2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3. 已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为，则该圆锥的体积等于( )
A. B. C. D.
4. 已知有样本数据、、、、，则该样本的方差为( )
A. B. C. D.
5. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6. 如图是根据某市月日至月日的最低气温单位：的情况绘制的折线统计图，由图可知这天的最低气温的第百分位数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 棣莫弗公式其中为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知中，，，，则下列结论正确的有( )
A. 为钝角三角形 B. 为锐角三角形
C. 面积为 D.
10. 下列命题错误的有( )
A. 若、都是单位向量，则
B. 若，且，则
C. 若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线
D. 向量的模与向量的模相等
11. 如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有( )
A. B. C. D.
12. 某保险公司为客户定制了个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表则( )
A. 丁险种参保人数超过五成
B. 岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C. 周岁人群参保的总费用最少
D. 人均参保费用不超过元
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 在复数范围内，方程的解集为 ．
15. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为：：：，则应从一年级本科生中抽取 名学生．
16. 设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足，，两两不独立，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在，，；，，；，，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为，并加以解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，已知____，解三角形．
18. 本小题分
已知函数
求的最小正周期；
求的单调区间；
若，求的最大值及最小值．
19. 本小题分
从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在单位：之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示：
求在被调查的用户中，用电量落在区间的户数；
求直方图中的值；
求这组数据的平均数．
20. 本小题分
甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出人，排定，，号．第一局，双方号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛．当某队名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第行、第列的数据是甲队第号队员能战胜乙队第号队员的概率．
求甲队号队员把乙队名队员都淘汰的概率；
比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？
21. 本小题分
已知直四棱柱的所有棱长均为，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
22. 本小题分
如图，已知四棱锥，且，，，，的面积等于，是是中点．
Ⅰ求四棱锥体积的最大值；
Ⅱ若，．
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，即，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
直接利用向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】
解：，，且，
，即．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：圆锥轴截面是边长为的正三角形，
圆锥的底面半径为，高，
圆锥的体积为．
故选：．
由条件求出圆锥的底面半径和高，结合圆锥的体积公式能求出结果．
本题考查圆锥的底面半径和高、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：样本数据为、、、、，
平均数为，
样本的方差为．
故选：．
根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
本题主要考查平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，由，，，得或与异面，故A错误；
对于，若，，则，又，则，故B正确；
对于，若，，，则，故C错误；
对于，若，，，则与的位置关系是平行、相交或异面，
相交与平行时，可能垂直，也可能不垂直，故D错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：由折线图可知，这天的最低气温按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，
因为共有个数据，所以是整数，则这天的最低气温的第百分位数是．
故选：．
通过折线图，将这天的最低气温按从小到大排序，第，第个数据的平均数为第百分位数．
本题考查折线图、百分位数，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由己知得，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：．
根据棣莫弗公式代入计算即可．
本题考查复数的表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图正八面体，连接和交于点，
因为，，
所以，，又和为平面内相交直线，
所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为，
所以，
则．
故选：．
根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．
本题考查了正八面体外接球的体积计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，为钝角三角形，故A正确；故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
直接根据三边长求出角的余弦，再结合面积公式和数量积计算即可求解结论．
本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形的面积计算和数量积的求解，属于中档题目．
10.【答案】
【解析】解：对于：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故A错误；
对于：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故B错误；
对于：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故C错误；
对于：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确．
故选：．
直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的相等，单位向量，向量的模，主要考查学生对基础定义的理解，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，
，故D错误．
故选：．
利用互斥事件概念直接判断．
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、韦恩图等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由险种与比例的对应关系条形图，可知丁险种的参保人数比例为，故选项A正确；
由参保人数比例饼状图可知，岁以上参保人数所占比例为，故选项B错误；
假设保险公司调查了位客户，则其中周岁的有位，由折线图可知，周岁人群参保的总费用小于，
周岁和周岁的占比及人均参保费用均高于岁的群体，
周岁及以上的有位，由折线图可知，参保总费用为，大于周岁人群参保的总费用，故选项C正确；
由饼状图和折线图可知，周岁的人均参保费用和周岁的人均参保费用的均值大致为，
周岁的人均参保费用小于，周岁及以上的人均参保费用大致是，
所以人均参保费用大致是，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合统计图的信息，即可依次求解．
本题主要考查统计图表获取信息，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
由平面向量数量积的运算律和定义直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，一元二次方程的复数根的求解，属于基础题．
利用求根公式结合虚数单位，求解即可．
【解答】
解：由题意可得，，
由求根公式可得，，
所以方程的解集为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分层随机抽样的方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．
【解答】
解：根据分层随机抽样的方法，一年级本科生人数所占的比例为，
故应从一年级本科生中抽取学生为名，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，所以，
可见是，，共同的唯一的交集，
又，，两两不独立，即，，，
可见，不可以为或，
所以，为或，
即．
故答案为：．
由题意可知，所以，由此即可推测出，的值．
本题主要考查概率与统计，属中档题．
17.【答案】解：选，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以，只有一解，不符合题意；
，，，
由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以或，有两解，符合题意；
，，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，只有一解，不符合题意；
故只能选
【解析】本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角在三角形个数判断中的应用，属于基础题．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角分别检验各条件即可判断．
选，由正弦定理得，由大边对大角，只有一解，不符合题意；
选，由正弦定理得，由大边对大角，有两解，符合题意；
选，由正弦定理得，由大边对大角，只有一解，不符合题意．
18.【答案】解：
，
；
，，
，，
的单调增区间为，，
，，
，，
的单调减区间为，；
，
，，
的最小值为，的最大值为．
【解析】利用二倍角公式化成 ，
利用周期公式可求最小正周期；
利用余弦函数的单调性即可求解；
根据余弦函数的性质即可求解．
本题考查二倍角公式的应用，三角函数性质的应用，考查了整体思想，属于基础题．
19.【答案】解：，
所以在被调查的用户中，用电量落在区间的户数为户；
，
所以直方图中的值为．
各区间的中点值分别为：、、、、、，
，
所以这组数据的平均数为．
【解析】根据直方图中数字特征的计算公式计算即可．
本题考查了频率分布直方图中的数字特征计算，属于基础题．
20.【答案】解：甲队号队员把乙队名队员都淘汰的概率为：
．
第局比赛甲队队员获胜可分为个互斥事件，
甲队号胜乙队号，概率为：，
甲队号胜乙队号．，概率为：，
甲队号胜乙队号，概率为：，
第局甲队队员获胜的概率为，
第局乙队队员获胜的概率为：，
，
甲队队员获胜的概率更大一些．
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队号队员把乙队名队员都淘汰的概率．
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出第局甲队队员获胜的概率，由此推导出甲队队员获胜的概率更大一些．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】Ⅰ证明：为直四棱柱，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ解：取中点，连接，，
因为直四棱柱的所有棱长均为，
则，
则，，
可知即为二面角的平面角，
由知，，
在等腰中，，
同理，，
在中，，
故二面角的余弦值为．
【解析】本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题．
Ⅰ先证明四边形为平行四边形，可得，由线面平行的判定定理证明即可；
Ⅱ利用等腰三角形的性质证明，，得到，即为二面角的平面角，在三角形中，由余弦定理求解即可．
22.【答案】Ⅰ解：记点到的距离为，由及的面积等于，
得，得，
当翻折到面面时，四棱锥体积有最大值，
则；
Ⅱ
证明：记点在上的射影为，则，
由，可得，
又由题意，得四边形为矩形，得，
又，且，、面，
面，又面，
得；
解：取中点，则，且，
在上取，则且，
四边形为平行四边形，得，
则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
由面，且，得面，
作于，则面，连接，则即为直线与平面所成角，
在中，由，得，
又，由平行四边形对角线定理得，得，
又，可得，
在中，得．
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查多面体体积最值及线面角的最小值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．
Ⅰ由已知求得到的距离，再由面面时，四棱锥体积有最大值，即可求得四棱锥体积的最大值；
Ⅱ记点在上的射影为，由，可得，可得四边形为矩形，得，结合，得面，从而得；
取中点，可得四边形为平行四边形，得，得到直线与平面所成角即为直线与平面所成角，再证明得面，作于，则面，连，则即为直线与平面所成角，然后求解三角形及平行四边形得，，即可求得直线与平面所成角的正弦值．
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