-1+0+1)=-1, s2=×{[(-3)-(-1)]2+[(-2)-(-1)]2+[(-1)-(-1)]2+[0-(-1)]2+[1-(-1)]2}=2,所以数据97,98,99,100,101的标准差是.
7.<　【解析】　由题图可知,乙波动大,不稳定,方差大,所以 .
8.　【解析】　根据题意,得=a,解得a=5,所以这组数据为4,5,5,3,8,其平均数是5,所以这组数据的方差为×[(4-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(3-5)2+(8-5)2]=.
9.【解析】　(1)8　8　9　0.4
甲的成绩中,8出现的次数最多,因此甲的众数是8,即b=8.甲的方差s2= [3×(8-8)2+(7-8)2+(9-8)2]=0.4,即m=0.4.乙的平均数为(5+9+7+10+9)=8,即a=8.将乙的成绩从小到大排列为5,7,9,9,10,最中间的数是9,因此中位数是9,即 c=9.
(2)甲的方差较小,比较稳定.
乙的中位数是9,众数是9,获奖可能性较大.
二、能力提升
1.A　【解析】　×(10+7+7+8+8+8+9+7)=8,×(10+5+5+8+9+9+8+10)=8,×[(10-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=1,×[(10-8)2+(5-8)2+(5-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(10-8)2]=,所以,.故选A.
2.D　【解析】　由题意知,这组数据为2,3,3,4,所以这组数据的样本容量为4,中位数为=3,众数为3,平均数为=3.故选D.
3.B　【解析】　因为小亮的成绩和其他39人的成绩的平均数相同,都是90分,所以该班40人的测试成绩的平均分为90分,方差变小.故选B.
4.A　【解析】　因为这组数据有唯一的众数,所以众数只能是5,排除选项B,D.除x外的已知数据中,最大数据6与最小数据2的差是4,所以极差不可能是3,排除选项C.故选A.
5.16,54　【解析】　依题意,得(x1+x2+x3+x4+x5)=4,所以x1+x2+x3+x4+x5=20,所以[(3x1+4)+(3x2+4)+(3x3+4)+(3x4+4)+ (3x5+4)]=×(3×20+4×5)=16,故3x1+4,3x2+4,3x3+4,3x4+4,3x5+4的平均数为16.因为[(x1-4)2+(x2-4)2+(x3-4)2+(x4-4)2+(x5-4)2]=6,所以[(3x1+4-16)2+(3x2+4-16)2+(3x3+4-16)2+(3x4+4-16)2+(3x5+4-16)2]=[(x1-4)2+(x2-4)2+(x3-4)2+(x4-4)2+(x5-4)2]× 9=6×9=54,故3x1+4,3x2+4,3x3+4,3x4+4,3x5+4的方差为54.
6.【解析】　(1)=8(环).
(2)从题中统计图看出,甲的成绩比乙的成绩波动大,因此甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差,即.
(3)乙　甲
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,乙的平均成绩为8环且比较稳定,因此选乙参赛更合适;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,虽然甲的成绩波动大,但10次成绩中有4次为9环及以上,因此选甲更合适.
7.【解析】　(1)根据题图分别将甲、乙两段台阶的高度这两组数据从小到大排列如下:
甲:10,12,15,17,18,18.
乙:14,14,15,15,16,16.
甲的中位数是(15+17)=16(cm),
平均数(10+12+15+17+18+18)=15(cm);
乙的中位数是(15+15)=15(cm),
平均数(14+14+15+15+16+16)=15(cm).
故这两段台阶高度的平均数相同,中位数不同.
(2)在乙台阶上行走会比较舒服.理由如下:
由(1)可得=15 cm,=15 cm,
所以[(10-15)2+(12-15)2+(15-15)2+(17-15)2+(18-15)2+(18-15)2]=(cm2),
[(14-15)2+(14-15)2+(15-15)2+(15-15)2+(16-15)2+(16-15)2]=(cm2),
因为乙台阶高度的方差比甲台阶高度的方差小,
所以在乙台阶上行走会比较舒服.
(3)修改如下:
为使游客在两段台阶上行走比较舒服,需使方差尽可能小,最理想的是方差为0 cm2,同时不能改变台阶数量和台阶总体高度,故可使每个台阶高度均为15 cm,此时方差为0 cm2.